Проект "Решение тригонометрических уравнений и неравенств"

Учиться можно только
весело…
Чтобы переваривать
знания, надо поглощать
их с аппетитом.
Анатоль Франс
1844 - 1924
Удачи!
sin 4x sin
– sin
2x1 = 0
x
=
cos x = 0
Решение
тригонометрических
уравнений и
неравенств.
Горячинск
Цели проекта:
Повторить основные формулы и
методы решения тригонометрических
уравнений и неравенств;
 Закрепить умения и навыки решения
тригонометрических уравнений и
неравенств;

Неравенство cost > a
t1
-1
a
-t1
y
0
1
x
1. Отметить на оси абсцисс
интервал x > a.
2. Выделить дугу окружности,
соответствующую интервалу.
3. Записать числовые значения
граничных точек дуги.
4. Записать общее решение
неравенства.
t   t1  2n; t1  2n  ,
nZ
Неравенство cost ≤ a
t1
-1
a
y
0
1
x
1. Отметить на оси абсцисс
интервал x ≤ a.
2. Выделить дугу окружности,
соответствующую интервалу.
3. Записать числовые значения
граничных точек дуги.
4. Записать общее решение
неравенства.
2π-t1
t  t1  2n; 2  t1  2n,
nZ
Неравенство sint > a
y
1
t1
π-t1
a
0
-1
x
1. Отметить на оси ординат
интервал y > a.
2. Выделить дугу окружности,
соответствующую интервалу.
3. Записать числовые значения
граничных точек дуги.
4. Записать общее решение
неравенства.
t   t1  2n;   t1  2n  ,
nZ
Неравенство sint ≤ a
y
1
t1
3π-t1
a
0
-1
x
1. Отметить на оси ординат
интервал y≤a.
2. Выделить дугу окружности,
соответствующую интервалу.
3. Записать числовые значения
граничных точек дуги.
4. Записать общее решение
неравенства.
t  t1  2n; 3  t1  2n,
n Z
Система неравенств:
ta
y
1
tb
π-tb
b
-1
a
-ta
1
0
-1
x
cost  a,

 sint  b
1. Отметить на окружности
решение первого неравенства.
2. Отметить решение второго
неравенства.
3. Выделить общее решение
(пересечение дуг).
4. Записать общее решение
системы неравенств.
t   tb  2n; ta  2n,
nZ
Частные случаи уравнения cost = a
y

cost = 1

2
t  2n,
0
-1
0
1
x

t   n,
2
nZ
cost = 0
nZ
cost = -1

2
t    2n,
nZ
Частные случаи уравнения sint = a

t   2n,
2

2
y
1
sint = 1
nZ
sint = 0
П
t  n,
0
x
0
-1
nZ

2

t    2n,
2
sint = -1
nZ
1+sinx· cosx=sinx+cosx
1+sinx· cosx – sinx – cosx= 0
 Применим способ группировки
 (1 – sinx) – cosx(1 – sinx)= 0
 (1 – sinx)· (1 – cosx )= 0
1 – sinx = 0 sinx=1 x = π/2+2πn, n€Z
1 – cosx = 0 cosx=1 x = 2πn, n€Z
Ответ: π/2+2πn, n€Z
2πn, n€Z

2sin2x+6cos2+1 – 8cosx = 0
Решение
2(1 – cos2x)+6cos2x+1 – 8cosx = 0
2 – 2cos2x+6cos2x+1 – 8cosx = 0
4cos2x – 8cosx +3 = 0
Пусть cosx = a, то
4a2 – 8a + 3 = 0
D = 64 – 48 = 16>0 2 корня
a1 = ½, a2 = 1 ½, отсюда cosx = ½ или cosx = 1 ½
1) cosx = ½
x = ±arccos½ + 2πn, n€Z
x = ± π/3 + 2πn, n€Z
2) cosx = 1 ½ нет решений так как область значений y =
cosx отрезок [– 1;1]
Ответ: ± π/3 + 2πn, n€Z
sinx cosy = - 0,5
cosx siny = 0,5
складывая и вычитая уравнения системы,
получаем равносильную систему:
sinx cosy + cosx siny = o
sinx cosy - cosx siny = 1
sin(x + y) = 0
x +y = πn
sin (y – x)=1
y – x = π/2 + 2πk n, k
€Z
Ответ: x = - π/4 + πn/2 – πk;
y = π/4 + πn/2 – πk n, k € Z
Решайте по
умному