Основы теории управления Формы записи линеаризованных уравнений

Основы теории
управления
Формы записи
линеаризованных уравнений
В общем виде линеаризованное дифференциальное
уравнение, описывающее элемент, можно записать
следующим образом
d n y(t)
d n- 1y(t)
dy(t)
a
a
 ...  a
 a y(t) =
0
1
n- 1 dt
n
dt n
dt n- 1
d m x(t)
d k f(t)
=b
 ...  b x(t) + c
 ... + c f(t) ,
0
m
0
k
dt m
dt k
где
y(t), x(t), f(t) - выходная и входная величины
элемента и внешнее воздействие;
ai, bi, ci - постоянные коэффициенты;
n - порядок уравнения, ( nm,k )
(1.5)
Введем алгебраизированный символ дифференцирования
d
p=
dt
Заменим в (1.5) дифференциал на р, а y(t) вынесем за скобку
(a0pn + a1pn -1 +…+an-1p+an) y(t) =
= (b0pm +b1pm-1 +…+bm) x(t) + (c0pk +c1pk-1 +…+ck) f(t)
(1.6)
В общем случае в соответствии с (1.6) уравнение элемента
можно представить в форме
D(p) y(t) = N(p) x(t) + M(p) f(t)
n
D(p) =  a pn - i
i0 i
m
N(p) =  b pm - i
i0 i
(1.7)
k
M(p) =  c pk - i
i0 i
полиномы степени n, m, k от символа дифференцирования p
Первая стандартная форма записи
слева
Дифференциальное уравнение имеет вид
выходная
величина и ее
производные
=
справа
входные величины
и все остальные
члены
выходная величина y(t) должна иметь
коэффициент равный единице
(a0pn + a1pn -1 +…+an-1p+an) y(t) =
= (b0pm +b1pm-1 +…+bm) x(t) + (c0pk +c1pk-1 +…+ck) f(t)
Чтобы привести уравнение (1.6) к такому виду,
разделим левую и правую его части на an и получим
1
an


n-1pn-1 ...  T p+1 y(t) =
Tnn pn  Tn-1
1


=  k1 k 2p+...+k m+1pm  x(t) + k m+2 +...+k m+k+2pk f(t) (1.8)
Тn , Тn-1 ,…, Т1 называются постоянными времени, они имеют
размерность времени [с] и характеризуют инерционные свойства элемента;
k1
 раз м.Y 
 раз м.X 
, … , km+1
 m раз м .Y 
c раз м .X 
km+2  раз м.Y  , … , km+k+2
 раз м.F 
c k раз м.Y 
 раз м.F 
коэффициенты передачи
Вторая стандартная форма записи
операторный метод или метод Лапласа
решение дифференциальных уравнений
сводится к алгебраическим действиям
в дифференциальном уравнении
1. вместо реальных функций
времени записать их
изображения по Лапласу
2. в полиномах символ
дифференцирования p
заменить на оператор Лапласа s
Применив к дифференциальному уравнению (1.7)
преобразование Лапласа, получим
D(s) Y(s) = N(s) X(s) + M(s) F(s)
(1.9)
где s – оператор Лапласа;
Y(s), X(s), F(s) - изображения по Лапласу выходной
и входной величин элемента и внешнего
воздействия
m
n
ni
N(s) =  b sm- i
D(s) =  a s
i=0 i
i=0 i
k
M(s) =  c sk- i
i=0 i
полиномы степени n, m, k от оператора Лапласа s.
Оператор Лапласа s представляет собой комплексную
величину
s=c+j
c=Re s - абсцисса абсолютной сходимости
=Im s –угловая частота,
имеющая размерность [рад/с]
Для перехода от реальных функций времени оригиналов к их изображениям по Лапласу и
наоборот вводят
Прямое интегральные преобразование

Xs   L[x(t)] =  x(t) e- stdt
0
Обратное интегральные преобразования
c+ j 
1
st
y(t) = L- 1[Y(s)] =
 Y(s) e ds
j 2 c- j 
(1.7)
(1.9)
D(p) y(t) = N(p) x(t) + M(p) f(t)
D(s) Y(s) = N(s) X(s) + M(s) F(s)
Алгебраическое
уравнение
изображений функций
времени по Лапласу
дифференциальное
уравнение
реальных функций
времени
Обозначим
Wx (s) 
N(s)
D(s)
M(s)
Wf (s) 
D(s)
передаточные функции
(1.9) принимает вид второй стандартной записи
Y(s) = Wx(s) X(s) + Wf(s) F(s)
Если f(t) = 0, то F(s) = 0 и тогда
Y(s)
W (s) =
x
X(s)
- передаточная функция элемента по входу Х
Eсли x(t)=0, то X(s)=0 и тогда
Y(s)
W (s) =
f
F(s)
- передаточная функция элемента по входу F
f(t)
x(t)
y(t)
элемент