Всероссийский дистанционный конкурс «Мозаика презентаций» Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств Математика 10 класс Учитель математики МКОУ «Никольская СОШ» Новоусманского района Воронежской области Елесина Светлана Валериевна Содержание • • • • • • • • • • • • • Уравнение sinx=a Уравнение cosx=a Уравнения tgx=a, ctgx=a Тренажёр(реши уравнения) Неравенства sinx > a, sinx ≥ a Неравенства sinx < a, sinx ≤ a Неравенства cosx > a, cosx ≥ a Неравенства cosx < a, cosx ≤ a Неравенства tgx > a, ctgx ≥ a Неравенства tgx<a, ctgx ≤ a Неравенства a<sinx<b, a≤cosx≤b Тест(ответь на вопросы) Литература и интернет - ресурсы 2 Уравнение sinx=a sinx=a -1≤a≤1, x∊R x=(-1)narcsina+πn, n∊Z arcsin(-a)=-arcsina Частные случаи: 1)sinx=0, x=πn, n∊Z 2) sinx=1, x=π/2+ 2πn, n∊Z 3) sinx=-1, x=-π/2+ 2πn, n∊Z y π 2 1 5π 6 π 6 ½ π 0 -1 0 1 х Пример: sinx= ½ x=(-1)n π/6+πn, n∊Z x1= π/6+2πn, n∊Z x2=5π/6+2πn, n∊Z -π 2 -1 3 Уравнение cosx=a cosx=a -1≤a≤1, x∊R x=±arccosa+2πn, n∊Z arccos(-a)=π-arccosa Частные случаи: 1)cosx=0, x= π/2+ πn, n∊Z 2) cosx=1, x= 2πn, n∊Z 3) cosx=-1, x=π+ 2πn, n∊Z Пример: cosx= ½ x=± π/3+2πn, n∊Z x1= π/3+2πn, n∊Z x2=-π/3+2πn, n∊Z π 2 y π 3 1 π 0 -1 0 3π 2 ½ -1 1 x -π 3 4 Уравнения tgx=a, ctgx=a tgx=a x≠ π/2+ πn, n∊Z; a∊R x=arctga+πn, n∊Z arctg(-a)=-arctga ctgx=a x≠ πn, n∊Z; a∊R x=arcctga+πn, n∊Z arcctg(-a)=π-arcctga Пример: tgx=-1 x= -π/4+πn, n∊Z ctgx=1 x= π/4+πn, n∊Z y π 2 ctgx 1 π 4 π 0 x 3π 2 -π 4 -1 tgx 5 Тренажёр(реши уравнения) 1) tgx= 1/√3 2) ctgx= 1/√3 3) tgx= 1 4) sinx= √3/2 5) sinx= 2 6) sinx= - 1/2 7) cosx= - 2 8) cosx= 1/2 9) cosx= - √3/2 10) ctgx= √3 11) tgx= √3 12) ctgx= 1 13) cosx= 1 Т Р И Г О n ( -1) П/3+Пn,nєZ ±5П/6+2Пn,nєZ П/4+Пn,nєZ ±П/3+2Пn,nєZ n+1 ( -1) П/6+Пn,nєZ Нет решения П/3+Пn,nєZ П/6+Пn,nєZ 2Пn,nєZ Г Е И М Н О Р Т Я Н О М Е Т Р И Я 6 Неравенства sinx>a, sinx≥a 1)sinx> ½ 5π 6 2) sinx≥ - ½ 1 π 6 1 ½ -½ -1 7π 6 -1 -π 6 Ответ: 1)π/6+2πn <x< 5π/6+2πn, n∊Z 2) -π/6+2πn ≤x≤ 7π/6+2πn, n∊Z 7 Неравенства sinx<a, sinx≤a 1)sinx< ½ 2) sinx≤ - ½ y y -7π 6 π 6 ½ 0 x 0 -5π 6 -½ x -π 6 Ответ: 1)-7π/6+2πn <x< π/6+2πn, n∊Z 2) -5π/6+2πn ≤x≤ -π/6+2πn, n∊Z 8 Неравенства cosx>a, cosx ≥ a 1)cosx> ½ 2)cosx≥- ½ y π 3 2π 3 ½ 0 -½ x -π 3 y 0 x -2π 3 Ответ: 1)-π/3+2πn <x< π/3+2πn, n∊Z 2) -2π/3+2πn ≤x≤ 2π/3+2πn, n∊Z 9 Неравенства cosx<a, cosx ≤ a 1)cosx< ½ 2)cosx≤ - ½ у π 3 2π 3 ½ -½ х 0 5π 3 у 0 х 4π 3 Ответ: 1)π/3+2πn <x<5π/3+2πn, n∊Z 2) 2π/3+2πn ≤x≤ 4π/3+2πn, n∊Z 10 Неравенства tgx>a, ctgx≥a 1)tgx>1 2)ctgx≥-1 π 2 y π 4 1 y 1 -1 3π 4 0 x -1 1 x -1 Ответ: 1)π/4+πn <x<π/2+πn, n∊Z 2) πn< x≤ 3π/4+πn, n∊Z 11 Неравенства tgx ≤ a, ctgx<a 1)tgx≤1 2)ctgx<-1 π 2 y π 4 1 y 1 -1 3π 4 π 0 -π 2 x -1 0 0 1 x -1 Ответ: 1)-π/2+πn <x≤π/4+πn, n∊Z 2) 3π/4+πn< x < π+πn, n∊Z 12 Неравенств a<sinx<b, a≤cosx≤b 2) - ½ ≤cosx≤ ½ 1) - ½ <sinx< ½ y 1 ½ π 3 π 6 0 x -½ y 2π 3 -½ 0 ½ x -π 6 -1 Ответ: 1)-π/6+πn <x<π/6+πn, n∊Z 2) π/3+πn≤ x ≤ 2π/3 +πn, n∊Z 13 Тест(ответь на вопросы) Верно 1)Имеет ли решение уравнение sinx=1,2? Да Верно Верно Верно Верно Нет -1 ≤cosx≤ 1 3)Имеет ли решение уравнение tgx=5,3? Да Верно -1 ≤sinx≤ 1 2)Имеет ли решение уравнение cosx=-0,6? Да Верно Нет Нет tgx∊R 4) Имеет ли решение уравнение ctgx=-2,1? Да Нет сtgx∊R Да Нет -1 ≤sinx≤ 1 Да Нет -1 ≤cosx≤ 1 5) Имеет ли решение неравенство sinx<-0,7? 6)Имеет ли решение неравенство cosx<-1,7? 7)Имеет ли решение неравенство tgx>-4,7? Да Нет tgx∊R 14 Литература и интернет-ресурсы Шаблон презентации - автор: Ранько Елена Алексеевна. Сайт: http://elenaranko.ucoz.ru Алгебра и начала анализа 10 кл. Учебник для общеоб. учреждений. Базовый и профильный уровень С. М. Никольский и др. М.: Просвещение, 2013г. Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы для 10 класса базовый и профильный уровни 3 –е издание, - М. Просвещение, 2013. Авторы: М. К. Потапов и А. В. Шевкин, Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты для 10 класса базовый и профильный уровни, - М. Просвещение, 2013. Автор Ю. В. Шепелева». 15