Задача 1 Заполните свободные клетки "шестиугольника" (см. рисунок) целыми числами от 1 до 19, чтобы во всех вертикальных и диагональных рядах сумма чисел, стоящих в одном ряду, была бы одна и та же. Подсказка: Попробуйте определить сумму чисел в ряду, тогда вы сможете расставить по местам несколько чисел. Затем попробуйте определить, какое число стоит в центральной клетке. Решение: Поскольку один из рядов таблицы заполнен, то можно определить сумму ряда — она равна 38. Теперь можно расставить числа во многих клетках. Осталось 7 пустых клеток, в которых должны быть расположены числа 4, 5, 6, 8, 13, 14, 15. Рассмотрим диагональ, на которой расположены числа 10, 1, 18. Две пустые клетки на ней должны занимать два числа с суммой 9. Это могут быть только 4 и 5. Теперь рассмотрим ту диагональ, на которой расположены числа 16, 2, 9. Две пустые клетки на ней должны занимать два числа с суммой 11. Это могут быть только 5 и 6. Значит, в центре стоит 5, а вторые числа на диагоналях — соответственно 4 и 6. Теперь уже можно однозначно заполнить всю таблицу. Ответ: См. рисунок справа. Задача 2 Во время бала каждый юноша танцевал вальс с девушкой либо более красивой, чем на предыдущем танце, либо более умной, а хотя бы один — с девушкой одновременно более красивой и более умной. Могло ли такое быть? (Юношей и девушек на балу было поровну.) Решение: Пусть на балу присутствовали три девушки — Анна, Вера и Светлана. Пусть также по красоте девушки расположены в порядке: Светлана–Анна–Вера (Вера — самая красивая), а по уму — в порядке Вера–Светлана–Анна (Анна — самая умная). Предположим, что каждый юноша, танцевавший с Анной, приглашает на следующий танец с Веру (более красивую девушку), танцевавший с Верой — Светлану, (более умную), танцевавший со Светланой — Анну (одновременно более красивую и более умную). Как видим, описанная в задаче ситуация могла быть. Ответ: Да, могло. Задача 3 Сборная России по футболу выиграла у сборной Туниса со счетом 9:5. Докажите, что по ходу матча был момент, когда сборной России оставалось забить столько голов, сколько уже забила сборная Туниса. Решение: Рассмотрим тот момент матча, когда всего было забито 9 голов. Пусть сборная России к этому моменту забила n мячей; тогда Тунис забил (9-n) мячей. Но России осталось забить как раз (9-n) мячей, что и требовалось доказать. Задача 4 На складе хранилось 100 кг ягод, содержание воды в которых составляло 99%. От долгого хранения содержание воды в ягодах сократилось до 98%. Сколько теперь весят ягоды? Подсказка: Заметьте, вначале в ягодах содержался 1 кг "сухого вещества". Решение: В начале хранения в ягодах был 1% (т.е. 1 кг) сухого вещества. В конце хранения этот же 1 кг составлял уже 2% (т.е. 100%-98%) от всех ягод. Значит, если 2% — 1 кг, то 100% — 50 кг. Следовательно, к концу хранения на складе лежало 50 кг ягод. Ответ: 50 кг. Задача 5 Найти хотя бы одно целочисленное решение уравнения a2b2+a2+b2+1=2005. Решение: Найдём все целочисленные решения этого уравнения. Разложим левую часть уравнения на множители: a2b2 + a2 + b2 + 1 = = (a2 + 1)(b2 + 1). Тогда уравнение примет вид (a2 + 1)(b2 + 1) = 2005. Теперь разложим число 2005 на множители: 2005 = 5 · 401 = = 1 · 2005. Отсюда, поскольку число 2004 не является полным квадратом, либо a2 + 1 = 5 и b2 + 1 = 401, либо a2 + 1 = 401 и b2 + 1 = 5. Решая эти уравнения, получаем, что все решения имеют вид a = ±2, b = ±20 или вид a = ±20, b = ±2. Ответ: Например, a = 2, b = 20. Задача 6 Докажите, что при любом целом положительном n число n2 + 8n + 15 не делится на n + 4. Решение: Достаточно заметить, что n2 + 8n + 15 = (n + 4)2 - 1. Задача 7 Найдите хотя бы две пары натуральных чисел, для которых верно равенство 2x3 = y4. Подсказка: Заметив, что x = 2, y = 2 — решение, попробуйте найти ещё одно в виде x = 2k, y = 2n. Решение: Заметим, что x = 2, y = 2 — решение. Попробуем найти ещё одно в виде x = 2k, y = 2n, подобрав подходящие k и n. Имеем 2 . (2k)3 = (2n)4, или 23k + 1 = 24n. Осталось подобрать k и n так, чтобы было выполнено равенство 3k + 1 = 4n. Ну, а это уже совсем просто. Например, k = 5, n = 4 и, соответственно, x = 32, y = 16. Ответ: x = 2, y = 2; x = 32, y = 16.