Document 4880407

Основы теории управления
Раздел 5. Передаточные функции и их свойства
Лекция 9. Определение матричных
передаточных функций с помощью
преобразования Лапласа
Лектор
Цветков Александр Владимирович, к.т.н., доцент кафедры
автоматики и информационных технологий УГТУ-УПИ
Авторы-разработчики :
• Цветков А.В.
• Ванеева Л.А.
• Страшинин Е. Э.
Екатеринбург 2007
Основы теории управления, Раздел 5 Передаточные функции и их свойства,
лекция 9
2
Цель лекции
Изучение лекции 9 даёт представление о:
• передаточной функции связывающей
изображения выходных и входных
сигналов;
• cвязи передаточной функции и
соответствующего дифференциального
уравнения.
Основы теории управления, Раздел 5 Передаточные функции и их свойства,
лекция 9
3
Содержание лекции
• Определение матричных передаточных функций.
• Определение скалярных передаточных функций.
Основы теории управления, Раздел 5 Передаточные функции и их свойства,
лекция 9
4
Определение матричных передаточных функций
с помощью преобразования Лапласа
Прямое и обратное преобразование Лапласа
определяется соотношениями:

прямое:
X ( s)  Lx(t )   x(t )e  st dt
0
  j
1
обратно
st
x(t )  L1X ( s ) 
X
(
s
)
e
е:
2 j  j
где s – комплексная переменная,
σ – абсцисса абсолютной сходимости физического сигнала.
Передаточной функцией звена или системы называют отношение
изображения выходной величины к изображению входной величины
при условии, что система в начальный момент находится в
состоянии покоя (начальные условия равны нулю).
Основы теории управления, Раздел 5 Передаточные функции и их свойства,
лекция 9
5
Определение матричных передаточных функций
с помощью преобразования Лапласа
Векторно-матричные передаточные функции
.
x  Ax  Bu
x ( 0)  0
D0
y  Cx
x(t )  X ( s )
u (t )  U ( s )
y (t )  Y ( s )
Везде имеем в виду векторы
 x1 (t )   X 1 ( s ) 
 .   .


 


x(t )   .    .

 

.
.

 

 xn (t )  X n ( s )
Основы теории управления, Раздел 5 Передаточные функции и их свойства,
лекция 9
6
Определение матричных передаточных функций
с помощью преобразования Лапласа
sX ( s )  AX ( s )  BU ( s )
Y ( s )  CX ( s )
sX ( s )  AX ( s )  BU ( s)
( sI  A) X ( s)  BU ( s)
Здесь I – единичная матрица
Умножим слева на
( sI  A) 1
X ( s)  ( sI  A) 1 BU ( s)
Y ( s)  C ( sI  A) 1 BU ( s)
Wux ( s )  ( sI  A) 1 B
Wuy (s)  C(sI  A) 1 B
- матричная передаточная функция от входа к вектору
состояния
- матричная передаточная функция от входа к выходу
Основы теории управления, Раздел 5 Передаточные функции и их свойства,
лекция 9
7
Определение матричных передаточных функций
с помощью преобразования Лапласа
Рассмотрим для примера пассивный четырехполюсник
 R

L
A
 1

 C
1

L

0 


1
 
B   L  C  0 1
0 
 
 R

 s 0  L
 
( sI  A)  
0
s

  1

 C
1 
R
 s 
L 
L

  1
0     C

1

L

s 

Основы теории управления, Раздел 5 Передаточные функции и их свойства,
лекция 9
8
Определение матричных передаточных функций
с помощью преобразования Лапласа
det( sI  A)  s( s 
R
1
R
1
)
 s2  s 
- характеристический многочлен системы
L
LC
L
LC









R
s 
L
1
C
s
1
L

 s
П
A 
 1

 C

 s
1
1

( sI  A) 
R
1
 1
s2  s 
L
LC  C
- матрица алгебраических дополнений
1 

L 
R  - присоединенная матрица
s 
L

1 

L 
R
s 
L

s 


1
L


Wux ( s )  ( sI  A) 1 B 
R
1  1 
s2  s 
L
LC  LC 
Основы теории управления, Раздел 5 Передаточные функции и их свойства,
лекция 9
9
Определение матричных передаточных функций
с помощью преобразования Лапласа
Введем понятие передаточной функции для звена с одним входом
и одним выходом и определим процедуру её вычисления в этом случае
Динамическое
звено
u(t)
U(s)
Y ( s)
W ( s) 
U (s)
d n y (t )
dy (t )
d m u (t )
an
 ...  a1
 a0 y (t )  bm
 ...  b0 u (t )
n
m
dt
dt
dt
( n 1)
y(0), y (0),..., y
(0)
Ly(t )  Y (s)
Lu(t )  U (s)
Ly(t )  sY (s)  y(0)
Lu(t )  sU (s)
L y ( n ) (t )  s nY ( s)  s n1 y(0)  ...  y(0)
L u m (t )  s ( m)U (s)



y(t)
Y(s)

В реальных физически реализуемых системах обычно m ≤ n
Основы теории управления, Раздел 5 Передаточные функции и их свойства,
лекция 9
10
Определение матричных передаточных функций
с помощью преобразования Лапласа
Перейдем от дифференциального уравнения к его
представлению в операторном виде:


an s nY ( s)  s n 1 y (0)  ...  y ( n 1) (0)  ...  a1 sY ( s)  y (0)  a0Y ( s)  bm s mU ( s)  ...  b0U ( s)
Умножим на коэффициенты, приведем подобные и все слагаемые,
содержащие начальные условия,
объединим в один полином и перенесем его в правую часть:




a n s ( n )  ...  a1 s  a0 Y ( s)  bm s ( m )  ...  b0 U ( s)  N 0 ( s)
 


 A
 B
(
s
)
(
s
)




N (s)
B( s )
Y ( s) 
U ( s)  0
- изображение выходного сигнала
A( s)
A( s)
Для определения передаточной функции начальные условия
должны быть нулевые, тогда N0(s)=0 , значит:
Y ( s) 
B( s )
U ( s)
A( s )
Y ( s) B( s) bm s m  ...  b0
W ( s) 


U ( s) A( s) a n s n  ...  a0
Основы теории управления, Раздел 5 Передаточные функции и их свойства,
лекция 9
11
Определение матричных передаточных функций
с помощью преобразования Лапласа
Примеры:
Определение передаточной функции по дифференциальному уравнению
y (t )  0.8 y (t )  y (t )  u (t )
W ( s) 
Y ( s)
1
 2
U ( s) s  0.8s  1
Запись дифференциального уравнения по передаточной функции.
W ( s) 
2(0.5s  1)
(2s  1)
2 y (t )  y (t )  u (t )  2u (t )
Передаточная функция дает нам количественную связь между входом и выходом.
Графически эта связь представляется в виде звена.
U(s)
W(s)
Y(s)
Y ( s )  W ( s )U ( s )
Основы теории управления, Раздел 5 Передаточные функции и их свойства,
лекция 9
12
Выводы и заключение
1.
2.
3.
Введено понятие передаточной функции, как
отношение изображения выходного сигнала к
изображению входного при нулевых начальных
условиях.
Передаточная функция однозначно определяется
по соответствующему дифференциальному
уравнению или по матрице динамики.
Передаточные функции определяют
количественную взаимосвязь между входом и
выходом.
Основы теории управления, Раздел 5 Передаточные функции и их свойства,
лекция 9
13
Перечень источников, список
дополнительной литературы
•
•
•
•
Юревич Е.И. Теория автоматического управления: Учебник для
вузов. СПб.: БХВ-Петербург, 2007. 560 с. (Допущено Министерством
образования и науки в качестве учебника для студентов вузов).
Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные
системы: Учебное пособие для вузов. СПб.: Питер, 2005. 336 с.
(Рекомендовано УМО по университетскому политехническому
образованию в качестве учебного пособия).
Никулин Е.А. Основы теории автоматического управления.
Частотные методы анализа и синтеза систем: Учебное пособие для
вузов. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 640 с. (Допущено УМО по
университетскому политехническому образованию в качестве
учебного пособия).
Страшинин Е.Э. Основы теории автоматического управления. Часть
1: Линейные непрерывные системы управления: Учебное пособие.
Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2000. 214 с.
Основы теории управления, Раздел 5 Передаточные функции и их свойства,
лекция 9
14