Построение графиков сложных функций

МОУ гимназия №13
Построение графиков
сложных функций
Выполнил:
ученик 11б класса
Черемисин Д. Ю.
Руководитель:
Черемисина Г. А.
п. Краснообск, 2005
Проблемный вопрос
Можно ли построить графики
сложных функций
элементарными способами?
Содержание

Введение

Цели и задачи

Основная часть

Основные результаты

Список используемых ресурсов
Введение
Умение строить графики функций и их читать, т. е.
определять промежутки монотонности, экстремальные
значения и другие характеристики функции по её графику,важный элемент математической культуры. Во многих
задачах график является лишь вспомогательным элементом
решения.
Построение графика сложной функции вида
y = f(φ(x)) без использования производной можно
осуществлять элементарными способами по некоторой схеме.
В работе рассматриваются функции вида y = f(φ(x)), где φ(x)
– любая из основных элементарных функций, а f – любая из
следующих операций над ними: прибавление к функции какого-либо
числа, умножение функции на число, деление единицы на функцию,
возведение функции в положительную степень, извлечение корня из
функции, нахождение показательной функции от функции,
логарифмирование функции, нахождение модуля функции,
нахождение тригонометрических функций от функции.
Все указанные операции можно проводить непосредственно
над графиками основных элементарных функций(понимая под этим
выполнение операций над соответствующими координатами),
поскольку эти графики известны. Как правило, график функции
y = f(φ(x)) трудно, а порой и просто невозможно построить, используя
общую схему исследования функции. В то же время эскиз такого
графика легко нарисовать с помощью упрощенной схемы
исследования, если использовать операции над графиками.
Цели и задачи
 Овладеть умением представлять сложную функцию в виде
композиции двух функций
 Освоить приём построения эскиза графика функции без
применения производной
 Показать возможность использования схемы построения
графиков сложных функций вида y = f(φ(x))
Основная часть

Схема построения графика сложной функции

Построение графиков функций вида
y  f (kx  b)

Построение графиков функций вида
y  f (ax 2  bx  c)

Построение графиков функций вида
 ax  b 
y f

 cx  d 
Схема построения графика сложной
функции у = f(φ(x))


Найти область определения исследуемой сложной функции, а также
граничные значения функции.
Построить график функции у1 = φ(х). Отметить на этом графике
характерные точки, т. е. нули и точки разрыва, найти граничные точки,
одну - две промежуточные точки; (при выборе характерных точек
функции φ(х) приходиться учитывать не только её свойства, но и
свойства f(φ )).

Произвести заданные операции над ординатами выбранных точек.

Нанести полученные точки и предельные значения на рисунок,
помещённый под графиком функции у1 = φ(х) так, чтобы у1 была
продолжением оси у. Затем соединить полученные точки сплошной
линией в тех промежутках, в которых функция непрерывна, и учесть
(если она имеется) симметрию графика относительно точки или прямой.
Построение графиков функций
вида y  f ( kx  b)
y  lg( 2  3x)
y3
2 x 1
y  2  2x
y  sin( 2 x  3)
1
1
y 3 x
2
2
1
y
 2x  1
1 

y  2  x
3 

3
4
y   2x
3
2
1
2 3x
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
1
y  lg( 2  3x)
2
x 2
1
log( 2 3x)
5
4
3
2
1
0
1
2
x
1
2
3
4
4
3
2
1
2 2x
4
3.13
2.25
1.38
0.5
0.38
1.25
2.13
3
1
2
y  2  2x
3
x
4
3
2
1
2 2x
4
3.13
2.25
1.38
0.5
0.38
1
2
3
x
1.25
2.13
3
2
1.5
1
0.5
2x 3
3
2.25
1.5
0.75
0
0.75
1.5
2.25
3
0.5
1
1.5
y  sin( 2 x  3)
2
2x
1.5
1
0.5
sin( 2x 3)
3
2.25
1.5
0.75
0
0.5
1
1.5
2
x
0.75
1.5
2.25
3
7
5
3
 2x 1
1
3
2
1
0
1
2
3
1
3
y3
7 x
5
3
3
 2x  1
1
3
2
1
0
1
3
x
1
2
3
2 x 1
3
2
1
1
x
2
1
2
9
7
5
3
1
1
3
5
7
9
1
2
1
1
y 3 x
2
2
3
3x
2
1
3
1
2
x
1
2
9
7
5
3
1
1
1
2
3
x
3
5
7
9
5
3
1
 2x 1
7
5
3
1
1
3
5
7
1
3
1
y
 2x  1
5
5x
3
1
1
 2x 1
7
5
3
1
1
1
3
5
x
3
5
7
4
4
3
2
1
1
2 x
3
3
1
1
3
5
7
9
11
13
1
2
3
4
3
4
3
x
13
3
2
 2 x


 3 
1
1
3
3
1
1
3
5
7
9
11
13
1
2
3
3
3
x
13
1 

y  2  x
3 

3
6
5
4
3
2
4
 2x
1
3
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
1
2
3
4
y   2x
3
4
6 x
5
4
3
2
4
 2x
1
3
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
x
1
2
3
4
5
Построение графиков функций
вида y  f (ax 2  bx  c)
1
y
2
 x  4 x  12
y  x  4x  1
2
y  ( x  4 x  3)
2
y  x 1
3
1
y  arcsin(  x 2 )
2
2
y2
2
x 2 2 x 3
y  log 2 ( x  2 x  8)
y  cos( x 2  4 x  1)
2
17
14.63
12.25
9.88
2
 x  4x 12
7.5
5.13
2.75
0.38
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
2
x
10
7.63
5.25
2.88
1
0.5
2
 x 4x 12
7
6
5
4
3
2
1
0
1.88
4.25
6.63
9
x
1
2
3
1
y
2
 x  4 x  12
7
6
5
4
3
2
x  4 x 3
2
1
1
0
1
2
3
4
5
1
y  ( x  4 x  3)
2
2
7
x
6
5
4
3
 x24 x 3 2
2
1
1
0
1
2
1
2
x
3
4
5
2
5
4.1
3.2
2.3
1.4
2
x  4x 1
0.5
2
1
0.4 0
1
2
3
4
5
6
1.3
2.2
3.1
y  x  4x  1
2
4
5
x
4.1
3.2
2.3
1.4
2
x  4x 1
0.5
2
1
0.4 0
1
2
1.3
2.2
3.1
4
x
3
4
5
6
4
3.75
3.5
3.25
3
2.75
2.5
2
x 1
2.25
2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
2
1.5
1
0.5
0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y  x 1
4
3
3.75
3.5
3.25
3
2.75
2.5
3 2
2.25
x 1
2
1.75
1.5
1.25
1
0.75
2
1.5
1
0.5
0.5
0
x
0.5
1
1.5
2
2
6
4.9
3.8
2.7
1.6
2
x  2 x 3
0.5
2
1
0.6 0
1
2
3
4
1.7
2.8
3.9
5
6
x
y2
4.9
3.8
2.7
1.6
2
 x22 x3
0.5
2
1
0.6 0
1
1.7
2.8
3.9
5
x
2
3
4
x 2 2 x 3
2
1.75
1.5
1.25
1
2
x
1
2
0.75
0.5
0.25
1
0.75
0.5
0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
x
2
1.75
1.5
1.25
 1 2
asin  x 
2 
1
0.75
0.5
0.25
1
0.75
0.5
0.25
0
x
0.25
0.5
0.75
1
1
2
y  arcsin(  x )
2
9
8
7
6
5
2
 x  2x 8
4
3
2
1
2
1
0
1
2
3
4
y  log 2 ( x  2 x  8)
2
x
9
8
7
6

2
log 2   x  2x 8
5

4
3
2
1
2
1
0
1
x
2
3
4
2
1.5
1
0.5
1
2
x  4x 1
0
1
2
3
4
5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y  cos( x  4 x  1)
2
x
2
1.5
1
0.5
2
cos x  4x 1
1
0
1
2
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
3
4
5
Построение графиков функций вида
 ax  b 
y f

 cx  d 
y3
x 3
2 x2
5 x
y
x 1
 2x  2
y  log 1
x 1
2
6
4.57
3.14
1.71
x 3
2x 2
0.29
6
4.13
2.25
0.38
1.5
3.38
5.25
7.13
9
1.14
2.57
4
6
y3
x
4.57
3.14
1.71
x 3
3
2x 2
0.29
6
4.13
2.25
0.38
1.5
1.14
2.57
4
x
3.38
5.25
7.13
9
x 3
2 x2
6
4.5
3
1.5
 2x 2
x 1
1
0
1
2
3
4
5
1.5
3
 2x  2
y  log 1
x 1
2
4.5
6
6
x
4.5
3
1.5
 1  2x 2 
log 

 2 x 1 
1
0
1
2
1.5
3
4.5
6
x
3
4
5
4
2.43
0.86
6
3.67
1.33
1
3.33
5.67
8
0.71
5 x
x 1
2.29
3.86
5.43
5 x
y
x 1
7
4
x
2.43
0.86
6
3.67
1.33
1
0.71
5 x
x 1
2.29
3.86
5.43
7
3.33
5.67
8
Основные результаты

Для построения графика функции любой сложности
необходимо знать и применять свойства
элементарных функций (область определения, нули
функции, четность и нечетность, периодичность и т. д.).

График сложной функции y = f(φ(x)) можно построить
с помощью упрощенной схемы, если использовать
операции над графиками (понимая под этим выполнение
операций над соответствующими координатами).
Список ресурсов:
 Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы. –
М.: Просвещение, 1988
 Гурский И. П. Графики сложных функций
 Дворянинов С. В. О построении графиков сложных функций на
основе свойства монотонности. Журнал «Математика в школе»
 Дорофеев Г.В. Пособие по математике для поступающих в вузы. –
М.: Наука, 1972
 Костюкова Н.К. Научно-исследовательская работа учащихся. – М.:
Математика в школе №5, 1999
 Райхмист Р.Б. Графики функций: задачи и упражнения. – М.: Школа Пресс, 1997
 Рывкин А.А. Справочник по математике – М.: Высшая школа, 1987
 Факультативный курс по математике - М.: Просвещение, 1991
 http://mathem.by.ru/index.html