Вопросы к экзамену (матем. анализ)

Обязательные вопросы к экзамену по курсу «Математический анализ». Семестр 2.
Факультет Т. Лектор Логинов А.С.
Неопределенный интеграл
1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Простейшие свойства
неопределенного интеграла. Два основных метода интегрирования.
2. Разложение рациональной функции на простейшие дроби и их интегрирование.
3. Интегрирование иррациональностей (в том числе подстановки Эйлера).
4. Интегрирование дифференциальных биномов. Интегрирование трансцендентных
функций.
Определенный интеграл
1. Интегрируемость функции на отрезке, определенный интеграл. Интеграл, как
предел последовательности. Геометрический смысл интегральных сумм.
2. Ограниченность интегрируемой функции.
3. Суммы Дарбу и их свойства.
4. Верхний и нижний интегралы. Критерий интегрируемости (теорема Дарбу).
5. Классы интегрируемых функций (непрерывные, монотонные).
6. Интегрируемость функции, имеющей конечное число разрывов.
7. Свойства определенного интеграла (линейность, модуль, произведение, разрывы,
неравенства).
8. Теоремы о среднем (первая и вторая теоремы о среднем)
9. Аддитивность по множеству.
10. Третья теорема о среднем.
11. Неравенство Коши-Буняковского.
12. Непрерывность и дифференцируемость интеграла, как функции верхнего предела.
Существование первообразной у непрерывной функции. Формула НьютонаЛейбница.
13. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле.
14. Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме.
15. Длина дуги гладкой кривой. Вычисление длины дуги в случаях параметрического,
явного задания и в полярных координатах.
16. Квадрируемые фигуры, площадь, критерий квадрируемости. Площадь
криволинейной трапеции. Вычисление площади области, граница, которой задана в
полярных координатах.
17. Понятие объема, критерий кубируемости. Объем тела вращения.
18. Площадь поверхности вращения (вывод для функции, заданной явно и
параметрически).
19. Первая теорема Гюльдена.
Несобственные интегралы
1. Определения несобственных интегралов первого и второго рода. Главное значение.
2. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Простейший признак
сходимости. Предельный признак сходимости.
3. Абсолютная и условная сходимость. Критерий абсолютной сходимости.
4. Признаки Абеля и Дирихле.
5. Интегрирование по частям и замена переменного в несобственных интегралах.
6. Функции Эйлера (существование, простейшие свойства).
Многомерное евклидово пространство
1. Метрическое пространство (метрика, расстояние). Сходимость. Неравенство КошиБуняковского.
2. Скалярное произведение. Связь между расстоянием, нормой и скалярным
произведением. Евклидово пространство.
3. Фундаментальная последовательность. Критерий фундаментальности (в терминах
координат). Критерий Коши сходимости последовательности.
4. Ограниченность сходящейся последовательности. Теорема о последовательности
вложенных стягивающихся прямоугольников. Терема Больцано-Вейерштрасса.
5.
Функции многих переменных. Непрерывность
6. Функция многих переменных. Предел. Критерий Коши существования конечного
предела.
7. Свойства пределов. Предел функции в данном направлении. Повторные пределы.
Связь повторного предела с двойным.
8. Непрерывность функции. Свойства. Непрерывность суперпозиции.
9. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции. Теоремы
Вейерштрасса.
10. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.
Дифференцируемые функции многих переменных
1. Определение частной производной. Геометрический смысл. Дифференцируемость
и дифференциал. Связь дифференцируемости с непрерывностью и с частными
производными.
2. Дифференцирование сложной функции.
3. Инвариантность первого дифференциала. Простейшие свойства дифференциала.
4. Производная по заданному направлению. Градиент. Связь градиента с производной
по заданному направлению.
5. Гладкие поверхности. Касательная плоскость, нормаль. Геометрический смысл
дифференциала.
6. Различные способы задания поверхностей. Матрица Якоби. Касательная к
поверхности, заданной параметрически.
7. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Независимость
частных производных от порядка дифференцирования.
8. Теорема Лагранжа.
9. Формула Тейлора.
10. Экстремумы функций. Необходимое условие для экстремума.
11. Экстремумы функций. Достаточное условие для экстремума.
Теория неявных функций
1. Матрица Якоби отображения, якобиан. Свойства, связанные с суперпозицией
отображений.
2. Неявные функции. Неявная функция одного переменного. Геометрический смысл.
3. Неявная функция многих переменных. Отображение, заданное неявно. Вычисление
производных и дифференциалов для координат неявно заданных отображений.
Матричные уравнения для поиска матриц Якоби и старших производных и
дифференциалов неявно заданных систем функций.
4. Дифференцируемые отображения, регулярные отображения. Функциональная
зависимость систем функций. Необходимое условие зависимости функций.
5. Достаточное условие функциональной зависимости.
6. Условный экстремум. Необходимые условия для условного экстремума.
7. Достаточные условия для условного экстремума.