Экзаменационные вопросы по математическому анализу II

Экзаменационные вопросы по математическому анализу
II семестр 2008-2009 уч.г. гр. 6101-6103
1. Основные методы интегрирования: замена переменных и интегрирование по частям.
2. Интегрирование рациональных дробей. Метод неопределенных коэффициентов. Метод
Остроградского.
3. Интегрирование тригонометрических выражений.
4. Интегрирование иррациональных выражений.
5. Определенный интеграл по Риману.
6. Суммы Дарбу. Определенный интеграл по Дарбу.
7. Необходимое условие интегрируемости функции на отрезке.
8. Понятие равномерной сходимости. Теорема Кантора.
9. Теорема об интегрируемости непрерывных функций.
10. Следствие теоремы об интегрируемости непрерывных функций. Теорема об
интегрируемости монотонной функции.
11. Свойства определенного интеграла.
12. Оценки интегралов.
13. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца. Неравенство Минковского.
14. Теорема о среднем.
15. Интеграл как функция верхнего предела. Теорема 1.
16. Интеграл как функция верхнего предела. Теорема 2.
17. Интеграл как функция верхнего предела. Теорема 3. Замечания.
18. Формула Ньютона-Лейбница.
19. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле.
20. Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла.
21. Вычисление длины дуги с помощью определенного интеграла.
22. Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений с помощью
определенного интеграла.
23. Объем тела вращения. Площадь поверхности тела вращения.
24. Приближенные методы вычисления определенных интегралов. Формулы левых, правых и
средних прямоугольников.
25. Приближенные методы вычисления определенных интегралов. Формула трапеций.
26. Приближенные методы вычисления определенных интегралов. Формула парабол (Симпсона).
27. Несобственные интегралы первого и второго рода. Простейшие теоремы о
несобственных интегралах.

dx
28. Сходимость интеграла  p , a > 0.
a
x
29. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов первого рода.
30. Теоремы сравнения для несобственных интегралов первого рода.
31. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.
32. Понятие числового ряда. Условие сходимости геометрической прогрессии. Критерий Коши
для числового ряда.
33. Простейшие теоремы о рядах.
34. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд.
35. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Первая
теорема сравнения.
36. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Вторая
теорема сравнения.
37. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Третья
теорема сравнения.
38. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Признак Даламбера.
39. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Признак Коши.
40. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Интегральный
признак Маклорена-Коши.
41. Условия сходимости обобщенно-гармонического ряда.
42. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Признак Рабе.
43. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Признак Вейерштрасса.
44. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
45. Свойства сходящихся рядов. Сочетательное свойство.
46. Свойства сходящихся рядов. Переместительное свойство (теорема Дирихле).
47. Свойства сходящихся рядов. Переместительное свойство (теорема Римана).
48. Свойства сходящихся рядов. Умножение рядов (теорема Коши).
49. Функциональные последовательности. Критерий Коши поточечной сходимости
функциональной последовательности.
50. Равномерная сходимость функциональной последовательности. Критерий Коши
равномерной сходимости функциональной последовательности.
51. Функциональный ряд. Сумма функционального ряда, область сходимости. Критерии
Коши поточечной, равномерной и абсолютной сходимости функционального ряда.
Теорема Вейерштрасса для функционального ряда.
52. Непрерывность суммы функционального ряда.
53. Почленное интегрирование функционального ряда.
54. Почленное дифференцирование функционального ряда.
55. Степенной ряд. Область сходимости степенного ряда.
56. Непрерывность суммы степенного ряда.
57. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование степенного ряда.
58. Ряд Тейлора и ряд Маклорена. Условия сходимости рядов Тейлора и Маклорена.
x
59. Разложение в ряд Маклорена функций y = e , y = sin x, y = cos x.
60. Биномиальный ряд.
61. Разложение в ряд Маклорена функций y = ln(1+x), y = arctg x.
62. Ряд Фурье для функции, заданной на промежутке (-  ,  ).
63. Интеграл Дирихле.
64. Ряд Фурье для четной и нечетной 2  -периодической функции.
65. Ряд Фурье для функции, заданной на произвольном промежутке.
66. Интеграл Фурье.
67. Ряд Фурье в комплексной форме.
68. Множества в n-мерном евклидовом пространстве. Функции нескольких переменных.
69. Предел функции нескольких переменных.
70. Повторные пределы функции нескольких переменных. Теорема о равенстве
повторных пределов.
71. Непрерывность функции нескольких переменных. Теоремы о непрерывных функциях.
72. Частные производные.
73. Полный дифференциал функции нескольких переменных.
74. Производные сложных функций нескольких переменных.
75. Формула конечных приращений и ее следствия.
76. Производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.
77. Пример функции с неравными смешанными производными.
78. Дифференциалы высших порядков.
79. Свойство инвариантности формы дифференциала функции нескольких переменных.
80. Формула Тейлора функции нескольких переменных.
81. Необходимое условие существования экстремума функции нескольких переменных.
82. Достаточное условие существования экстремума функции n переменных (n  3).
83. Достаточное условие существования экстремума функции двух переменных.
84. Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных в замкнутой,
ограниченной области.
85. Условный экстремум. Функция Лагранжа.