БУиА_3,5_Акимов А.А.

Вопросы к экзамену «Математический анализ»
БУиА 3,5г. 2012-2013г.
Составитель: к.ф.-м.н.Акимов А.А.
1. Понятие последовательности. Виды последовательностей и их свойства. Сходящиеся последовательности.
2. Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Примеры.
3. Понятие функции. Примеры. Предел функции. Понятие одностороннего предела.
4. Предел функции. Эквивалентность предела функции по Гейне и по Коши. Теорема
об арифметических действиях над функциями, имеющими предел.
5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Свойства.
6. Понятие непрерывности функции в точке. Арифметические действия над непрерывными функциями. Сложная функция и её непрерывность.
7. Монотонные функции и их свойства. Обратная функция. Теорема о существовании
обратной функции.
8. Простейшие элементарные функции. Свойства функций.
9. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Следствия.
10. Точки разрыва функции и их классификация. Примеры.
11. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций.
12. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции
на сегменте.
13. Разностная форма условия непрерывности. Понятие производной. Правая и левая
производные. Геометрический смысл производной.
14. Понятие дифференцируемости функции. Дифференцируемость и непрерывность.
15. Понятие дифференциала функции. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Применение дифференциала для приближенных вычислений.
16. Дифференцирование сложной функции и обратной функции. Дифференцирование
суммы, разности, произведения и частного функций.
17. Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функции,
заданной параметрически.
18. Возрастание и убывание функции в точке. Локальный экстремум. Достаточные
условия локального экстремума. Понятие выпуклости графика функции. Точки перегиба.
19. Теорема Роля.Теорема Лагранжа. Геометрический смысл теоремы. Следствия из
теоремы Лагранжа. Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши).
20. Правило Лопиталя. Раскрытие различных неопределенностей с использованием
правила Лопиталя.
21. Формула Тейлора. Различные формы остаточного члена в формуле Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций.
22. Первообразная функции. Неопределенный интеграл, основные свойства. Методы
непосредственного интегрирования, подстановки и по частям.
23. Интегрирование рациональных функций.
24. Интегрирование некоторых иррациональных функций Интегрирование некоторых
тригонометрических функций.
25. Свойства определенных интегралов, выражаемые равенствами и неравенствами.
26. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле.
27. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле. Интегрирование четных, нечетных, периодических функций.
28. Квадрируемые фигуры. Площадь криволинейной трапеции. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах.
29. Кубируемые тела. Вычисление объема тел вращения.
30. Понятие спрямляемой кривой. Вычисление длины дуги кривой.
31. Функции многих переменных. Область определения. Линии уровня. График функции.
32. Частное и полное приращение функции. Предел функции двух переменных. Непрерывность функции.
33. Частные производные функции многих переменных. Производная сложной функции.
34. Производная по направлению. Градиент функции двух переменных.
35. Полный дифференциал функции двух переменных. Производная неявно заданной функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
36. Максимум и минимум функции многих переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области. Условный экстремум.
37. Уравнения 1-го порядка. Теорема о существовании и единственности решения. Общее
решение.
38. Уравнения с разделяющимися переменными.
39. Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка.
40. Линейные дифференциальные уравнения. Уравнение Бернулли.
41. Уравнения в полных дифференциалах.
42. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка и выше. Методы понижения порядка.
43. Однородные уравнения. Свойства их решений. Понятие о линейной независимости решений. Общее решение.
44. Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды.
45. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами.
46. Признаки сравнения. Признаки Даламбера и Коши.
47. Интегральный признак Коши-Маклорена.
48. Понятия абсолютно и условно сходящихся рядов. Признаки Абеля сходимости рядов.
49. О перестановке членов условно и абсолютно сходящегося ряда.
50. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Арифметические операции над сходящимися рядами.
51. Понятие функциональной последовательности и функционального ряда.
52. Сходимость функционального ряда в точке, равномерная сходимость.
53. Достаточные признаки равномерной сходимости функциональных рядов. Признак Вейерштрасса.
54. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование функциональных рядов.
55. Степенной ряд и область его сходимости. Теорема Коши-Адамара.
56. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование степенного ряда.
57. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора.
58. Ортонормированные системы. Понятие об общем ряде Фурье.
59. Условия равномерной и абсолютной сходимости ряда Фурье.
Зав. кафедрой
Калиев И.А.