Занятие 10 Обобщение методов построения графиков функций, содержащих знак модуля, и функций, заданных неявно Цель занятия: • напомнить методы построения графиков функций, содержащих знак модуля, и функций, заданных неявно; • способствовать развитию навыков построения графиков функций с опорой на преобразования симметрии; • закрепить полученные знания. Определение Не зная определения модуля, невозможно построить даже самого простого графика, содержащего абсолютную величину. Итак, напомню определение функции х, приХ 0; у х х, приХ 0. Построение графиков функций с модулем – частный случай построения графиков сложных функций. Y y=│x│ 1 -1 0 X 1 y=x Иллюстрация графика функции y x . Чтобы из графика функции у=f(x) получить график функции у=│f(x)│, нужно: 1) построить график функции у=f(x); 2) части графика функции у=f(x), лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отразить от неё. У y=│f(x) │ y=f(x) 0 Х Для того, чтобы построить график функции у=f(│x│), нужно: 1) построить график функции у=f(x); 2) часть графика функции у=f(x), соответствующую положительной полуоси абсцисс, отразить от оси ординат. у y=f(│x│) y=f(x) 0 х Функция │у│=f(x) является двузначной, т.к. по определению абсолютной величины у=± f(x), где f(x) ≥ 0, поэтому график симметричен относительно оси ОХ. Чтобы построить график этой функции, нужно: 1) найти D(y) из условия f(x) ≥ 0; 2) на D(y) построить график функции у= f(x); 3) отобразить его зеркально от оси абсцисс. У │y│=f(x) y=f(x) 0 Х Графики функций y=│x+a│+│x+b│+…+│x+n│ Характерной особенностью графиков функций, содержащих выражения со знаком модуля, является наличие изломов в тех точках, в которых выражение, стоящее под знаком модуля, изменяет знак. Пример функции y=│x+1│+│x-1│, где х = - 1 и х = 1 – точки излома 2 х, приХ 1; у 2, при 1 Х 1; 2 х, приХ 1. У у=2х у= -2х 2 у=2 1 -1 0 1 Х Графики функций, заданных неявно, где │х│ и │у│ складываются или вычитаются Пример:││х│+│у-2││=1. График этого уравнения симметричен относительно осей Ох, Оу и начала координат. При х ≥ о и у ≥ о уравнение примет вид │х+у-2│=1, и его графиком является объединение двух отрезков прямых у= -х+1 и у= -х +3, заключенных между осями координат. у 3 1 -3 -1 0 1 3 -1 -3 ││х│+│у│-2│=1 х Пример: ││у│- │х││=а, где а ≥ о. График симметричен относительно осей ОХ и ОУ. 1. Строим график у=х+а и у=х-а для х ≥ о и у ≥ о. 2. Отражаем график симметрично относительно осей Ох и Оу. у а а -а -а х ││у│-│х││= а Итак, графики с модулями кажутся очень сложными и непонятными. Разобравшись с графиками основных видов функций, аналитическая запись которых содержит знак абсолютной величины, можно узнать много нового и полезного. Работа с ними увлекательна и интересна. Самостоятельная работа Постройте графики функций: y x 3x 2 2 y x 3x 2 2 y x2 3 x 2 y x 3x 2 с помощью преобразования функции 2 y x 3x 2 2 Проверим правильность выполнения работы. у у = х2 – 3х + 2 у =|x2-3x+2| 2 1 2 х у у = x2-3|x|+2 у = х2 – 3х + 2 2 -2 -1 1 2 х у = х2-3|х|+2 у = |x2-3|x|+2| у у = х2 – 3х + 2 2 -2 -1 1 2 х у у = х2 – 3х + 2 |у| = x2-3x+2 2 1 -2 2 х Домашнее задание Завершите начатую работу по проекту и сделайте к нему мини-презентацию. ВСЕМ СПАСИБО!