Функциональный анализ

Ðàçäåë 8. Ýêñòðåìàëüíûå çàäà÷è â ËÍÏ
Ëåêöèÿ 16
Ýêñòðåìàëüíûå çàäà÷è â ËÍÏ.
Îïðåäåëåíèÿ ýêñòðåìóìîâ.
Φ : X → E 1 ôóíêöèîíàë, M ⊂ X ïîäìíîæåñòâî.
x0 òî÷êà ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà Φ íà M , åñëè x0 ∈ M è
∃r > 0 ∀x ∈ Sr (x0 ) ∩ M : Φ(x) ≤ Φ(x0 )
(äëÿ ìèíèìóìà Φ(x) ≥ Φ(x0 )).
Åñëè M = X áåçóñëîâíûé ýêñòðåìóì (ìèíèìóì, ìàêñèìóì), åñëè M
X óñëîâíûé.
Ãëîáàëüíûé ìàêñèìóì:
∀x ∈ M : Φ(x) ≤ Φ(x0 )
(äëÿ ìèíèìóìà Φ(x) ≥ Φ(x0 )). Îïÿòü ìîæåò áûòü óñëîâíûé è áåçóñëîâíûé.
 ïðèâåäåííûõ âûðàæåíèÿõ íåðàâåíñòâà íåñòðîãèå, ýêñòðåìóì òîæå íåñòðîãèé. Åñëè çàìåíèòü ñòðîãèìè íåðàâåíñòâàìè ïðè x ̸= x0 áóäóò ñòðîãèå
ýêñòðåìóìû.
Òàêèì îáðàçîì, ýêñòðåìóìû áûâàþò: ìàêñèìóì è ìèíèìóì; ëîêàëüíûé
è ãëîáàëüíûé; ñòðîãèé è íåñòðîãèé; óñëîâíûé è áåçóñëîâíûé. Ëþáûå ñî÷åòàíèÿ.
Êàê âñåãäà, òî÷êà = ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà (íàïðèìåð, ôóíêöèÿ).
Çàìå÷àíèå.  ìàòàíàëèçå ðàçëè÷àåòñÿ òî÷êà ýêñòðåìóìà (ýòà òî÷êà äîëæíà áûòü âíóòðåííåé) è íàèáîëüøåå (íàèìåíüøåå) çíà÷åíèå ôóíêöèè. Çäåñü
ìû íå áóäåì ýòîãî ðàçëè÷èÿ, è äîïóñêàåòñÿ, ÷òî x0 ãðàíè÷íàÿ òî÷êà M .
Çàìå÷àíèå. Çàäà÷è íà ïîèñê ýêñòðåìóìà (ìàêñèìóìà, ìèíèìóìà) íàçûâàþòñÿ çàäà÷àìè îïòèìèçàöèè.  ÷àñòíîñòè, ðàçëè÷àþò çàäà÷è áåçóñëîâíîé
è óñëîâíîé îïòèìèçàöèè (ïîèñê áåçóñëîâíîãî è óñëîâíîãî ýêñòðåìóìà).
Çàìå÷àíèå. Èçîëèðîâàííûå òî÷êè M òî÷êè ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà è
ìàêñèìóìà îäíîâðåìåííî. Äàëüøå íå ðàññìàòðèâàåì.
Çàìå÷àíèå. Åñëè M åäèíè÷íàÿ ñôåðà èëè åäèíè÷íûé çàìêíóòûé øàð,
à ôóíêöèîíàë Φ ëèíåéíûé, òî çíà÷åíèå ýòîãî ôóíêöèîíàëà â òî÷êå ìàêñèìóìà (åñëè îíà ñóùåñòâóåò) ýòî åãî íîðìà. Åñëè Φ(x) = ∥Ax∥, ãäå A
ëèíåéíûé îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð, òî òî çíà÷åíèå òàêîãî ôóíêöèîíàëà â
òî÷êå ìàêñèìóìà íà M (åñëè îíà ñóùåñòâóåò) ýòî íîðìà îïåðàòîðà A.
Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà.
Ïóñòü x(t) àáñòðàêòíàÿ ôóíêöèÿ, x(0) = x0 , ∀t ∈ [0, 1] : x(t) ∈ M .
Îáðàç ôóíêöèè êðèâàÿ â M , íà÷èíàþùàÿñÿ â òî÷êå x0 . Ðàññìîòðèì ÷èñëîâóþ ôóíêöèþ φ(t) = Φ(x(t)). Åñëè x0 òî÷êà ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà
(ìèíèìóìà) Φ, òî ôóíêöèÿ φ ïðè t = 0 òàêæå äîëæíà èìåòü ëîêàëüíûé
ìàêñèìóì (ìèíèìóì). Åñëè ôóíêöèÿ φ èìååò îäíîñòîðîííþþ ïðîèçâîäíóþ
φ′+ (0) ïðè t = 0, òî ýòà ïðîèçâîäíàÿ äîëæíà áûòü íåïîëîæèòåëüíà (íåîòðèöàòåëüíà).
1
Ïóñòü òåïåðü M âûïóêëîå ìíîæåñòâî. Òîãäà â êà÷åñòâå x(t) ìîæíî
âçÿòü ôóíêöèþ x0 + th, ãäå h = z − x0 , z ∈ M , îáðàçîì êîòîðîé ïðè t ∈ [0, 1]
ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé x0 è z è, â ñèëó âûïóêëîñòè M , öåëèêîì
ëåæàùèé â ýòîì ìíîæåñòâå.  ýòîì ñëó÷àå
φ′+ (0) =
∂Φ(x)
∂h
= ∥h∥ Var[Φ(x0 , h0 )] ,
x=x0
ãäå h0 = h/∥h∥ = (z − x0 )/∥z − x0 ∥ åäèíè÷íûé âåêòîð â íàïðàâëåíèè
z − x0 . Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî íåîáõîäèìûì óñòîâèåì òîãî, ÷òî x0 ÿâëÿåòñÿ
òî÷êîé ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà (ìèíèìóìà) ôóíêöèîíàëà Φ, ÿâëÿåòñÿ íåïîëîæèòåëüíîñòü (íåîòðèöàòåëüíîñòü) åãî âàðèàöèé âäîëü âñåõ äîïóñòèìûõ
íàïðàâëåíèé, äëÿ êîòîðûõ òàêèå âàðèàöèè ñóùåñòâóþò.
Çàìå÷àíèå. Äîïóñòèìå íàïðàâëåíèÿ íàïðàâëåíèÿ, âåäóùèå èç x0 â òî÷êè, ïðèíàäëåæàùèå M .
Åñëè ôóíêöèîíàë äèôôåðåíöèðóåì ïî Ôðåøå â òî÷êå x0 , òî
∂Φ(x)
∂h
= Φ′ (x0 )(h) = ∥h∥Φ′ (x0 )(h0 ) .
x=x0
Íàçîâåì òî÷êó x0 âíóòðåííåé òî÷êîé M , åñëè íàðÿäó ñ ïðîèçâîëüíûì
äîïóñòèìûì íàïðàâëåíèåì h0 òàêæå äîïóñòèìûì áóäåò è ïðîòèâîïîëîæíîå
åìó íàïðàâëåíèå −h0 .
(!!! Çàìå÷àíèå. Ýòî íå ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåíèþ âíóòðåííåé òî÷êè ìíîæåñòâà, äàííîìó ðàíåå. Íàïðèìåð, äëÿ ïðîäïðîñòðàíñòâà, ñîãëàñíî íîâîìó
îïðåäåëåíèþ, âñå òî÷êè áóäóò âíóòðåííèìè, à ïî ñòàðîìó âñå òî÷êè ãðàíè÷íûå, åñëè ïîäïðîñòðàíñòâî íå ñîâïàäàåò ñ X : ëþáàÿ îêðåñòíîñòü ñîäåðæèò òî÷êè èç äîïîëíåíèÿ.)
 ýòîì ñëó÷àå, ïîñêîëüêó Φ′ (x0 )(−h) = −Φ′ (x0 )(h), ìû ïîëó÷àåì, ÷òî âî
âíóòðåííåé òî÷êå ýêñòðåìóìà
Φ′ (x0 )h = 0
äëÿ ïðîèçâîëüíîãî äîïóñòèìîãî âåêòîðà h. Òàêîå óñëîâèå íàçûâàåòñÿ óñëîâèåì ñòàöèîíàðíîñòè, à òî÷êà x0 , â êîòîðîé îíî âûïîëíÿåòñÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé ôóíêöèîíàëà Φ íà M èëè, åñëè h ëþáîå, íà âñåì X .
Çàìå÷àíèå. Åñëè M = X (áåçóñëîâíûé ýêñòðåìóì), òî îòñþäà ñëåäóåò
Φ′ (x0 ) = O.
Çàìå÷àíèå. Åñëè M ïðåäñòàâëÿåò ñîáîþ íåêîòîðóþ ãèïåðïîâåðõíîñòü â
X (íåâûïóêëîå, âîîáùå ãîâîðÿ, ìíîæåñòâî), òî h êàñàòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ. Ìíîæåñòâî êàñàòåëüíûõ âåêòîðîâ îáðàçóåò êàñàòåëüíîå ïîäïðîñòðàíñòâî â ïðîñòðàíñòâå X .
×àñòíûé ñëó÷àé: ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî. Äåéñòâèå ôóíêöèîíàëà Φ′ (x0 )
íà ýëåìåíò h ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñêàëàðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ
Φ′ (x0 )(h) = (grad Φ(x0 ), h) .
2
Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ìàêñèìóìà (ìèíèìóìà) íåïîëîæèòåëüíîñòü (íåîòðèöàòåëüíîñòü) (grad Φ(x0 ), h) â äîïóñòèìûõ íàïðàâëåíèÿõ. Äëÿ âíóòðåííèõ òî÷åê íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà ðàâåíñòâî (grad Φ(x0 ), h) = 0.
 ñëó÷àå áåçóñëîâíîãî ýêñòðåìóìà grad Φ(x0 ) = 0.
Ýëåìåíòû âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ.
Ïóñòü X = C 1 [a, b], à Φ èíòåãðàëüíûé ôóíêöèîíàë âèäà
∫ b
Φ(x) =
f (s, x(s), ẋ(s)) ds .
a
Êëàññè÷åñêîå âàðèàöèàöèîííîå èñ÷èñëåíèå çàíèìàåòñÿ, â ÷àñòíîñòè, çàäà÷àìè íà ïîèñê ìàêñèìóìà èëè ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëîâ òàêîãî âèäà.
Çàìå÷àíèå. Ðàíüøå ïåðåìåííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ âñåãäà íåçûâàëè t, íî
ñåé÷àñ t ó íàñ çàíÿòî, ïîýòîìó èñïîëüçóåì s.
Ôóíêöèþ f (s, u, v) áóäåì ñ÷èòàòü äîñòàòî÷íî ãëàäêîé. Íàì ïîòðåáóåòñÿ
íåïðåðûâíîñòü ïî ïåðâîé ïåðåìåííîé, íåïðåðûâíàÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòü
ïî âòîðîé è òðåòüåé, ïðè÷åì ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíîìåðíî ëèïøèöåâûìè:
|fu′ (s, u1 , v1 ) − fu′ (s, u2 , v2 )| ≤ L(|u1 − u2 | + |v1 − v2 |)
|fv′ (s, u1 , v1 ) − fv′ (s, u2 , v2 )| ≤ L(|u1 − u2 | + |v1 − v2 |)
(ïîñòîÿííàÿ Ëèïøèöà L íå çàâèñèò îò s, u è v ).  ýòîì ñëó÷àå
f (s, u + ξ, v + η) − f (s, u, v) = fu′ (s, u, v)ξ + fv′ (s, u, v)η + ω(s, u, v, ξ, η) ,
ãäå |ω(s, u, v, ξ, η)| ≤ L(|ξ| + |η|)2 (äîêàæèòå!)
Çàìå÷àíèå. Øòðèõè ïðè ïðîèçâîäíûõ áóäåì îïóñêàòü: fu′ = fu , fv′ = fv .
Çàìå÷àíèå. ×àñòî âìåñòî fu è fv ïèøóò fx è fẋ .
Óòâåðæäåíèå. Ôóíêöèîíàë Φ äèôôåðåíöèðóåì ïî Ôðåøå.
Äåéñòâèòåëüíî,
∫
b
=
a
Φ(x + h) = Φ(x) =
∫
f (s, x(s) + h(s), ẋ(s) + ḣ(s)) ds −
b
f (s, x(s), ẋ(s)) ds =
a
∫
b
[f (s, x(s) + h(s), ẋ(s) + ḣ(s)) − f (s, x(s), ẋ(s))] ds =
=
a
∫
b
=
[fx (s, x(s), ẋ(s))h(s) + fẋ (s, x(s), ẋ(s))ḣ(s) + ω(s, x(s), ẋ(s), h(s), ḣ(s))] ds =
a
∫
b
=
[fx (s, x(s), ẋ(s))h(s) + fẋ (s, x(s), ẋ(s))ḣ(s)] ds + ω̂(x, h) =
a
= dΦ(x, h) + ω̂(x, h) ,
ãäå
∫
b
[fx (s, x(s), ẋ(s))h(s) + fẋ (s, x(s), ẋ(s))ḣ(s)] ds −
dΦ(x, h) =
a
3
íåïðåðûâíûé ëèíåéíûé îòíîñèòåëüíî h ôóíêöèîíàë, äèôôåðåíöèàë Ôðåøå, à
∫ b
ω̂(x, h) =
ω(s, x(s), ẋ(s), h(s), ḣ(s)) ds −
a
ïîïðàâî÷íîå ñëàãàåìîå,
|ω̂(x, h)| ≤ L(b − a)∥h∥2C 1 [a,b] = o(∥h∥C 1 [a,b] ) .
(Çàìå÷àíèå. Ëèïøèöåâîñòü ÿâëÿåòñÿ íåñêîëüêî èçáûòî÷íûì òðåáîâàíèåì, íî îíî óäîáíî äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíîê è ïî÷òè âñåãäà âûïîëíÿåòñÿ.)
Òåïåðü ìû ïåðåõîäèì ê ðàññìîòðåíèþ çàäà÷è íà ïîèñê ýêñòðåìóìà ôóíêöèîíàëà Φ ëèáî íà âñåì ïðîñòðàíñòâå (çàäà÷à áåçóñëîâíîé îïòèìèçàöèè),
ëèáî íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå M (çàäà÷à óñëîâíîé îïòèìèçàöèè).  ýòîì
ñëó÷àå íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ýêñòðåìóìà ÿâëÿåòñÿ îáðàùåíèå â íóëü äèôôåðåíöèàëà Ôðåøå ëèáî íà âñåõ ôóíêöèÿõ h ∈ C 1 [a, b], ëèáî íà äîïóñòèìûõ, îïðåäåëÿåìûõ êîíêðåòíûì âèäîì ìíîæåñòâà M (â ïîñëåäíåì ñëó÷àå
ðå÷ü èäåò î âíóòðåííèõ òî÷êàõ ìíîæåñòâà â îãîâîðåííîì âûøå ñìûñëå, â
ïðîòèâíîì ñëó÷àå íóæíî ðàññìàòðèâàòü íåðàâåíñòâà äëÿ âàðèàöèé).
Äàëåå ìû ðàññìîòðèì äâå çàäà÷è êëàññè÷åñêîãî âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ: çàäà÷ó ñ çàêðåìëåííûìè êîíöàìè è çàäà÷ó ñî ñâîáîäíûìè êîíöàìè.
Ëèáî îäíó, ëèáî äðóãóþ îáû÷íî íàçûâàþò "ïðîñòåéøåé çàäà÷åé âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ íî ðàçíûå àâòîðû äåëàþò ðàçíûé âûáîð (îäíà ïðîùå ïî
ïîñòàíîâêå, äðóãàÿ ñ òî÷êè çðåíèÿ ðåøåíèÿ), ïîýòîìó ìû íå áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ýòîé ôîðìóëèðîâêîé.
Çàäà÷à ñî ñâîáîäíûìè êîíöàìè: íàéòè òî÷êè ýêñòðåìóìà ôóíêöèîíàëà Φ(x) ñðåäè âñåõ x ∈ C 1 [a, b]. Ýòî çàäà÷à íà áåçóñëîâíûé ýêñòðåìóì, è
íåîáõîäèìûì óñëîâèåì òàêîãî ýêñòðåìóìà ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà
∫ b
[fx (s, x(s), ẋ(s))h(s) + fẋ (s, x(s), ẋ(s))ḣ(s)] ds = 0
a
ïðè âñåõ h ∈ C 1 [a, b].
Çàäà÷à ñ çàêðåïëåííûìè êîíöàìè: íàéòè òî÷êè ýêñòðåìóìà ôóíêöèîíàëà Φ(x) ñðåäè âñåõ x ∈ C 1 [a, b], óäîâëåòâîðÿþùèõ êðàåâûì óñëîâèÿì
x(a) = A ,
x(b) = B ,
ãäå A è B çàäàííûå ÷èñëà. Ýòî óæå çàäà÷à óñëîâíîé îïòèìèçàöèè, ìíîæåñòâî M ìíîæåñòâî ôóíêöèé èç C 1 [a, b], óäîâëåòâîðÿþùèõ êðàåâûì
óñëîâèÿì. Åñëè õîòÿ áû îäíî èç ÷èñåë A èëè B îòëè÷íî îò íóëÿ, óñëîâèÿ íåîäíîðîäíûå, è ýòî íå ïîäïðîñòðàíñòâî. Ãèïåðïëîñêîñòü, ñìåùåííîå
ïîäïðîñòðàíñòâî. Âûïóêëîå ìíîæåñòâî (ïðîâåðèòü!).
Îãðàíè÷åíèÿ íà h: ôóíêöèÿ x + h äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü êðàåâûì óñëîâèÿì:
x(a) + h(a) = A ,
x(b) + h(b) = B .
4
Ïîñêîëüêó ñàìà ôóíêöèÿ x äîëæíà ýòèì óñëîâèÿì óäîâëåòâîðÿòü, îòñþäà
ñëåäóåò, ÷òî
h(a) = h(b) = 0 .
Ýòî óñëîâèå óæå îäíîðîäíî è îïðåäåëÿåò ïîäïðîñòðàíñòâî C01 [a, b] (çàìêíóòîå ïðîâåðèòü). Ñîîòâåòñòâåííî, èíòåãðàë, ÿâëÿþùèéñÿ äèôôåðåíöèàëîì
Ôðåøå, äîëæåí îáðàùàòüñÿ â íóëü íà ëþáîì ýëåìåíòå ýòîãî ïîäïðîñòðàíñòâà h ∈ C01 [a, b].
Äëÿ òîãî, ÷òîáû äâèíóòüñÿ äàëüøå â ðàññìîòðåíèè ýòèõ äâóõ çàäà÷, íàì
ïîíàäîáèòñÿ äîêàçàòü íåñêîëüêî âàæíûõ âñïîìîãàòåëüíûõ óòâåðæäåíèé.
Ëàãðàíæà.
Ïóñòü u ∈ C[a, b], è äëÿ ëþáîãî h ∈ C01 [a, b] ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
∫ b
u(s)h(s) ds = 0 .
Ëåììà
a
Òîãäà ôóíêöèÿ u òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ.
(Çàìå÷àíèå. Èñïîëüçîâàííàÿ çäåñü áóêâà u íå èìååò îòíîøåíèÿ ê ôîðìàëüíîìó ïàðàìåòðó ôóíêöèè f .)
Äîêàæåì, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè u ∈ C[a, b], íå ðàâíîé íóëþ
òîæäåñòâåííî, íàéäåòñÿ ôóíêöèÿ h ∈ C01 [a, b] òàêàÿ, ÷òî èíòåãðàë íå áóäåò
ðàâåí íóëþ.
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü u(s0 ) ̸= 0, ãäå s0 íåêîòîðàÿ âíóòðåííÿÿ òî÷êà.
Òîãäà â ñèëó íåïðåðûâíîñòè u íàéäåòñÿ îêðåñòíîñòü ýòîé òî÷êè (α, β) ⊂
(a, b), â êîòîðîé u èìååò òîò æå çíàê, ÷òî è u(s0 ). Ñòðîèì ôóíêöèþ h ∈
C01 [a, b], ëîêàëèçîâàííóþ íà (α, β) è ïîëîæèòåëüíóþ íà ýòîì èíòåðâàëå (òàêèå ñóùåñòâóþò íàïðèìåð, êâàäðàòè÷íûé ñïëàéí ïîñòðîèòü!). Ïðîèçâåäåíèå íåïðåðûâíî è çíàêîïîñòîÿííî íà (α, β), íóëü çà ïðåäåëàìè èíòåðâàëà,
èíòåãðàë íå ðàâåí íóëþ.
Åñëè s0 , ãäå u(s0 ) ̸= 0 ãðàíè÷íàÿ òî÷êà, òî ïî íåïðåðûâíîñòè íàéäåòñÿ
è âíóòðåííÿÿ. Ëåììà äîêàçàíà.
Äþáóà-Ðåéìîíà.
Ïóñòü v ∈ C[a, b], è äëÿ ëþáîãî h ∈ C01 [a, b] ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
∫ b
v(s)ḣ(s) ds = 0 .
Ëåììà
a
Òîãäà ôóíêöèÿ v êîíñòàíòà.
(Çàìå÷àíèå. Èñïîëüçîâàííàÿ çäåñü áóêâà v íå èìååò îòíîøåíèÿ ê ôîðìàëüíîìó ïàðàìåòðó ôóíêöèè f .)
Óáåäèìñÿ ñíà÷àëà, ÷òî äëÿ êîíñòàíòû èíòåãðàë ðàâåí íóëþ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè v = C , òî
∫ b
b
C ḣ(s) ds = Ch|a = 0 .
a
5
Òåïåðü ïðèñòóïèì ê äîêàçàòåëüñòâó. Çàìåòèì, ÷òî åñëè g íåêîòîðàÿ
ôóíêöèÿ íà [a, b] òî
∫
∃hg ∈
b
: g(s) = ḣg (s) ⇔ g ∈ C[a, b] ∧
C01 [a, b]
g(s) ds = 0 .
a
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè g(s) = ḣg (s), òî g ∈ C[a, b] â ñèëó íåïðåðûâíîé äèôôåðåíöèðóåìîñòè hg , è
∫
∫
b
g(s) ds =
a
a
b
b
ḣg (s) ds = hg |a = 0 .
Îáðàòíî, åñëè g íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ñ íóëåâûì ñðåäíèì, òî
∫ s
hg (s) =
g(τ ) dτ ∈ C01 [a, b] ,
a
ïîñêîëüêó ýòà ôóíêöèÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà è îáðàùàåòñÿ â íóëü
íà ãðàíèöàõ.
Òåïåðü îáîçíà÷èì
∫ b
1
C=
v(s) ds −
b−a a
ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè v íà îòðåçêå, è
g(s) = v(s) − C −
íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ñ íóëåâûì ñðåäíèì (ïðîâåðèòü!). Òîãäà äëÿ ëþáîãî
h ∈ C01 [a, b], ñîãëàñíî óñëîâèþ ëåììû,
∫
∫
b
a
∫
b
b
(v(s) − C)ḣ(s) ds =
g(s)ḣ(s) ds =
a
v(s)ḣ(s) ds = 0 .
a
Âûáåðåì h(s) = hg (s), òîãäà
∫
∫
b
b
g 2 (s) ds = 0 ,
g(s)ḣg (s) ds =
a
a
Ïîñêîëüêó ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà è íåîòðèöàòåëüíà, îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îíà òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ íà îòðåçêå [a, b], ò.å.
g 2 (s) = (v(s) − C)2 = 0 ,
îòêóäà
v(s) = C ,
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Îáîáùåííàÿ
ëåììà
Äþáóà-Ðåéìîíà.
6
(Çàìå÷àíèå. Íåêîòîðûå àâòîðû ïîä ëåììîé Äþáóà-Ðåéìîíà ïîíèìàþò
èìåííî ýòó ëåììó.)
Ïóñòü u, v ∈ C[a, b], è äëÿ ëþáîãî h ∈ C01 [a, b] ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
∫
b
(u(s)h(s) + v(s)ḣ(s)) ds = 0 .
a
Òîãäà ôóíêöèÿ v ∈ C 1 [a, b], è
u(s) = v̇(s) .
Óáåäèìñÿ ñíà÷àëà, ÷òî â ñëó÷àå u(s) = v̇(s) èíòåãðàë äåéñòâèòåëüíî
îáðàùàåòñÿ â íóëü. Äåéñòâèòåëüíî,
∫
∫
b
b
(u(s)h(s) + v(s)ḣ(s)) ds =
a
∫
=
a
(v̇(s)h(s) + v(s)ḣ(s)) ds =
a
b
(v(s)h(s))· ds = (v(s)h(s))|a = 0 .
b
Òåïåðü ïðèñòóïèì ê äîêàçàòåëüñòâó. Îáîçíà÷èì
∫ s
w(s) =
u(τ ) dτ ,
a
òîãäà u(s) = ẇ(s), è ∀h ∈ C01 [a, b]:
∫
∫
b
(u(s)h(s) + v(s)ḣ(s)) ds =
a
(ẇ(s)h(s) + v(s)ḣ(s)) ds =
a
∫
b
b
= (w(s)h(s))|a +
b
∫
(−w(s)ḣ(s) + v(s)ḣ(s)) ds =
a
b
(−w(s) + v(s))ḣ(s) ds = 0 .
a
Òîãäà, ñîãëàñíî ëåììå Ðþáóà-Ðåéìîíà,
−w(s) + v(s) = C ,
ò.å.
v(s) = w(s) + C .
Òîãäà v ∈ C [a, b], êàê ñóììà w ∈ C 1 [a, b] è êîíñòâíòû. Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî, ïîëó÷àåì:
1
v̇(s) = ẇ(s) = u(s) ,
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
7
Çàìå÷àíèå. Åñëè áû áûëî çàðàíåå èçâåñòíî, ÷òî v ∈ C 1 [a, b], äîêàçàòåëüñòâî ìîæíî áûëî áû ñîêðàòèòü:
∫ b
(u(s)h(s) + v(s)ḣ(s)) ds =
a
=
∫
b
(v(s)h(s))|a
∫
b
(u(s)h(s) − v̇(s)h(s)) ds =
+
a
b
(u(s) − v̇(s))h(s) ds = 0 ,
=
a
è òîãäà ïî ëåììå Ëàãðàíæà
u(s) − v̇(s) = 0 .
Òåïåðü âîçâðàùàåìñÿ ê ðàññìîòðåíèþ çàäà÷è ñ çàêðåïëåííûìè êîíöàìè. Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà â ýòîé çàäà÷å â òî÷íîñòè ïîâòîðÿåò
óñëîâèÿ èç îáîáùåííîé ëåììû Äþáóà-Ðåéìîíà ïðè
u(s) = fx (s, x(s), ẋ(s)) ,
v(s) = fẋ (s, x(s), ẋ(s)) .
Ïîýòîìó â ñèëó ðåçóëüòàòà ëåììû èìååì:
d
fẋ (s, x(s), ẋ(s)) = fx (s, x(s), ẋ(s)) .
ds
Ïðèíÿòî ýòî óðàâíåíèå, èìåíóåìîå óðàâíåíèåì Ýéëåðà (èëè óðàâíåíèåì
Ýéëåðà-Ëàãðàíæà) çàïèñûâàòü â âèäå
−
d
fẋ (s, x(s), ẋ(s)) + fx (s, x(s), ẋ(s)) = 0 .
ds
Ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ (íåçàâèñèìî îò òîãî, óäîâëåòâîðÿåò
ëè îíî êðàâåâûì óñëîâèÿì) íàçûâàþò ýêñòðåìàëüþ èñõîäíîãî ôóíêöèîíàëà.
d
Ïðîèçâîäíàÿ ds
ïî ïåðåìåííîé s ïîëíàÿ, ó÷èòûâàþùàÿ çàâèñèìîñòü
îò s âñåõ àðãóìåíòîâ:
d
fẋ (s, x(s), ẋ(s)) =
ds
= fsẋ (s, x(s), ẋ(s)) + fxẋ (s, x(s), ẋ(s))ẋ + fẋẋ (s, x(s), ẋ(s))ẍ
(ýòà ôîðìóëà ñïðàâåäëèâà, åñëè âñå ïðîèçâîäíûå â ïðàâîé ÷àñòè ñóùåñòâóþò). Êàê ìû âèäèì, óðàâíåíèå Ýéëåðà îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî x(s), äëÿ êîòîðîé, ñ ó÷åòîì
óñëîâèé x(a) = A , x(b) = B ìû ïîëó÷àåì ïåðâóþ êðàåâóþ çàäà÷ó, ðåøåíèå êîòîðîé (â ïðèíöèïå îíî ìîæåò áûòü íå îäíî) íåçûâàåòñÿ äîïóñòèìîé
ýêñòðåìàëüþ (ò.å. ýêñòðåìàëüþ, äîïóñòèìîé ïî îãðàíè÷åíèþ) è ÿâëÿåòñÿ
8
ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé ôóíêöèîíàëà íà ìíîæåñòâå M è êàíäèäàòîì íà ðîëü
óñëîâíîãî ýêñòðåìóìà. ×òîáû âûÿñíèòü, äîñòàâëÿåò ëè íàéäåííàÿ ôóíêöèÿ ýêñòðåìóì ôóíêöèîíàëó, à åñëè äà, òî êàêîé èìåííî (ìàêñèìóì èëè
ìèíèìóì), òðåáóåòñÿ äàëüíåéøèé àíàëèç, êîòîðûé èíîãäà ïî òðóäîåìêîñòè
ïðåâîñõîäèò ñîáñòâåííî ïðîöåññ ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è.
Ïåïåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ çàäà÷è ñî ñâîáîäíûìè êîíöàìè, ò.å. çàäà÷è
áåçóñëîâíîé îïòèìèçàöèè, êîãäà íà ôóíêöèþ x(s) íå íàêëàäûâàåòñÿ íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé.  ýòîì ñëó÷àå äèôôåðåíöèàë Ôðåøå dΦ äîëæåí îáðàùàòüñÿ â íóëü íà ëþáûõ ýëåìåíòàõ h ∈ C 1 [a, b], â òîì ÷èñëå è íà h ∈ C01 [a, b].
Îòñþäà, îïÿòü ïðèìåíÿÿ îáîáùåííóþ ëåììó Äþáóà-Ðåéìîíà, ìû ñíîâà ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ Ýéëåðà. Òàêèì îáðàçîì, ëþáîå ðåøåíèå îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è áåç îãðàíè÷åíèé ÿâëÿåòñÿ ýêñòðåìàëüþ ôóíêöèîíàëà Φ.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû äîïîëíèòü óðàâíåíèå Ýéëåðà êðàåâûìè óñëîâèÿìè, ñíîâà âûïîëíèì èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì, òåïåðü óæå íå ñ÷èòàÿ, ÷òî h ∈
C01 [a, b]:
∫
b
(fx (s, x(s), ẋ(s))h(s) + fẋ (s, x(s), ẋ(s))ḣ(s)) ds =
a
b
= (fẋ (s, x(s), ẋ(s))h(s))|a +
)
∫ b(
d
+
fx (s, x(s), ẋ(s)) − fẋ (s, x(s), ẋ(s)) h(s) ds =
ds
a
= fẋ (b, x(b), ẋ(b))h(b) − fẋ (a, x(a), ẋ(a))h(a) = 0 .
Ïîñëåäíèé èíòåãðàë èñ÷åç, òàê êàê ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ òîæäåñòâåííî ðàâíà íóëþ â ñèëó óðàâíåíèÿ Ýéëåðà, îñòàëàñü ïîäñòàíîâêà, êîòîðàÿ òàêæå äîëæíà îáðàùàòüñÿ â íóëü ïðè ïðîèçâîëüíûõ h ∈ C01 [a, b]. Ïîî÷åðåäíî
ïîäñòàâëÿÿ â ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ôóíêöèþ h(s) = s − a è h(s) = s − b, ìû
ïîëó÷èì, ÷òî
fẋ (a, x(a), ẋ(a)) = fẋ (b, x(b), ẋ(b)) = 0 .
Ýòè óñëîâèÿ íîñÿò íàçâàíèå óñëîâèé òðàíñâåðñàëüíîñòè èëè, â äðóãîé òåðìèíîëîãèè, åñòåñòâåííûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (åñòåñòâåííûõ â òîì ñìûñëå, ÷òî ìû èõ íå íàêëàäûâàåì ïðè ïîñòàíîâêå çàäà÷è, êàê â çàäà÷å ñ çàêðåïëåííûìè êîíöàìè, à îíè âûïîëíÿþòñÿ íà ýêñòðåìàëüíîì ýëåìåíòå ñàìè
ñîáîé). Ðåøèâ êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ Ýéëåðà, ïîëó÷èì ñòàöèîíàðíóþ òî÷êó ôóíêöèîíàëà íà âñåì ïðîñòðàíñòâå C01 [a, b] (èëè íåñêîëüêî òàêèõ
òî÷åê). Êàæäîå èç ðåøåíèé çàòåì, êàê è â çàäà÷å ñ çàêðåïëåííûìè êîíöàìè,
íóæíî èññëåäîâàòü íà ýêñòðåìàëüíîñòü.
Çàìå÷àíèå. Óñëîâèÿ òðàíñâåðñàëüíîñòè âîçíèêàþò â êà÷åñòâå êðàåâûõ
óñëîâèé äëÿ óðàâíåíèÿ Ýéëåðà è ïðè ïîèñêå ýêñòðåìóìà ôóíêöèîíàëîâ áîëåå îáùåãî âèäà, ñîäåðæàùèõ, íàðÿäó ñ èíòåãðàëüíûì ñëàãàåìûì, òàêæå
ñëàãàåìûå, çàâèñÿùèå îò çíà÷åíèé ôóíêöèè x â ãðàíè÷íûõ òî÷êàõ. Äëÿ òàêèõ ôóíêöèîíàëîâ óñëîâèÿ òðàíñâåðñàëüíîñòè èìåþò áîëåå ñëîæíûé âèä.
9