Пример ТАУ.

ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЗВЕНЬЕВ
Для описания динамических свойств линейных звеньев в теории
автоматического управления помимо дифференциальных уравнений широко
используются передаточные функции.
В основе понятия передаточной функции лежит преобразование Лапласа,
сущность которого заключается в переходе от функции времени к функции
комплексной переменной S  c  jw по формуле

X S   Lxt    xt e  St dt
(2.5)
0
Функция xt  в выражении (2.5) называется оригиналом, а X(s) изображением. Вычисленные по формуле (2.5) изображения наиболее
употребительных функций приведены в литературе [3].
Основные свойства преобразования Лапласа характеризуются
следующими соотношениями.
1. Свойство линейности:
Laxt   aLxt ; Lx1 t   x2 t   Lx1 t   Lx2 t 
где a - постоянная.
2. Правило дифференцирования:
 dxt 
L
 SX S   x0
 dt 
где- X S   Lxt  ; x0  -значение функции xt  при t  0 (начальное условие).
3. Правило интегрирования:
t
 1
L  xt dt   X S 
0
 S
В частном, но часто встречающемся случае, когда значения всех
производных при t  0 (начальные условия) равны нулю» правило
дифференцирования принимает вид
 d n xt 
L
 L p n xt   S n X S ,
n 
 dt 


p  d ...
dt
- символ дифференцирования.
Нетрудно видеть, что при применении преобразования Лапласа к
дифференциальному уравнению при нулевых начальных условиях новое
уравнение получается путем замены p n или
dn
на S n и оригиналов xt  их
n
dt
изображением X S  .
Применим преобразование при нулевых начальных условиях к уравнению
(2.4).
Получим
T
3 3
3 S

 T22 S 2  T1 S X 2 S   k1 S  k 2 X 1 S   k 3 F S 
(2.6)
Разрешив это алгебраическое уравнение относительно величины X 2 s  ,
приведем его к виду
X 2 s   W1 S X S   W2 S F S 
где
W1 S  
(2.7)
k3
k1 S  k 2


;
W
S

2
T33 S 3  T22 S 2  T1 S  1
T33 S 3  T22 S 2  T1 S  1
Функции W1 и W 2 зависящие исключительно от параметров звена и
определяющие связь между изображениями выходной и входных величин,
называются передаточными функциями. Функцию W1 S  можно определить
из уравнения (7), если положить F S   0 :
W1 S  
X 2 S 
, F S   0
X 1 S 
(2.8)
Последнее выражение позволяет дать следующее определение передаточной
функции. Передаточной функцией динамического звена называется
отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению
входной величины при нулевых начальных условиях. При этом все другие
внешние воздействия полагаются равными нулю.
Выражения для передаточных функций динамического звена можно
получить формально из его дифференциального уравнения, записанного в
символическом виде (4), что вытекает из рассмотренного ранее правила
изображения производной при нулевых начальных условиях. Это же
свойство позволяет записать дифференциальное уравнение звена, зная его
передаточные функции. Заменив в них переменную S на p 
d
,можем
dt
записать уравнение в виде
x2 t   W1  p x1 t   W2  p  f t  ,
(2.9)
что вытекает из уравнения (2.4).
Пример –1. Построить передаточную функцию системы.
На рисунке использованы
следующие обозначения: m – масса,
кг; c – жесткость, Н/м;  –коэффициент
вязкого трения, кг/с; x – входное
перемещение, м; y – выходное
перемещение массы, м; P сила, Н.
Схема объекта
Составление динамической модели
Уравнение движения динамической модели составляется как уравнение
сил сопротивления и движущих сил по правилам теоретической механики:
d2y
dy dx
m 2   (  )  c( y  x)  P
dt dt
dt
Первая составляющая в уравнении– сила инерции, - вторая– сила трения,
третья– сила упругости.
В стандартной форме уравнение движения будет иметь вид:
m 2

1

s y  sy  y  P  sx  x
c
c
c
c
Отсюда получаем
T12 s 2 y  T2 sy  y  kP  T2 sx  x
где T12 
m


, T2  – постоянные времени динамической системы, k  –
c
c
c
коэффициент усиления
Математическая модель представлена с помощью передаточных функций
Y ( S )  W p S P( S )  Wx (S ) X (S )
где передаточная функция системы по силовому возмущению равна
Wp 
Y S 
k
,
 2 2
P ( S ) T1 S  T2 S  1
а передаточная функция системы по кинематическому возмущению
Wx 
T S 1
Y S 
 2 22
X ( S ) T1 S  T2 S  1