Ñåìèíàð 7. Îáùàÿ âåðîÿòíîñòíàÿ ìîäåëü.
Ñåãîäíÿ ìû ïåðåõîäèì ê îáùåìó ñëó÷àþ âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè. Ïóñòü åñòü íåêîòîðîå
ìíîæåñòâî
Ω
(ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ), óæå íå îáÿçàòåëüíî ñ÷åòíîå. Ìû
Ω ìåðó P, çíà÷åíèÿ
èç [0, 1], òàêóþ
P∞ êîòîðîé
Páóäóò
∞
÷òîáû îíà áûëà ñ÷åòíî-àääèòèâíà (σ -àääèòèâíà) P(
i=1 Ai ) =
i=1 P(Ai ), ê òîìó æå
âûïîëíÿëèñü åñòåñòâåííûå òðåáîâàíèÿ P(0) = 0, P(Ω) = 1.
Ïðèìåð 1. Ïóñòü P ñ÷åòíî-àääèòèâíàÿ ôóíêöèÿ íà âñåõ ïîäìíîæåñòâàõ [0, 1), òàêàÿ
÷òî P([a, b)) = b−a, P(A) = P((A+c) mod 1) (èíà÷å ãîâîðÿ, îòðåçîê ìû ïðåäñòàâëÿåì â
õîòèì îïðåäåëèòü íà ïîäìíîæåñòâàõ
âèäå îêðóæíîñòè è òðåáóåì èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî ñäâèãîâ, ÷òî êàæåòñÿ äîñòà-
A - êàêîé-òî
êëàññ R/Q, òî åñòü {∀x, y ∈ A : x − y ∈
6 Q, ∀z ∈ R ∃x ∈ A : x − z ∈ Q}. Ïîëîæèì
Ai = {(x + qi ) mod 1, x ∈ A}, ãäå qi i-îå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî ïðîìåæóòêà [0,1)(â ñèëó
ñ÷åòíîñòè èõ ìîæíî êàê-òî ïðîíóìåðîâàòü). Èíà÷å ãîâîðÿ Ai ñäâèã ìíîæåñòâà A íà iîå ðàöèîíàëüíîå ðàññòîÿíèå. Òîãäà Ai íå ïåðåñåêàþòñÿ, èìåþò îäèíàêîâóþ âåðîÿòíîñòü
P
P è â îáúåäèíåíèè äàþò âåñü [0, 1), òî åñòü ∞
i=1 P(Ai ) = 1. Ýòè óñëîâèÿ íå ìîãóò áûòü
âûïîëíåíû, âåäü åñëè P(A1 ) > 0, òî ðÿä ðàñõîäèòñÿ, à åñëè P(A1 ) = 0, òî ñóììà ðÿäà
ðàâíà 1. Çíà÷èò òàêîé ìåðû P íå ñóùåñòâóåò.
Îòñþäà ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî îïðåäåëÿòü P íà âñåõ ïîäìíîæåñòâàõ Ω íàêëàäíî,
ïðîùå âûäåëèòü íåêèé èíòåðåñóþùèé íàñ êëàññ F è äåéñòâîâàòü íà íåì. Ïðè ýòîì êëàññ
äîëæåí îáðàçîâûâàòü ñèãìà-àëãåáðó (σ -àëãåáðó), òî åñòü áûòü çàìêíóòûì îòíîñèòåëüíî
äîïîëíåíèÿ è ñ÷åòíîãî îáúåäèíåíèÿ, à òàêæå ñîäåðæàòü ∅ è Ω.
Òðîéêà (Ω, F, P), ãäå F íåêîòîðàÿ ñèãìà-àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ Ω, à P : F → [0, 1],
òî÷íî åñòåñòâåííûì äëÿ ðàâíîìåðíîé ìåðû). Òîãäà ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
íîñèò íàçâàíèå âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà.
Íà âåðîÿòíîñòü íàêëàäûâàþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
1)
2)
3)
P(Ω) = 1,
P(A + B) = P(A) + P(B),
∞
∞
P
P
P( Ai ) =
P(Ai ).
i=1
i=1
Òðåòüå óñëîâèå âëå÷åò çà ñîáîé 2), îäíàêî, åãî óäîáíî âûäåëèòü îòäåëüíî. Çàìåòèì, ÷òî
ìîæíî áûëî áû çàìåíèòü 3) íà îäíî èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé:
F ) A1 ⊆ A2 ⊆
... ⊆ An ⊆ ..., A =
Ai ↑ A) âûïîëíåíî P(A) = limi→∞ P(Ai ).
∞
3b) Íåïðåðûâíîñòü ñíèçó. Äëÿ ëþáûõ èçìåðèìûõ A1 ⊇ A2 ⊇ ... ⊇ An ⊇ ..., A = ∩i=1 Ai
(çàïèñûâàåòñÿ Ai ↓ A) âûïîëíåíî P(A) = limi→∞ P(Ai ).
3c) Íåïðåðûâíîñòü â íóëå. Äëÿ ëþáûõ èçìåðèìûõ Ai ↓ ∅ âûïîëíåíî limi→∞ P(Ai ) = 0.
Âîçíèêàåò íåêîòîðîå íåóäîáñòâî â ñâÿçè ñ íåîáõîäèìîñòüþ îïðåäåëÿòü P íà âñåõ ìíîæåñòâàõ èç F , ïîýòîìó èñïîëüçóþò ñëåäóþùèé ïîäõîä. Íàçîâåì ñèñòåìó ìíîæåñòâ A
3à) Íåïðåðûâíîñòü ñâåðõó. Äëÿ ëþáûõ èçìåðèìûõ (òî åñòü ëåæàùèõ â
∪∞
i=1 Ai (çàïèñûâàåòñÿ
ïîëóêîëüöîì, åñëè
1)
2)
3)
∅∈A
∀A, B ∈ A : A ∩ B ∈ A,
P
∀A, B ∈ A, A ⊂ B , B \ A = ni=1 Ai ,
ãäå
Ai ∈ A.
Çàìåòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíàÿ ñèãìà-àëãåáðà
σ(A), ñîäåðæàùàÿ âñå ìíîæåñòâà
èç
A, ò.å. ñèãìà-àëãåáðà, âñå ýëåìåíòû êîòîðîé ñîäåðæàòñÿ â ëþáîé òàêîé ñèãìà-àëãåáðå.
Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ëþáîå ïåðåñå÷åíèå ñèãìà-àëãåáð òàêæå ñèãìà-àëãåáðà (÷òî ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ ïî ïóíêòàì). Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà Êàðàòåîäîðè:
Òåîðåìà. Ïóñòü ìåðà
P îïðåäåëåíà íà ïîëóêîëüöå A, ïðè÷åì îíà îáëàäàåò ñâîéñòâàìè
2,3 âåðîÿòíîñòè òàì, ãäå âñå óïîìÿíóòûå ìíîæåñòâà ñóùåñòâóþò. Òîãäà åå ìîæíî ïðîäîëæèòü íà
σ(A)
òàê, ÷òî íîâàÿ ìåðà
Çàìå÷àíèå. Çäåñü äëÿ ìíîæåñòâ
P̃
áóäåò ñîâïàäàòü ñ
A1 , ..., An , ...
èç
A
n
P
Ai
P
íà ìíîæåñòâàõ èç
A.
ìîæåò óæå è íå ëåæàòü â
A,
i=1
íî åñëè ëåæèò, òî ñâîéñòâî 3 äîëæíî áûòü âûïîëíåíî.
Ïðèìåð 2. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
A
ïîëóèíòåðâàëîâ ïðÿìîé, îòêðûòûõ ñïðàâà è
çàìêíóòûõ ñëåâà (âêëþ÷àÿ ïóñòîå ìíîæåñòâî).
A
îáðàçóåò ïîëóêîëüöî, ïîñêîëüêó ïå-
ðåñå÷åíèå ïîëóèíòåðâàëîâ âñåãäà ïîëóèíòåðâàë, à ðàçíîñòü äâóõ ïîëóèíòåðâàëîâ ïîëóèíòåðâàë, ïóñòîå ìíîæåñòâî èëè äâà ïîëóèíòåðâàëà. Îïðåäåëÿÿ ìåðó íà ýòîì ïîëóêîëüöå ñîîòíîøåíèåì
P([a, b)) = b − a.
Òîãäà íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî îíà áóäåò
ñèãìà-àääèòèâíà íà ýòîì ïîëóêîëüöå. Ïðîäîëæàÿ åå íà ìèíèìàëüíóþ ñèãìà-àëãåáðó,
ïîëó÷àåì òàê íàçûâàåìóþ ìåðó Ëåáåãà, òî åñòü îáû÷íóþ äëèíó. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì
ìîæíî ââåñòè ïëîùàäü íà ìèíèìàëüíîé ñèãìà-àëãåáðå, ñîäåðæàùóþ âñå ïðÿìîóãîëüíèêè.
Ìèíèìàëüíàÿ ñèãìà-àëãåáðà, ñîäåðæàùàÿ âñå îòêðûòûå ïîäìíîæåñòâà êàêîãî-ëèáî
A
íàçûâàåòñÿ áîðåëåâñêîé ñèãìà-àëãåáðîé íà
A.
Áîðåëåâñêàÿ ñèãìà-àëãåáðà íà ïðÿìîé
ñîâïàäàåò ñ ñèãìà-àëãåáðîé, ðàññìîòðåííîé â ïðèìåðå 2.
(a, b). Åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñ÷åòíîãî îáúåäèíåíèÿ îòðåçêîâ [a + 1/n, b − 1/n] èëè ïîëóèíòåðâàëîâ (a + 1/n, b − 1/n], à, çíà÷èò, îí
Ïðèìåð 3. Ðàññìîòðèì èíòåðâàë
ëåæèò â ëþáîé ñèãìà-àëãåáðå, ñîäåðæàùåé âñå îòðåçêè èëè ïîëóèíòåðâàëû. Ñ äðóãîé
ñòîðîíû, ëþáîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî ïðÿìîé åñòü îáúåäèíåíèå íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîãî
÷èñëà èíòåðâàëîâ, à ëþáîå çàìêíóòîå åñòü äîïîëíåíèå äî íåêîòîðîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà.
Íà ñàìîì äåëå, áîðåëåâñêàÿ ñèãìà-àëãåáðà íà ïðÿìîé ñîäåðæèò êóäà áîëüøå, ÷åì
òîëüêî îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâà. Ñ÷åòíûå ïåðåñå÷åíèÿ îòêðûòûõ ìíîæåñòâ
óæå íåîáÿçàòåëüíî áóäóò îòêðûòûìè. Èõ ñ÷åòíûå ïåðåñå÷åíèÿ äàäóò íîâûå ìíîæåñòâà,
ñ÷åòíûå îáúåäèíåíèÿ òåõ ìíîæåñòâ äàäóò åùå íîâûå è òàê äàëåå. Êàæäîå íîâîå îáðàçîâàííîå òàêèì îáðàçîì ìíîæåñòâî áóäåò ñîäåðæàòü ýëåìåíòû, íå âîøåäøèå â ïðåäûäóùèå. Êðîìå òîãî, â áîðåëåâñêóþ ñèãìà-àëãåáðó âõîäÿò ìíîæåñòâà, íå ïîïàâøèå íè â
îäíî èç îïèñàííûõ ìíîæåñòâ.
σ -àëãåáðû óñòðîåíû äîâîëüíî õèòðûì îáðàçîì. Ïðè ýòîì åñëè
B àëãåáðà, ñîäåðæàùàÿ A (òî åñòü ìíîæåñòâî ïîäìíîæåñòâ Ω, çàìêíóòîå îòíîñèòåëüíî êîíå÷íûõ îáúåäèíåíèé è ïåðåñå÷åíèÿ, à òàêæå ñîäåðæàùåå ∅ è Ω), òî ∀B ∈ σ(A)
íàéäåòñÿ C ∈ B , ò.÷. P(B∆C) = P(B \ C) + P(C \ B) ≤ ε.
Îòñþäà ìû âèäèì, ÷òî
Êàê æå ýòî äîêàçàòü, âåäü ñòðóêòóðà ñèãìà-àëãåáðû äîâîëüíî ñëîæíà? Äîêàæåì ýòî
ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ïîäõîäÿùèõ ìíîæåñòâ. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
èç
σ(A),
÷òî äëÿ ëþáîãî
ε ∃B = B(ε) ∈ B : P(C∆B) ≤ ε.
C
òàêèõ ýëåìåíòîâ
Åñëè äîêàçàòü, ÷òî
C
ñèãìà-àëãåáðà, òî èç òîãî, ÷òî îíî ñîäåðæèò
B,
îíî áóäåò ñîäåðæàòü è
σ(B).
Äàâàéòå
B àëãåáðà, ∅ è Ω ëåæàò â íåé, à çíà÷èò ëåæàò
è â C . Åñëè B ∈ C , òî P(B∆C) = P(B∆C), îòêóäà åñëè B òîæå ëåæèò â C . Îñòàåòñÿ
n
ïðîâåðèòü ñ÷åòíóþ àääèòèâíîñòü. Ïóñòü ε ôèêñèðîâàíî, Bi ∈ C , Dn = ∪i=1 Bi , òîãäà
Dn ↑ D = ∪∞
i=1 Bi . Èç íåïðåðûâíîñòè âåðîÿòíîñòè, ∃n : P(D) − P(Dn ) ≤ ε/2. Òàêèì
ïðîâåðèì ñâîéñòâà. Â ñèëó òîãî, ÷òî
îáðàçîì ñ÷åòíàÿ àääèòèâíîñòü ñâåäåíà ê êîíå÷íîé, à çíà÷èò äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî
B1 , B2 èç C , èõ îáúåäèíåíèå òîæå îòòóäà. Ðàññìàòðèâàÿ C1 , C2 : P(B1 ∆C1 ) ≤
ε/2, P(B2 ∆C2 ) ≤ ε/2 ïðèáëèæàþùèå B1 , B2 , èìååì èç ñîîòíîøåíèé (B1 ∪ B2 ) \ C =
(B1 \ C) ∪ (B2 \ C), B1 \ (C1 ∪ C2 ) ⊂ B1 \ C1 íåðàâåíñòâî
äëÿ ëþáûõ
P((C1 ∪ C2 )∆(B1 ∪ B2 )) ≤ P(C1 \ B1 ) + P(C2 \ B2 ) + P(B1 \ C1 ) + P(B2 \ C2 ) ≤ ε,
÷òî è òðåáîâàëîñü. Òàêîå ïðèáëèæåíèå ýëåìåíòîâ ñèãìà-àëãåáðû îêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íî ïîëåçíûì.
Ïðèìåð 4. Äîêàæåì, ÷òî äëÿ äâóõ íåçàâèñèìûõ àëãåáð
A1 , A2 ,
ïîðîæäåííûå èìè
A1 , A2 èç íàøèõ ñèãìà-àëãåáð. Òîãäà äëÿ êàæàëãåáð, òàêèå, ÷òî P(Ai ∆Bi ) ≤ ε), i = 1, 2. Îòñþäà
ñèãìà-àëãåáðû òàêæå íåçàâèñèìû. Ïóñòü
äîãî
ε
íàéäóòñÿ
B1 , B2
èç íàøèõ
P(A1 A2 ) − P(A1 )P(A2 ) ≤ P(B1 A2 + (A1 A2 ) \ (B1 A2 )) − (P(A1 ) − ε)(P(A2 ) − ε) ≤
P(B1 A2 ) + P(A2 (A1 \ B1 )) − P(A1 A2 ) + 2ε ≤ P((B1 \ A1 )A2 ) + P(A1 A2 ) −
P(A1 )P(A2 ) + 3ε ≤ 4ε.
ε
 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè
P(A1 A2 ) ≤ P(A1 )P(A2 ). Àíàëîãè÷íî
ñëåäóåò íåçàâèñèìîñòü A1 è A2 .
èìååì
îáðàòíîå íåðàâåíñòâî, îòêóäà è
Íàçîâåì ìîíîòîííûì êëàññîì ñèñòåìó
Ai ↓ A, A
Íàçîâåì
íèé, à
òîæå ëåæèò â
π -ñèñòåìîé
λ-ñèñòåìîé
A,
òàêóþ, ÷òî äëÿ ëþáûõ
Ai ∈ A : Ai ↑ A
èëè
A.
ìíîæåñòâî, êîòîðîå çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî êîíå÷íûõ ïåðåñå÷å-
A, ñîäåðæàùåå Ω, B \ A äëÿ
Ai ∈ A : Ai ↑ A, A òîæå ëåæèò â A.
- ìíîæåñòâî
òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáûõ
äîêàçûâàåòñÿ
ëþáûõ
A, B ∈ A : A ⊂ B
è
Óòâåðæäåíèÿ
1) Ìèíèìàëüíûé ìîíîòîííûé êëàññ, ñîäåðæàùèé äàííóþ àëãåáðó, åñòü ìèíèìàëüíàÿ
ñîäåðæàùàÿ åå ñèãìà-àëãåáðà.
2) Ìèíèìàëüíàÿ
λ-ñèñòåìà,
ñîäåðæàùàÿ äàííóþ
π -ñèñòåìó,
åñòü ìèíèìàëüíàÿ ñîäåð-
æàùàÿ åå ñèãìà-àëãåáðó.
7.1.1. Ïóñòü
7.2.1.
Bi
B1 , B2 σ -àëãåáðû, áóäóò ëè σ -àëãåáðàìè B1 ∪ BS2 , B1 ∩ B2 , B1 \ B2 , B1 4B2 ?
σ -àëãåáðû, ïðè÷åì Bi ⊂ Bj , i ≤ j . Áóäåò ëè ∞
i=1 Bi à) àëãåáðîé, á) σ -
àëãåáðîé?
7.3.1. Îïèñàòü ìèíèìàëüíóþ ñèãìà-àëãåáðó, ñîäåðæàùóþ à) âñå ñîáûòèÿ âåðîÿòíîñòè
1
á) âñå îäíîòî÷å÷íûå ìíîæåñòâà ïðÿìîé. â) âñå áåñêîíå÷íûå ïîäìíîæåñòâà ïðÿìîé
7.1.2.
FA
(Ω, F, P)
I òèïà, åñëè äëÿ ëþáîãî
A∈F
îáðàçóåò àëãåáðó; II òèïà, åñëè äëÿ ëþáûõ
ìíîæåñòâî íåçàâèñèìûõ ñ íèì ñîáûòèé
Ai ∈ F
èõ ïîïàðíàÿ íåçàâèñèìîñòü âëå-
÷åò èõ íåçàâèñèìîñòü. ßâëÿåòñÿ ëè ïðîñòðàíñòâî I ïðîñòðàíñòâîì II? Íàîáîðîò?
σ -àëãåáð F1 , F2 d(F1 , F2 ) = 4 supA1 ∈F1 ,A2 ∈F2 |P(A1 A2 ) − P(A1 )P(A2 )|. Äîêàçàòü, ÷òî 0 ≤ d ≤ 1. Êîãäà d = 0? d = 1?
7.3.2. Íàçîâåì σ -àëãåáðó C ñåïàðàáåëüíîé, åñëè ó íåå ñóùåñòâóåò ñ÷åòíàÿ ñèñòåìà
ïîäìíîæåñòâ A, ò.÷. C = σ(A). Áóäåò ëè B(R) ñåïàðàáåëüíîé? Ïîêàçàòü, ÷òî ñèãìà-
7.2.2. Äëÿ
ïîäàëãåáðà ñåïàðàáåëüíîé ñèãìà-àëãåáðû íå îáÿçàòåëüíî ñåïàðàáåëüíà.
A M(A) = σ(A).
7.2.3. Äîêàçàòü, ÷òî ìèíèìàëüíàÿ λ-ñèñòåìà, ñîäåðæàùàÿ äàííóþ π -ñèñòåìó, åñòü ìèíèìàëüíàÿ ñîäåðæàùàÿ åå σ -àëãåáðà.
n
7.3.3. Äîêàçàòü, ÷òî B(R ) = σ(I1 × I2 ... × In ) = σ(B1 × ... × Bn ), ãäå Ij èíòåðâàëû,
à Bj áîðåëåâñêèå ìíîæåñòâà ïðÿìîé.
7.1.3. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ àëãåáðû
