7 класс Задание 1

7 класс
Задание 1
1) Найти наибольшее число, которое при делении на 31 в частном дает 30.
Решение. Число будет наибольшим, если при делении его на 31 получится наибольший из
возможных остатков. Таким остатком будет 30. Значит, искомое
число равно
30  31  30  32  30  960.
Ответ: 960.
2) Доказать, что если ab  cd делится на a  c , то ad  bc тоже делится на a  c (здесь
a, b, c, d - целые числа, причем a  c ).
Решение. По условию ab  cd  a  cm, ab  cd  am  cm  b  m, d  m.
Имеем ad  bc  a m  mc  ma  c , что и требовалось доказать.
3) Собрав 770 орехов, три девочки разделили их пропорционально своему возрасту. Всякий
раз, как Юля брала 4 ореха, Катя брада 3, а на каждые 6 орехов, полученные Юлей, Лене
досталось 7. Сколько орехов получила каждая девочка?
Решение. Возраст девочек находится в отношении 9:12:14 (он определяется не однозначно).
Имеем 9 + 12 + 14 = 35, 770:35 = 22. Умножая 22 на 9, 12 и 14 соответственно, найдем, что
младшая девочка получила 198 орехов, средняя 264, старшая 308.
Ответ: 198, 264, 308.
4) Цена входного билета на стадион была 180 рублей. После снижения входной платы число
зрителей увеличилось на 50 %, а выручка выросла на 25 %. Сколько стал стоить билет после
снижения?
Решение. Входная плата с каждых двух зрителей до снижения была 360 руб. После
снижения вместо каждых двух зрителей стадион посещали 3 человека, платившие 360 р. +
90 р. = 450 р. Стоимость билета 450 р.: 3 = 150 р.
Ответ: 150 руб.
5) На складе хранилось 100 кг ягод, содержание воды в которых составляло 99 %. От долгого
хранения содержимое воды в ягодах сократилось до 98 %. Сколько теперь весят ягоды?
Решение. В начале хранения в ягодах был 1% (т.е. 1 кг) сухого вещества. В конце хранения
этот же 1 кг составлял 2% (т.е. 100% - 98%) от всех ягод. Значит, если 2% - 1 кг, то 100% 50 кг. Следовательно, к концу хранения на складе лежало 50 кг ягод.
Ответ: 50 кг.