Âàõðîìååâ Àðòåì
1. Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿä íà ìíîæåñòâàõ
E2 = [1; +∞)
E1 = [0; a], a > 0, è
∞
X
x2
ln 1 + 2 .
n
n=1
2. Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè è îáëàñòü àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
∞
X
(−1)n
√ .
x2 + n
n=1
3. Íàéòè ïðåäåë
lim
x→+0
∞
X
n=1
1
2n nx
.
4. Íàéòè ìíîæåñòâî âñåõ çíà÷åíèé, ïðè êîòîðûõ îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ
f (x) =
∞
X
(−1)n
n + x2
n=1
,
è èññëåäîâàòü åå íà äèôôåðåíöèðóåìîñòü íà ýòîì ìíîæåñòâå.
5. Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿä íà ìíîæåñòâàõ
(1; +∞)
√
∞
X
xn + n
n=1
x
ln 1 + √ .
n+x
n n
E1 = (0; 1) è E2 =
Ãóñüêîâà Èðèíà
1. Íàéòè ïðåäåë
∞
X
x2
.
x→∞
1 + n 2 x2
n=1
lim
2. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ
f (x) =
∞
X
ne−nx
n=1
íåïðåðûâíà ïðè
x > 0, è âû÷èñëèòü
Zln 5
f (x)dx.
ln 2
3. Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè è îáëàñòü àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
∞
X
1
xn
n=1
.
Êàøíåâè÷ Àíàñòàñèÿ
1. Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè è îáëàñòü àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
∞
X
n
n
x+2
.
n2 + 4 2x + 1
n=1
2. Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿä íà ìíîæåñòâàõ
E1 = (0; δ) è E2 =
(δ; +∞), δ > 0,
∞
X
2n tg
n=1
1
3n x + 1
.
3. Íàéòè ìíîæåñòâî âñåõ çíà÷åíèé, ïðè êîòîðûõ îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ
f (x) =
∞
X
n
x
,
(1 + x2 )n
n=1
è èññëåäîâàòü åå íà íåïðåðûâíîñòü íà ýòîì ìíîæåñòâå.
4. Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè è îáëàñòü àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
∞
X
n=1
sin
| sin{z. . . sin} x.
n ðàç
5. Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè è îáëàñòü àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
∞
X
x(x − 1) . . . (x − (n − 1))
n!
n=1
.
6. Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿä íà ìíîæåñòâàõ
(1; +∞)
∞
X
nx2
.
1 + n5/2 x6
n=1
E1 = (0; 1) è E2 =
Ëûñîâ Ìàêñèì
1. Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè è îáëàñòü àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
∞ X
n
n=1
x n
ln 1 +
.
3
n
2. Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè è îáëàñòü àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
∞
X
xn
.
(1 + x)(1 + x2 ) . . . (1 + xn )
n=1
Íîâèêîâ Äìèòðèé
1. Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè è îáëàñòü àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
∞
X
√
sin (π n2 + x2 ).
n=1
2. Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿä íà ìíîæåñòâàõ
E1 = (0; 1) è E2 ==
(1; +∞)
∞
X
arctg (1/(nx)) cos nx
4 + ln2 2nx
n=1
.
3. Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿä íà ìíîæåñòâàõ
1
;1
2
∞
X
E1 = 0; 12
e−n arcsin x .
n=1
4. Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè è îáëàñòü àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
∞
X
n=1
r
n
n + 2 x2 − 5x + 6
.
n
x2 + 5x + 6
5. Íàéòè ïðåäåë
lim
x→1−0
∞
X
(−1)n
n
n=1
xn
.
xn + 1
6. Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè è îáëàñòü àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
∞
X
n
.
ln
(x
+
2)
n=1
n
è
E2 =
Ñàðûêîâà Àíàñòàñèÿ
1. Äîêàçàòü íåïðåðûâíîñòü ñóììû ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
∞
X
1
√
cos nx
3
n
n=1
íà ìíîæåñòâå
π 2π .
;
3 3
2. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ
f (x) =
íåïðåðûâíà íà
∞
X
1
n=1
n2 (n + 1)2 + x2
R, è âû÷èñëèòü
Z+∞
f (x)dx.
0
3. Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿä íà ìíîæåñòâàõ
E1 = (0; 1) è E2 =
[1; 2]
∞
X
1
ln 1 + 2 .
nx
n=1
4. Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿä íà ìíîæåñòâàõ
(1; +∞)
∞
X
n=1
xen sin
x
.
5n
E1 = (0; 1) è E2 =
Ñîêîëîâà Òàòüÿíà
1. Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè è îáëàñòü àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
∞
X
1
.
n(x + 2)n
n=1
2. Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿä íà ìíîæåñòâàõ
(1; +∞)
∞
X
sh (1/(xn)) cos (xn)
n=1
1 + xn
.
3. Íàéòè ìíîæåñòâî âñåõ çíà÷åíèé, ïðè êîòîðûõ îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ
f (x) =
∞
X
x3 e−nx ,
n=1
è èññëåäîâàòü åå íà äèôôåðåíöèðóåìîñòü íà ýòîì ìíîæåñòâå.
E1 = (0; 1) è E2 =
Ôåäîòîâ Íèêîëàé
1. Äîêàçàòü íåïðåðûâíîñòü ñóììû ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
∞
X
arcsin
n=1
íà ìíîæåñòâå
1
n2 + x4
R.
2. Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿä íà ìíîæåñòâàõ
è
E2 = (0; +∞)
∞
X
E1 = (δ; +∞), δ > 0,
e−n arctg x .
n=1
3. Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè è îáëàñòü àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
∞
X
lnn x
n=1
n2
.
4. Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿä íà ìíîæåñòâàõ
(1; +∞)
∞
X
ex
ln 1 +
n
n=1
x3
sin √ .
n
E1 = (0; 1) è E2 =
Ôèðñîâ Äìèòðèé
1. Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿä íà ìíîæåñòâàõ
E1 = (0; 1) è E2 =
(1; +∞)
r ∞ X
x
1 − cos 3 2 .
n
n=1
2. Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿä íà ìíîæåñòâàõ
(1; +∞)
∞
X
√
n=1
xn arctg
x
.
(x − n)2 + nx
E1 = (0; 1) è E2 =
Øàðîíîâà Èðèíà
1. Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿä íà ìíîæåñòâàõ
E1 = (0; 1) è E2 =
(1; +∞)
∞
X
nx2
x
ln 1 + √ .
n2 + x
n
n=1
2. Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè è îáëàñòü àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
∞
X
1
n=1
nx
.
3. Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿä íà ìíîæåñòâàõ
E1 = (0; δ) è E2 =
(δ, +∞), δ > 0,
∞
X
2−nx arctg (n2 x).
n=1
4. Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè è îáëàñòü àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
∞
X
2n sinn x
n(n + 1)
n=1
.
×àãàåâ Íèêèòà
1. Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè è îáëàñòü àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
∞
X
1
n=1
n
sin
πx
.
n
2. Íàéòè îáëàñòü ñõîäèìîñòè è îáëàñòü àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
∞ 2
X
x
n
n=1
n
+x
.
3. Äîêàçàòü íåïðåðûâíîñòü ñóììû ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
∞
X
2
xe−n x
n=1
íà ìíîæåñòâå
[0; +∞).
4. Íàéòè ìíîæåñòâî âñåõ çíà÷åíèé, ïðè êîòîðûõ îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ
f (x) =
∞
X
cos nx
n=1
n5/2
,
è èññëåäîâàòü åå íà äèôôåðåíöèðóåìîñòü íà ýòîì ìíîæåñòâå.
5. Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü è ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿä íà ìíîæåñòâàõ
(1; +∞)
∞
X
n=1
sh
x
ex
sin √ .
n
n
6. Äîêàçàòü íåïðåðûâíîñòü ñóììû ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà
∞
X
(−1)n
√
2+
x
n
n=1
íà ìíîæåñòâå
[2; 5].
E1 = (0; 1) è E2 =
