8. Построение графиков функций, содержащих знак модуля.

8. Построение графиков функций, содержащих знак модуля.
При построении графиков функций, содержащих знак модуля, применяются, в
основном, те же приемы, что при решении уравнений с модулем. Основным действием при
этом является « снятие модуля». Однако при построении графиков эта операция иногда
даже упрощаемся, так как она может быть заменена геометрическими преобразованиями
графиков.
Пример 1. Построить график функции y = x .
Решение. Первый способ. Раскроем знак модуля согласно его определению: y = x при
x ≥ 0, y = − x при x < 0. Таким образом, искомый график совпадает с графиком функции
y = x при x ≥ 0 ( в правой полуплоскости) и с графиком функции y = − x при x < 0 ( в
левой полуплоскости). Руководствуясь этим, строим график. (Рис. 12.)
Второй способ. Можно рассматривать функцию y = x как модуль функции y1 = x.
Модуль не меняет график в верхней полуплоскости и отражает части графика, находящиеся
в нижней полуплоскости, в верхнюю полуплоскость симметрично координатной оси OX .
(Рис. 13.)
Эти два эквивалентных метода являются основными при построении графиков
функций, содержащих знак модуля.
Пример 2. Построить график функции y = x 2 − 2 x .
Решение. Сначала построим график функции y1 = x 2 − 2 x, а затем применим к нему
операцию «модуль» (Рис. 14).
Рис. 14.
Пример 3. Построить график функции y = x − 2 − x .
Решение. Здесь знак модуля входит в два различных слагаемых и его нужно
снимать тем же методом, который применяется при решение уравнений и неравенств:
⎧x ≥< 2
⎧x < 0
⎧0 ≤ x < 2
а) ⎨
б) ⎨
в) ⎨
⎩y = 2
⎩ y = −2
⎩ y = 2x − 2
График данной функции «склеиваем» из графиков трех линейных функций (рис.15).
Рис. 15.
Пример 4. Построить график функции y = x − 1 − 2
Решение. В данном случае имеется «матрешка» из модулей, но мы поступим иначе, чем
y
при решении уравнений. Мы построим график функции
y3 = x − 1 − 2 и применим к нему
операцию «модуль». График функции y3 ( x ) построим с помощью преобразования
графика функции y1 = x (рис.16).
Рис. 16.
x3 − x 2
x −1
Решение. Областью определения данной функции является множество всех
вещественных чисел, не равных 1. В точке х=1 функция имеет разрыв. Преобразуем
выражение, задающие функцию, следующим образом:
x −1 2
y=
⋅x
x −1
Пример 5. Построить график функции y =
Функция является произведением функции y1 = x 2 , график которой легко
x −1
построить, и функции y2 =
, x ≠ 1 , которая является кусочно-постоянной:
x −1
x − 1 ⎧1, x > 1
=⎨
x − 1 ⎩−1, x < 1
Поэтому график исходной функции легко получается из графика функции y1 = x 2 (рис.17)
y2 =
Рис. 17.
Пример 6. Построить график функции y = log 2 x , x ≠ 0
Решение. Заметим, что замена х на ⏐х⏐делает функцию четной: f ( − x ) = f ( x ) .
Поэтому график данной функции получим из графика функции y = log 2 x , отразив его
симметрично относительно координатной оси ОΥ (Рис.18).
Рис. 18.
Пример 7. Построить график функции y = log 0,5 x − 1 , x ≠ 1
Решение. Построим график данной функции, последовательно строя графики
функций y1 = log 0,5 , y2 = log 0,5 x , y3 = log x − 1 , y = log 0,5 x − 1 (Рис. 18.)
x+
x−2
x−2
Пример 8. Построить график функции y = 5
, x ≠ 2.
Решение. Преобразуем показатель степени:
x − 2 ⎪⎧ x + 1 , x > 2
=⎨
x+
x − 2 ⎪⎩ x − 1 , x < 2.
Таким образом, график данной функции получается из графиков двух функций
(Рис.20).
Рис. 20.
Пример 9. Построить множество точек на плоскости, декартовы координаты
которых х и у удовлетворяют уравнению |у|=||х-1|-1|.
Решение. Для построения этого множества точек достаточно раскрыть лишь
модуль в левой части равенства:
⎧⎪ y ≥ 0,
a) ⎨
⎪⎩ y = x − 1 − 1 .
⎧⎪ y < 0,
б) ⎨
⎪⎩ y = − x − 1 − 1 .
Рис. 21.
Пример 10. Найти площадь фигуры, множества точек М(х,у) которой задано
неравенством x + y ≤ 2 .
Решение. Неравенство перепишем в виде y ≤ 2 − x
⎧⎪ y ≥ 0
a) ⎨
⎪⎩ y ≤ 2 − x .
⎧⎪ y < 0
б) ⎨
⎪⎩ y ≤= x − 2.
Рис. 22.
Данная фигура является квадратом с диагональю длиной 4 единицы.
1
S = ⋅ 4 ⋅ 4 = 8кв.ед.
2
Ответ: 8 кв.ед.