Вариант № 6

Практикум
по предмету
«Промышленная автоматизация»
Подготовил
Сергей Чекрыжов
Кохтла-Ярве
2014
Методическое пособие содержит варианты практических заданий по предмету «Основы
автоматики»для студентов специальности «Технология топлив».
Составитель Чекрыжов С., доц., канд. техн. наук
Практическая работа 1.
Решение дифференциальных уравнений с использованием преобразований Лапласа.
Пример Динамика технологического процесса описывается дифференциальным
уравнением
d2y
dy
dx
 5  6 y  2  12 x
2
dt
dt
dt
Входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. x(t) = 1. Тогда
1
изображение входного сигналаимеет вид X(s) = .
s
Производим преобразование исходного дифференциального уравнение по Лапласу и
подставляем X(s):
s2Y(s) + 5sY(s) + 6Y(s) = 2sX(s) + 12X(s),
s2Y(s) + 5sY(s) + 6Y(s) = 2s
1
1
+ 12 ,
s
s
Y(s)(s3 + 5s2 + 6s) = 2s + 12.
Определяется выражение для Y(s):
Y(s) 
2s  12
s  5s  6s
3
2
.
Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений. Для
решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что
знаменатель может быть представлен в виде s(s + 2)(s + 3):
2 4
2
2 s  12
2 s  12
=
= +
.
2
s  5s  6 s s( s  2)( s  3) s s  2 s  3
Теперь, используя табличные функции, определяется оригинал выходной функции:
y(t) = 2 - 4.e-2 t + 2.e-3t.

Y s  
3
Теперь можно построить график полученной функции с использованием программы.
При решении дифференциальных уравнений с использованием преобразований Лапласа
часто встает промежуточная задача разбиения дроби на сумму простых дробей.
Существуют два пути решения этой задачи:
- путем решения системы уравнений относительно коэффициентов числителей,
- путем расчета коэффициентов числителей по известным формулам.
Общий алгоритм разбиения дроби на сумму простых дробей:
шаг 1 – определяются корни знаменателя si для этого знаменатель дроби приравнивают к
нулю и решают полученное уравнение относительно s;
шаг 2 – каждому корню ставится в соответствие простая дробь вида
Mi
, где Мi –
s  si
неизвестный коэффициент; если имеет место кратный корень с кратностью k, то
ему ставится в соответствие k дробей вида M ij , j  1, k ;
j
(s  s i )
шаг 3 – определяются коэффициенты Mi по одному из вариантов расчета.
Первый вариант. Определение Mi с помощью системы уравнений.
Все дроби приводятся к одному знаменателю, затем путем сравнения
коэффициентов при равных степенях s числителя полученной дроби и числителя
исходной определяется система из n уравнений, где n – степень знаменателя (количество
корней si и коэффициентов Mi). Решение системы относительно Mi дает искомые
коэффициенты
Пример.1.1. Провести декомпозицию дроби
Y
2 s  12
s  5s 2  6 s
3
. В исходной дроби n = 3, поэтому решение уравнения s3 + 5s2 + 6s = 0 дает 3 корня:
s0 = 0, s1 = -2 и s2 = -3, которым соответствуют знаменатели простых дробей вида
s, (s – s1) = (s + 2) и (s – s2) = (s + 3).
Исходная дробь декомпозируется на три дроби:
2s  12
M
2 s  12
Y  3
=
= 0 + M1 + M 2 .
2
s s2 s3
s  5s  6s s(s  2)(s  3)
Далее дроби приводятся к общему знаменателю:
( M 0  M 1  M 2 ) s 2  (5M 0  3M 1  2 M 2 ) s  6M 0
=
.
s( s  2)( s  3)
Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех
уравнений с тремя неизвестными (при 2-й степени s в исходной дроби стоит 0, при 1-й
стоит 2, свободный член равен 12):
М0 + М1 + М2 = 0
M0 = 2
5.М0 + 3.М1 + 2.М2 = 2

6.М0 = 12
M2 = 2
M1 = -4
Следовательно, дробь можно представить как сумму трех дробей:
2s  12 = 2 - 4 + 2 .
Y 3
s  5s 2  6s s s  2 s  3
Решение этой задачи легко решается с помощью программы Laplas пакета TAU20 . Для
решения задачи по исходному дифференциальному уравнению необходимо получить
передаточную функцию и ввести в качестве исходных данных коэффициенты числитель и
знаменателя передаточной функции.
Задачи для домашней работы № 1
Задание № 1
1. По заданному дифференциальному уравнениюнайти решение при нулевых начальных
условиях и единичном воздействии, передаточную функцию.
Оценить устойчивость.
d2y
dy
 5  y  2x
.
2
dt
d t
2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:
3s  5
W ( s) 
.
( s  2)( s 2  3)
а) 6
Задание № 2
1. По заданному дифференциальному уравнениюнайти решение при нулевых начальных
условиях и единичном воздействии, передаточную функцию.
Оценить устойчивость.
d 3 y d 2 y dy
du
 2 
 y2
.
3
dt
dt
dt
dt
2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:
2s  1
W (s)  2
.
s  3s  12
а)
Задание № 3
1. По заданному дифференциальному уравнениюнайти решение при нулевых начальных
условиях и единичном воздействии, передаточную функцию.
Оценить устойчивость.
d2y
dy
du
 3  2y 
.
2
dt
dt
dt
2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:
s  10
W ( s) 
.
( s  2)( s  5)
а) 6
Задание № 4
1. По заданному дифференциальному уравнениюнайти решение при нулевых начальных
условиях и единичном воздействии, передаточную функцию.
Оценить устойчивость.
а) 5
d2y
dy
du
 3  0,5  y  2
 4u .
2
dt
dt
dt
2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:
4s
W (s)  3
.
s  3 s 1
Задание № 5
1. По заданному дифференциальному уравнениюнайти решение при нулевых начальных
условиях и единичном воздействии, передаточную функцию.
Оценить устойчивость.
d2y
d 3 y dy dx

2


 2 x .
dt 2
dt 3 dt dt
2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:
3s  8
W ( s)  2
.
s 5
а) 4
Задание № 6
1. По заданному дифференциальному уравнениюнайти решение при нулевых начальных
условиях и единичном воздействии, передаточную функцию.
Оценить устойчивость.
d 2 y dy
du

 y6
u.
2
dt
dt
dt
2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:
5
W (s)  2
.
2s  3s  16
а) 4
Задание № 7
1. По заданному дифференциальному уравнениюнайти решение при нулевых начальных
условиях и единичном воздействии, передаточную функцию.
Оценить устойчивость.
d 2 y dy
d 2x
 3x  2 2 .
а) y  2  2 
dt
dt
dt
2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:
3s  4
W ( s)  2
.
( s  1)( s  2)
Задание № 9
1. По заданному дифференциальному уравнениюнайти решение при нулевых начальных
условиях и единичном воздействии, передаточную функцию.
Оценить устойчивость.
dy
d2y d3y
 4 2  3  3x .
dt
dt
dt
2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:
3s  1
W ( s) 
.
( s  11)( s  7)
а) 3
Задание № 10
1. По заданному дифференциальному уравнениюнайти решение при нулевых начальных
условиях и единичном воздействии, передаточную функцию.
Оценить устойчивость.
d3y
d2y
dy
d 2u
2 2 2 u  2 2 .
а)
dt
dt 3
dt
dt
2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:
s4
W ( s) 
.
( s  1)( s 2  12)
Задание № 11
1. По заданному дифференциальному уравнениюнайти решение при нулевых начальных
условиях и единичном воздействии, передаточную функцию.
Оценить устойчивость.
d2y
dy
dx
 5  y  2x 
.
2
dt
dt
d t
2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:
3s  5
W ( s) 
.
( s  2)( s 2  3)
Задание № 12
1. По заданному дифференциальному уравнениюнайти решение при нулевых начальных
условиях и единичном воздействии, передаточную функцию.
Оценить устойчивость.
а) 6
d2y
dy
du
 2u .
а) 6 2  3  y 
dt
dt
dt
2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:
2s  1
W (s)  2
.
s  3s  12
Задание № 13
1. По заданному дифференциальному уравнениюнайти решение при нулевых начальных
условиях и единичном воздействии, передаточную функцию.
Оценить устойчивость.
d2y
dy
du
 3  0,5  y  2  4u .
2
dt
dt
dt
2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:
4s
W (s)  3
.
s  3 s 1
а) 5
Задание № 14
1. По заданному дифференциальному уравнениюнайти решение при нулевых начальных
условиях и единичном воздействии, передаточную функцию.
Оценить устойчивость.
dy
d2y
dx
3 2 3  x;
.
dt
dt
dt
2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:
s2 1
W ( s) 
.
( s  3)( s  2)( s  0.5)
а) y 
Задание № 15
1. По заданному дифференциальному уравнениюнайти решение при нулевых начальных
условиях и единичном воздействии, передаточную функцию.
Оценить устойчивость.
d2y
d 3 y dy dx

2


 2 x .
dt 2
dt 3 dt dt
2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:
3s  8
W ( s)  2
.
s 5
а) 4
Задание № 16
1. По заданному дифференциальному уравнениюнайти решение при нулевых начальных
условиях и единичном воздействии, передаточную функцию.
Оценить устойчивость.
d 2 y dy
du
 y6
u.
а) 4 2 
dt
dt
dt
2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:
5
W (s)  2
.
2s  3s  16
Задание № 17
1. По заданному дифференциальному уравнениюнайти решение при нулевых начальных
условиях и единичном воздействии, передаточную функцию.
Оценить устойчивость.
d2y
dy
dx
а) 4 2  5  y  4  x .
dt
dt
dt
2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:
3s  4
W ( s)  2
.
( s  1)( s  2)
Задание № 18
1. По заданному дифференциальному уравнениюнайти решение при нулевых начальных
условиях и единичном воздействии, передаточную функцию.
Оценить устойчивость.
dy
d2y d3y
dx
а) 3  4 2  3  3  2 x .
dt
dt
dt
dt
2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:
W ( s) 
3s  1
.
( s  11)( s  7)
Задание № 19
1. По заданному дифференциальному уравнениюнайти решение при нулевых начальных
условиях и единичном воздействии, передаточную функцию.
Оценить устойчивость.
d3y
d2y
dy
d 2u

2

2

u

2
.
dt
dt 3
dt 2
dt 2
2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:
s4
W ( s) 
.
( s  1)( s 2  12)
а)
Задание № 20
1. По заданным дифференциальным уравнениям определить операторные уравнения при
нулевых начальных условиях, передаточные функции, структурные схемы звеньев,
характеристические уравнения и их корни.
Показать распределение корней на комплексной плоскости.
Оценить устойчивость каждого из звеньев.
d 2 y dy
du
y6
u.
а) 4 2 
dt
dt
dt
2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:
s 5
W ( s) 
.
3( s  2) s 2
Практическая работа 2
2.1 Виды соединений динамических звеньев
В целях упрощения анализа исследуемый объект разбивают на звенья и после
определения передаточных функций для каждого звена объединяют их в одну
передаточную функцию объекта. Вид передаточной функции объекта зависит от вида
соединения звеньев:
1) Последовательное соединение.
Wоб = W1.W2.W3…
х
W1
W2
у
W3
Рисунок 1.
При последовательном соединении звеньев
их
передаточные
функции
перемножаются.
2) Параллельное соединение.
Wоб = W1 + W2 + W3 + …
W1
х
у
W2
При параллельном соединении звеньев их
передаточные функции складываются.
W3
Рисунок 2
3) Обратная связь
х
W1
W2
Рисунок 3
у
Передаточная функция по заданию (х):
Wç (s) 
W1
1  W1 W2
«+» соответствует отрицательной ОС,
«-» - положительной.
Для определения передаточных функций объектов, имеющих более сложные соединения
звеньев, используют последовательное укрупнение схемы
Рассмотрим правила эквивалентных преобразований, не изменяющих свойств систем
и необходимых для нахождения передаточной функции:
1. Последовательное соединение динамических звеньев.
2. Параллельное соединение динамических звеньев.
3. Замкнутый контур с отрицательной обратной связью.
4. Замкнутый контур с положительной обратной связью.
5. Перенос точки ветвления через динамическое звено.
6. Перенос суммирующего звена через динамическое звено.
7. Перестановка суммирующих звеньев.
8. Перенос точки ветвления с выхода на вход суммирующего звена.
9. Перенос точки ветвления с входа на выход суммирующего звена.
Пример Принцип суперпозиции (наложения)
Применим рассмотренные правила для упрощения структурной схемы
Рис. 1
Процесс преобразования, который часто называют свертыванием структурной схемы,
выглядит следующим образом.
1. Перенесем суммирующее звено
через динамическое звено
.
2. Поменяем местами суммирующие звенья
и
.
3. Преобразуем последовательно включенные динамические звенья
4. Преобразуем
(
замкнутый
контур
с
отрицательной
и
обратной
.
связью
).
5. Перенесем суммирующее звено
вправо.
6. Преобразуем последовательно включенные звенья..
В соответствии с полученной структурной схемой запишем операторное уравнение –
(1)
Уравнение показывает, что
является линейной комбинацией изображений
входных сигналов, взятых с коэффициентами
и
. Выясним смысл этих
коэффициентов на примере коэффициента
. Для этого положим в (1)
,
тогда получим –
(2)
Таким образом, из (2) следует,
– это передаточная функция динамического
звена, к которому свернута структурная схема в предположении, что изображения всех
входных сигналов, кроме
, равны нулю.
Теперь становится ясным смысл и самого операторного уравнения (1), описывающего
систему. Он заключается в том, что реакция линейной системы на совместно
действующие входные сигналы может быть определена в виде суммы частичных реакций,
каждая из которых вычисляется в предположении, что на систему действует только один
входной сигнал, а остальные равны нулю.
По сути – это формулировка фундаментального принципа, который называют
принципом наложения или суперпозиции. Этот принцип можно рассматривать как
дополнение к правилам эквивалентных преобразований структурных схем и активно
использовать на практике.
Задачи для практической работы № 2
Провести структурные преобразования исходной схемы и найти эквивалентную
передаточную функцию
Вариант 1. Определите передаточные функции
по следующей структурной схеме
Ответ:
.
Вариант 2. Определите передаточную функцию, эквивалентную структурной схеме.
Ответ:
.
Вариант 3. Определите передаточные функции
по следующей структурной схеме
Ответ:
.
Вариант 4. Определите передаточные функции
по следующей структурной схеме
Ответ:
Вариант 5.. Определите передаточную функцию
по следующей структурной схеме
Ответ:
.
Вариант 6. Определите передаточную функцию
по следующей структурной схеме
Ответ:
.
Вариант 7. Определите передаточную функцию
по следующей структурной схеме
Ответ:
.
Вариант 8. Определите передаточную функцию
по следующей структурной схеме
Ответ:
Практическая работа 3.
Передаточные функции АСР
Для расчета структурную схему АСР путем эквивалентных преобразований приводят к
простейшему стандартному виду «объект - регулятор» (см. рисунок ).
f
x
e
Wp
u
y
Wy
Рисунок 4
В общем случае любая одномерная АСР с главной обратной связью путем постепенного
укрупнения звеньев может быть приведена к такому виду.
Если выход системы у не подавать на ее вход, то получается разомкнутая система
регулирования, передаточная функция которой определяется как произведение:
W = Wp.Wy
(Wp - ПФ регулятора, Wy - ПФ объекта управления).
То есть последовательность звеньев Wpи Wy может
х
W
быть заменена одним звеном с W. Передаточную
у
функцию замкнутой системы принято обозначать как
Ф(s). Она может быть выражена через W:
Рисунок 5
W (s) 
Y (s)
W s 

X ( s ) 1  W s 
(далее будем рассматривать только системы с обратной отрицательной связью, поскольку
они используются в подавляющем большинстве АСР).
Данная передаточная функция Фз(s) определяет зависимость у от х и называется
передаточной функцией замкнутой системы по каналу задающего воздействия (по
заданию).
Для АСР существуют также передаточные функции по другим каналам:
We ( s ) 
WB ( s ) 
E (s)
W s 

X ( s ) 1  W s 
Y ( s) =
F (s)
Wу.в. (s)
1  W (s)
по ошибке,
- по возмущению,
где Wу.в.(s) – передаточная функция объекта управления по каналу передачи
возмущающего воздействия.
В отношении учета возмущения возможны два варианта:
- возмущение оказывает аддитивное влияние на управляющее воздействие (см. рисунок
1.6,а);
- возмущение влияет на измерения регулируемого параметра (см. рисунок 1.6,б).
Примером первого варианта может быть регулирование температуры на выходе
теплообменника, путем изменения расхода теплоносителя подаваемое регулятором на
регулирующий клапан. Пример второго варианта: измерение регулируемого параметра расхода теплоносителя вследствие изменения температуры окружающей среды. Wу.в. –
модель влияния окружающей среды на измерения.
f
e
x
u
Wp
y
Wy
а)
f
x
e
Wp
u
Wy.в.
y
Wy
б)
Рисунок 6
Для первого варианта передаточная функция Wу.в. принимается равной Wу, для второго –
как правило, на схеме она выделена в отдельное звено.
Поскольку передаточная функция разомкнутой системы является в общем случае дробнорациональной функцией вида W = B(s) , то передаточные функции замкнутой системы
A(s)
могут быть преобразованы:
B
B
B
W з( s )  A 

B A B D
1
A
W e( s ) 
1
B
1
A

A
A

A B D
Где D = A + B.
Как видно, эти передаточные функции отличаются только выражениями числителей.
Выражение знаменателя называется характеристическим выражением замкнутой
системы и обозначается как Dз(s) = A(s) + B(s), в то время как выражение, находящееся в
знаменателе
передаточной
функции
разомкнутой
системы
W ,
называется
характеристическим выражением разомкнутой системы А(s).
Пример 3.1 Определение передаточных функций АСР.
Структура АСР представлена на рисунке 3.1. Требуется определить передаточные
функции
регулятора,
объекта,
разомкнутой
системы,
замкнутой
системы
и
характеристические выражения.
1
x
e
2
3
K0
s
K1
Регулятор
Объект управления
4
u
K4
2 s 1
5
K5
s 1
y
K2s
Рисунок 3.1
Параметры K0 = 1, K1 = 3, K2 = 1,5, K4 = 2, K5 = 0,5.
В структурной схеме АСР звенья, соответствующие регулирующему устройству,
стоят перед звеньями объекта управления и генерируют управляющее воздействие на
объект u. По схеме видно, что к схеме регулятора относятся звенья 1, 2 и 3, а к схеме
объекта – звенья 4 и 5.
Учитывая, что звенья 1, 2 и 3 соединены параллельно, получаем передаточную
функцию регулятора как сумму передаточных функций звеньев:
W p( s ) 
K0
1
1,5  s 2  3  s  1 .
 K1  K 2  s   3  1,5  s 
s
s
s
Звенья 4 и 5 соединены последовательно, поэтому передаточная функция объекта
управления определяется как произведение передаточных функций звеньев:
Woy ( s ) 
K4
K
2
0,5
1
.
 5 


2
2  s 1 s 1 2  s 1 s 1 2  s  3 s 1
Передаточная функция разомкнутой системы:
W ( s)  Wp ( s)  Woy ( s) 
1,5  s 2  3  s  1
1
1,5  s 2  3  s  1 ,


2
s
2  s  3  s  1 2  s3  3  s 2  s
откуда видно, что числитель В(s) = 1,5.s2 + 3.s + 1, знаменатель (он же характеристический
полином разомкнутой системы) А(s) = 2.s3 + 3.s2 + s. Тогда характеристический полином
замкнутой системы равен:
D(s) = A(s) + B(s) = 2.s3 + 3.s2 + s + 1,5.s2 + 3.s + 1 = 2.s3 + 4,5.s2 + 4.s + 1.
Передаточные функции замкнутой системы:
по заданию
Фз ( s ) 
B( s )
1,5  s 2  3  s  1
,

D( s) 2  s 3  4,5  s 2  4  s  1
по ошибке Ф (s)  A(s) 
e
D(s)
2s  3s  s
3
2
.
2  s  4,5  s  4  s  1
3
2
При определении передаточной функции по возмущению принимается Wу.в. = Wоу.
Тогда
1
Ф в (s) 
Wу.в. (s)
2
s
2s  3s 1 
2
3
2
1  W (s)
1,5  s  3  s  1 2  s  4,5  s  4  s  1
1
2  s3  3  s 2  s

Задачи для практической работы № 3
Дана одноконтурная АСР, для которой известна передаточная функция регулятора (R) с
настройками и дифференциальное уравнение объекта управления (О).
Требуется определить:
 передаточную функцию разомкнутой системы W∞(s),
 характеристическое выражение замкнутой системы (ХВЗС),
 передаточные функции замкнутой системы
o Фз(s) – по заданию,
o Фв(s) – по возмущению,
o ФЕ(s) – по ошибке,
 коэффициенты усиления АСР.
Задание № 1
1. Регулятор c ПИ- законом регулирования и передаточной функцией вида
4
Wp  4 
S
2. О - объект управления, описываемый дифференциальным уравнением
16
d3y
dt
3
8
d2y
dt
2

dy du

u
dt dt
Задание № 2
Регулятор c ПИ- законом регулирования и передаточной функцией вида
5
S
О - объект управления, описываемый дифференциальным уравнением
Wp  5 
4
d3y
dt
3
2
d2y
dt
2

dy
u
dt
Задание № 3
Регулятор c ПИ- законом регулирования и передаточной функцией вида
1
Wp  1 
S
О - объект управления, описываемый дифференциальным уравнением
8
d3y
dt 3
6
d2y
dt 2

dy
 8u
dt
Задание № 4
Регулятор c ПИ- законом регулирования и передаточной функцией вида
1
Wp  2 
S
О - объект управления, описываемый дифференциальным уравнением
27
d3y
dt 3
 27
d2y
dt 2
9
dy
 y  5u
dt
Задание № 5
Регулятор c ПИ- законом регулирования и передаточной функцией вида
5
Wp  5 
S
О - объект управления, описываемый дифференциальным уравнением
27
d3y
dt
3
 27
d2y
dt
2
9
dy
 y  5u
dt
Задание № 6
Регулятор c П- законом регулирования и передаточной функцией вида
Wp =0,5.
О - объект управления, описываемый дифференциальным уравнением
4
d3y
dt
3
5
d2y
dt
2
6
dy
du
y
u
dt
dt
Задание № 7
Регулятор c ПИ- законом регулирования и передаточной функцией вида
1
Wp  2 
S
О - объект управления, описываемый дифференциальным уравнением
7
d3y
dt
3
8
d2y
2
dt
9
dy
du
y5 u
dt
dt
Задание № 8
Регулятор c ПИ- законом регулирования и передаточной функцией вида
1
. Wp  4 
S
О - объект управления, описываемый дифференциальным уравнением
4
d2y
6
dt 2
dy
 2 y  4u
dt
Задание № 9
Регулятор c И- законом регулирования и передаточной функцией вида
3
. Wp 
S
О - объект управления, описываемый дифференциальным уравнением
2
d3y
dt 3
3
d2y
dt 2

dy d 2 u
du

4 u
dt dt 2
dt
Задание № 10
Регулятор c ПИ- законом регулирования и передаточной функцией вида
1
Wp  1 
S
О - объект управления, описываемый дифференциальным уравнением
4
d2y
dt 2
5
dy
 y  2u
dt
Задание № 11
Регулятор c ПИ- законом регулирования и передаточной функцией вида
1
Wp  1 
S
О - объект управления, описываемый дифференциальным уравнением
10
d3y
dt
3
7
d2y
dt
2

dy
 4u
dt
Задание № 12
Регулятор c ПИ- законом регулирования и передаточной функцией вида
1
Wp  5 
S
О - объект управления, описываемый дифференциальным уравнением
4
d3y
dt
3
8
d2y
dt
2
5
dy
 y  4u
dt
Задание № 13
Регулятор c ПИ- законом регулирования и передаточной функцией вида
1
S
О - объект управления, описываемый дифференциальным уравнением
. Wp  1 
d3y
25
dt 3
 10
d2y
dt 2

dy
 2u
dt
Задание № 14
Регулятор c И- законом регулирования и передаточной функцией вида
3
Wp 
S
О - объект управления, описываемый дифференциальным уравнением
4
d2y
dt 2

dy
du
2 u
dt
dt
Задание № 15
Регулятор c ПИ- законом регулирования и передаточной функцией вида
1
Wp  1 
S
О - объект управления, описываемый дифференциальным уравнением
10
d3y
dt 3
7
d2y
dt 2

dy
 8u
dt
Задание № 16
Регулятор c П- законом регулирования и передаточной функцией вида
Wp = 2.
О - объект управления, описываемый дифференциальным уравнением
3
d3y
dt 3
2
d2y
dt 2
4
dy
du
y4 u
dt
dt
Задание № 17
Регулятор c ПИ- законом регулирования и передаточной функцией вида
1
Wp  2 
ОУ - объект управления, описываемый дифференциальным
S .
уравнением
2
d3y
dt 3
3
d2y
dt 2

dy d 2 u
du

4 u
2
dt dt
dt
Задание № 18
Регулятор c И- законом регулирования и передаточной функцией вида
3
Wp 
S
О - объект управления, описываемый дифференциальным уравнением
4
d2y
dt 2
5
dy
yu
dt
Задание № 19
Регулятор c ПИ- законом регулирования и передаточной функцией вида
1
Wp  2 
S
О - объект управления, описываемый дифференциальным уравнением
d3y
d2y
dy
du
5 3 2 2 4  y 2
u
dt
dt
dt
dt
Задание № 20
Регулятор
c ПИ- законом регулирования и передаточной функцией вида
1
Wp  0.5 
S
О - объект управления, описываемый дифференциальным уравнением
4
d2y
dt
2
5
dy
 y  2u
dt
Практическая работа 4
Идентификация параметров передаточной функции объекта по переходной кривой
Процесс получения передаточной функции объекта, исходя из данных
переходного
процесса, называется идентификацией объекта.
у
Предположим, что при подаче на вход объекта
ууст
ступенчатого
воздействия
была
получена
переходная характеристика ( рис 1). Требуется
определить
д

t
T
Рис 1
функции.
вид
и
параметры
передаточной
Зделаем допущение, что передаточная функция по
данному каналу имеет вид
W (s) 
K
e s
Ts  1
, то есть объкт можно описать в первом приближении как последовательно включенные
звенозапаздывания и инерционное звено первого порядка.
Параметры передаточной функции: К - коэффициент усиления, Т - постоянная времени, 
- запаздывание.
Коэффициентом усиления называется величина, показывающая, во сколько раз данное
звено усиливает входной сигнал (в установившемся режиме), и равная отношению
выходной величины у в установившемся режиме ко входной величине х:
K
у уст
х
,
Установившееся значение выходной величины ууст - это значение у при t  .
Запаздыванием называется промежуток времени от момента изменения входной
величины х до начала изменения выходной величины у.
Постоянная времени– период времени , за который объект придёт в новое
установившееся состояние, при условии если скорость переходного процесса была
бы максимальной.Для рассматриваемой передаточной функции 1-го порядка Т
определяется наиболее просто: сначала проводится касательная к точке перегиба,
затем находятся точки пересечения с осью времени и асимптотой yуст; время Т
определяется как интервал времени между этими точками.
В случае, если на графике между точкой перегиба имеется вогнутость,
определяется дополнительное переходное запаздывание доп, которое прибавляется к
основному:  =  + доп.
Задачи для практической работы № 4
Вариант № 1
X = 15 кПа; Y = 24 С;  зап = 1 мин
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t, мин
0,0 4,4 8,8 12,8 16,0 18,8 21,0 22,2 23,8 24,0
Y
Вариант № 2
Xвх = 15 кПа;
Y = 150 С; зап = 0,15 мин
t, 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00
мин
Y
0
9
20
34
52
79 108 124 136 143 148 149,7 150
Вариант № 3
Xвх = 90 м3/час;
Y = 45 С; зап = 0,1 мин
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
t, мин 0 1 2
Y 0,0 5,5 16,0 25,5 31,5 35,0 38,0 40,0 41,7 43,0 43,8 44,5 45,0
Вариант № 4
Xвх = 25 кПа; Y = 8 С; зап = 1 мин
t, мин 0 1 2 3 4 5 6 7
Y 0,0 0,1 1,3 2,7 3,9 4,9 5,7 6,3
0 0 0 5 0 0 0 0
t, мин 8 9 10 11 12 13 14 15
Y 6,7 7,2 7,5 7,7 7,8 7,9 8,00 8,00
0 0 0 0 5 5
Вариант № 5
Xвх = 0,5 кг/см2; Y = 36 С; зап = 1 мин
4
5
6
7
8
9
10
t, мин 0 1 2 3
Y 0 4,0 8,3 12,8 16,5 19,2 21,3 23,3 25,0 27,0 28,5
t, мин 11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Y 30,0 30,8 31,7 32,4 33,0 33,6 34,1 34,7 35,0 35,5 36,0
Вариант № 6
Xвх = 10 кПа;
t, мин 1 2 3
Y = 7 С; зап = 0,35 мин
4 5
6
7
8
9
Y 0,3 1,1 2,4 3,6 4,45 5,1
5,7 6,2 6,5
10
11
12
6,75 6,9 7,0
Вариант № 7
Xвх = 25 кПа; Y = 7,5 С;
зап = 0,5 мин
t, мин 0 0,5 2 4 6 8 10 12 14
Y 0 0 0,3 0,9 2,3 4 4,9 5,6 6,1
Вариант № 8
Xвх = 4 кПа; Y = 0,138 %;
зап = 34 сек
30 60
90
120 150 180 210 240 270 300
t, мин 0
1,261
1,26
1,269
1,291
1,315 1,338 1,357 1,368 1,376 1,380 1,380
Y
Вариант № 9
Xвх = 5,5 кПа; Y = 0,149 %; зап = 40 сек
50
80
110 140 170 200
t, мин 0 20
230
260
Y 0
0,009 0,032 0,060 0,089 0,116 0,130 0,141 0,149 0,149
Вариант № 10
Xвх = 20 кПа; Y = 23 С;
зап = 0,5 мин
1
2
3
4
5
6
7 8
t, мин 0
0,6 1,8 3,6 5,8 8,2 11,2 14 16,4
Y 0
10 11 12
t, мин 9
Y 18,2 20,2 21,4 22
13 14 15
22,4 22,6 22,8
16
23
Вариант № 11
Xвх = 20 кПа;
1
t, мин 0
зап = 0,5 мин
2
3
4
5
6
7
8
Y 0
1,0
8,4
13,2
19,3
25,7
0,3
2,3 4,7
Вариант № 12
Xвх = 20 кПа;
Y = 30 С;
5
6
зап = 1 мин
t, мин 0
1
2
3
4
7
8
9
10
11
12
Y 0
2
5
8
10 12 15 18 25 27 30
30
30
Вариант № 13
Xвх = 10 кПа;
1
t, мин 0
зап = 0,5 мин
2
3
4
5
6
7
8
Y 0
0,5
4,2
6,6
9,65
12,9
0,15
1,15 2,35
Вариант № 14
Xвх = 30 кПа;
Y = 7,0 С;
зап = 0,2 мин
t, мин 0
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2
Y 0
0,42 1,33 2,31 3,43 4,55 5,46 6,02 6,44 6,72 6,86 7,00
Вариант № 15
Xвх = 25 кПа;
Y = 50 С;
8
зап = 2 мин 45 сек
t, мин 0
2
4
6
10 12 14
16
18
20
22
24
Y 0
1
5
13 21 30 36 41
45
48
49
50
50
Вариант № 16
Xвх = 8 кПа; Y = 6 С; зап = 2 мин
1
2
3
4
5
6
t, мин 0
Y
0
0,3 0,9 2
7
8
9
3,2 3,9 4,4 4,8 5,1 5,3
t, мин 10
Y
11
12
13
14
15
16
17
18 19
5,5 5,7 5,8 5,85 5,9 5,93 5,97 5,99 6
6
Вариант № 17
Xвх = 15 кПа; Y = 3,8 т/час; зап = 3 мин
15 21 27 33 39 45 51 57 63 69 75 78
t, мин 0 9
Y 0 0,65 2,23 2,85 3,2 3,4 3,53 3,62 3,67 3,72 3,75 3,77 3,79 3,8
Вариант № 18
Xвх = 20 кПа; Y = 22,6 С;
1
2
3
t, мин 0
зап = 30 сек
4
5
6
7
Y
17,5
0
t, мин 8
2,2
6
9,2
11,6
13,8
15,7
9
10
11
12
13
14
22,3
22,5
22,6
Y 19,1 20,4 21,3 21,9
Вариант № 19
Xвх = 10 кПа; Y = 5,5 С;
2 3 4
5
t, мин 0 1
Y 0
10
11
12
0,133 0,7 2,2 3,733 4,62 5,0 5,23 5,34 5,4 5,43 5,47 5,5
Вариант № 20
Xвх = 30 кПа; Y = 6,5 С;
t, мин 0 1 2 3 4 5 6
Y 0
зап = 0,55 мин
6 7
8
9
7
зап = 1 мин
8 9
10
11
0,5 1,6 3,0 4,3 5,2 5,6 6,0 6,2 6,35 6,45 6,5
Практическая работа 5
Определение параметров настройки регуляторов
Регулятор, включенный в замкнутую САР, может иметь несколько параметров настроек,
каждая из которых может изменяться в достаточно широких пределах. При этом при
определенных значениях настроек САР будет управлять объектом в соответствии с
технологическими требованиями, при других может привести к неустойчивому
состоянию.
Поэтому стоит задача синтеза САР сводится , во-первых, к определениюпараметров
настройки регулятора, которые обеспечивают устойчивость замкнутой системы, и, вовторых, выбрать из нихтакие, которые соответствуют минимуму (или максимуму) какоголибо показателя качества переходного процесса . Требования к показателям качества
регулирования устанавливаются, исходя из технологических требований . Чаще всего
накладываются требования на время регулирования (минимум) и степень затухания
(  зад).
Формульный метод определения настроек регуляторов используется для быстрой и
приближенной оценки значений настроек регуляторов.
Если объект управления представляет собой инерционное звено с запаздыванием, то есть
описывается передаточной функцией (рис.2)
W (s) 
K  s
e ,
Ts  1
где K – коэффициент усиления, Т - постоянная времени,  - запаздывание , то настройки P, I-, PI- и PID-регуляторов могут быть определены по приведенным в таблице 1. формулам
в зависимости от того, какой вид переходного процесса требуется получить.
K0
s
x
e
Регулятор
Объект управления
u
K1
e  s
K4
2 s 1
y
K2s
Рис 2.
Во второй колонке таблицы приведены формулы для получения переходного
апериодического
процесса
без
перерегулирования,
в
перерегулированием, в четвертой – для процесса с
третьей
–
с
20
%,
минимальным временем
регулирования , то есть с максимальным быстродействием при этом процесс может быть
сильно колебательным.
Таблица1
Регулятор
Апериодический
процесс
Процесс с
перерегулированием
20 %
P
0,3  T
K 
1
K0 
4,5  K 
0,6  T
K1 
,
K 
0,7  T
K 
1
K0 
1,7  K 
0,7  T
K1 
,
K 
I
PI
K1 
K1 
Процесс с
минимальным
временем
регулирования
0,9  T
K1 
K 
1
K0 
1,7  K 
T
K1 
,
K 
1
K 
0,95  T
K1 
,
K 
0,4  T
K0 
,
K  2
0,38  T
K2 
K
K0 
PID
1
K 
1,2  T
K1 
,
K 
0,6  T
K0 
,
K  2
0,48  T
K2 
K
K0 
1
K 
1,4  T
K1 
,
K 
1,08  T
K0 
,
K  2
0,7  T
K2 
K
K0 
Работа выполняется с помощью программы Process пакета TAU20. В качестве
исходных данных вводитятся коэффициенты передаточной функции регулятора и
объекта, запаздывание.
Задания
Практическая работа № 5
По табличным данным построить
 переходную кривую объекта,
 определить параметры передаточной функции объекта,
 рассчитать настройки PID-регулятора, обеспечивающие 20%-е перерегулирование.
 Рассчитать переходный процесс в замкнутой системе регулирования с полученными
параметрами настройки регулятора и оценить качество переходного процееса
Лабораторная работа № 6.
Исследование системы автоматического регулирования.
Цель работы: 1). Изучение показателей качества линейных систем
автоматического регулирования.
2). Изучение влияния параметров САУ на
показатели качества.
В данной лабораторной работе изучаются прямые и косвенные оценки качества линейных
систем, наиболее часто применяемые при анализе и синтезе систем, и влияние на них одного из
параметров - коэффициента усиления системы.
Прямые оценки качества определяют по кривой переходной характеристики хвых(t) = h (t),
получаемой при воздействии единичной ступенчатой функции хвх (t) = 1(t) при нулевых
начальных условиях. Если САУ описывается линейным дифференциальным уравнением с
постоянными коэффициентами, то при подаче на вход воздействия
xвх (t), выходную величину xвых(t) можно записать так:
xвых(t) = xсв(t) + xв(t) ,
где: xвых(t) - решение дифференциального уравнения, описывающего систему; xсв(t) - свободная
составляющая переходного процесса, соответствующая решению однородного
дифференциального уравнения; xв(t) - вынужденная (установившаяся) составляющая, по которой
определяют точность системы.
Точность системы при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия - статическая
ошибка  определяется как разность между заданным хз и установившимся hуст значениями
выходной величины и выражается в процентах от заданного значения:

xз  xуст
xз
100%
Прямые оценки качества, характеризующие переходный процесс, которые рассматриваются в
данной работе:
1. Перерегулирование  - максимальное отклонение переходной характеристики от
установившегося значения выходной величины, выраженное в относительных единицах или
процентах:
 
hmax1  hуст
hуст
100 %
где hmax1 - значение первого максимума переходной характеристики.
2. Время регулирования tp - минимальное время, по истечении которого регулируемая величина
будет оставаться близкой к установившемуся значению с заданной точностью:
h(t) hуст
при ttp ,
где  - постоянная величина, задаваемая в процентах от установившегося значения выходной
величины hуст . Обычно принимают  = 0,05 hуст .
Для выполнения работы используется прикладная программа TAU20
Порядок выполнения работы.
1. При вводе параметров принимаютK = A. После этого переходят к определению показателей
качества при различных значениях K i в заданном диапазоне от 0,1Kкр до
0,4Kкр . В этом пункте получают переходныйпроцесс для определения статической ошибки  ,
перерегулирования  и времени регулирования tp ; таблицу корней для определения степени
устойчивости  и колебательности системы .
Полученные данные заносят в таблицу.
K

M

tp


По полученным данным строят графики зависимостей указанных показателей качества от
коэффициента усиления системы K и делается вывод о влиянии коэффициента усиления системы
на показатели качества.
Сделать вывод, можно ли сразу обеспечить в системе малые значения ,  и tp только выбором
коэффициента усиления и почему.
2. Сравнение статической и астатической систем.
В заданной выше структурной схеме апериодическое звено с большей постоянной Т1
заменяется интегрирующим звеном. В результате получаем структурную схему системы:
1
p
1
T2 p  1
K
T3 p  1
_
Найденное значение K вводят в ЭВМ, получают переходный процесс и определяют его
качественные показатели. Сравнивают с качественными показателями переходного процесса в
статической системе.
Содержание отчета.
Отчет должен содержать:
1) структурные схемы исследуемых систем;
2) расчеты, выполненные при подготовке к работе;
3) таблицу экспериментальных данных;
4) графики зависимостей показателей качества от коэффициента усиления системы K:  = f(K),
M = f(K),  = f(K),  = f(K),
 = f(K);
7) выводы.
При защите лабораторной работы обязательно нужно знать:
а) оценки качества регулирования, как они определяются, давая при этом соответствующие
графические пояснения;
б) уметь пояснять полученные результаты и знать, как можно обеспечить заданные
качественные показатели в системе.
Литература
1. пакета TAU20.
2. http://twt.mpei.ac.ru/MAS/Worksheets/Rotach/index.html