Вопросы к экзамену 1семестр

Вопросы к экзамену
1семестр
1. Множества и действия над ними
2. Действительные числа
3. Верхняя и нижняя грани числовых множеств. Существование точной
черхней и нижней граней.
4. Числовая последовательность, определение предела.
5. Единственность предела последовательности.
6. Ограниченность сходящейся последовательности.
7. Арифметические операции под сходящимися последовательностями.
8. Теорема о пределе промежуточной последовательности.
9. Переход к пределу в неравенствах для последовательностей.
10. Подпоследовательности. Верхний и нижний пределы последовательности.
11. Теорема Больцпно-Вейерштрасса.
12. Критерий Коши для сходящихся последовательностей.
13. Монотонные последовательности и их сходимость.
14. Число «е».
15. Теорема Кантора о вложенных отрезках.
16. Понятие функции. Обратная и сложная функции. График. Способы задания
функции. Основные элементарные функции. Элементарные функции.
17. Предел функции в точке.
18. Различные типы пределов.
19. Единственность предела функции.
20. Ограниченность функции, имеющей предел в данной точке.
21. Теорема о пределе промежуточной функции.
22. Теорема о пределе суммы, произведения и частного двух функций.
23. Предел монотонных функций.
24. Переход к пределу в неравенстве для функций.
25. Критерий Коши существования предела функции.
26. Непрерывные функции и их простейшие свойства.
27. Классификация точек разрыва функции.
28. Предел сложной функции. Непрерывность сложной функции.
29. Теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке
функции.
30. Теорема Вейерштрасса о достижимости точных граней непрерывной
функции на отрезке.
31. Теорема Коши о нулях непрерывной функции. Промежуточные значения
непрерывной функции.
32. Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной функции.
33. Существование и непрерывность обратной функции.
34. Первый замечательный предел и следствия из него.
35. Второй замечательный предел и следствия из него.
36. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно
малых. Эквивалентность бесконечно малых.
37. Определение производной. Геометрический и физический смысл.
Односторонние производные.
38. Дифференцируемость функции . Дифференциал и его свойства.
39. Дифференцирование суммы, произведения, частного двух функций.
40. Производная сложной функции.
41. Производная обратной функции.
42. Таблица производных основных элементарных функций.
43. Дифференцирование функций, заданных параметрически и в неявном виде.
44. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
45. Теорема Ферма.
46. Теорема Ролля.
47. Теорема Лагранжа.
48. Теорема Коши.
49. Правило Лопиталя.
50. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
51. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
52. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора.
53. Критерий возрастания (убывания) функции.
54. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия.
55. Наибольшее и наименьшее значения функции.
56. Выпуклость функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции.
57. Общая схема исследования функции и построение ее графика.
58. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.
59. Интегрирование по частям неопределенного и определенного интегралов.
60. Замена переменной в неопределенном и определенном интегралах.
61. Интегрирование дробно-рациональных функций.
62. Интегрирование тригонометрических выражений.
63. Интегрирование иррациональных выражений.
64. Определение определенного интеграла. Геометрический смысл.
65. Необходимое условие интегрируемости функции.
66. Сумма Дарбу и их свойства.
67. Критерий интегрируемости ограниченной функции.
68. Интегрируемость монотонных и непрерывных функций.
69. Интегрируемость суммы, произведения и частного двух функций.
70. Основные свойства определенного интеграла.
71. Интеграл с переменным верхним пределом.
72. Формула Ньютона-Лейбница.
73. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
74. Приближенное вычисление определенного интеграла.
75. Непрерывность интегралов, зависящих от параметров.
76. Дифференцируемость интегралов, зависящих от параметров.
77. Интегрирование интегралов, зависящих от параметра.
78. Интеграл Римана-Стильтьеса и его свойства.
79. Теоремы о среднем для интеграла Римана-Стильтьеса.
80. Вычисление интеграла Римана-Стильтьеса.