Применение свойств и графиков линейной функции при

Применение свойств и графиков линейной функции при построении графиков
функций с модулем.
Очень часто при изучении какой-либо темы по алгебре мы сталкиваемся с вопросом
полезности и необходимости данного материала, то есть: « А зачем это нужно?». Думаю, что
в этом случае главным аргументом будет практическое применение изученных понятий и
свойств для решения более сложных задач. Так мне видится рассмотрение темы «Линейная
функция» в 7 классе. В учебнике Ю.Н.Макарычева «Алгебра. 7 класс» после знакомства с
основными свойствами, способами построения и взаимным расположением графиков
появляется п.17 «Задание функции несколькими формулами», где предлагается всего 7-9
задач на исследование графика «кусочно-заданной» функции. После этого пункта вполне
логично и весьма доступно объяснить 7-классникам способы построения графиков функций
с модулем по определению модуля, методом интервалов и с помощью преобразований.
Однако, необходимо учесть, что учащиеся 7 класса еще не владеют в полной мере
знаниями по теме «Линейные неравенства», но правила настолько просты и перекликаются с
теорией решения линейных уравнений, что трудностей в восприятии этих вопросов не
возникает. Предлагаю такой вариант изложения этой темы в 7 классах Физикоматематического лицея № 38 г. Ульяновска.
(2 урока)
1. Домашнее задание: лекция, тест 6 по теме «Линейная функция» (с сайта www.atwmatem.narod.ru), построить графики функций 1). у  2 х  4 , 2). у  3 х  1  4 ,
3). у  х  х  3
2. Устный счет по теме «Линейная функция». (6 вариантов) Приложение 1.
3. Лекция:
Повторение понятий, изученных в 6 классе:
1. Определение: Модуль – расстояние от нуля до числа, выраженное в единичных отрезках
Обязательно надо отметить «дуализм» модуля, т.е. возможность отложить на луче
одинаковое расстояние и влево, и вправо
5 =5, 7 = 7, 0  0
-7
0
5
х
 х, х  0, само _ число
Правило: х  
 х, х  0, противоположное
х – подмодульное выражение, любое число
х  0 - всегда неотрицательное число!
2. Примеры:
Раскройте модуль:
2 х 2  10 х  1, 2 х 2  10 х  1  0,
 х  5, х  5  0,
а). х  5  
б). 2 х 2  10 х  1  
2
2
(2 х  10 х  1), 2 х  10 х  1  0.
( х  5), х  5  0.
в). Правила раскрытия скобок:
  а  в   а  в
а  в  в  а
3. Простейшие неравенства:
Чем больше, тем – правее
х  3 (все числа, правее числа 3)
Чем меньше, тем – левее
х  4 (все числа, левее числа – 4 и само число -4)
Правила:
1.При переносе слагаемого из одной части неравенства в другую знак неравенства не
меняется, а знак слагаемого меняется на противоположный(как в уравнениях).
2. Переносить слагаемые так, чтобы коэффициент при переменной был положительным.
3. При делении обеих частей неравенства на
положительное
число знак неравенства
отрицательное
не _ меняется
.
меняется
Примеры:
а). 5х -10 ≥0
5х ≥ 10
х≥2
переносим -10
б). 10 – 5х ≥ 0
переносим -5х
делим обе части на 5
10 ≥ 5х
делим обе части на 5
2 и все числа, правее 2
2≥х
«развернем» неравенство
х≤2
2 и все числа, левее 2
4. Построение графиков.
После такой подготовительной работы можно приступить к построению простейших
графиков методом «по определению модуля».
1. y 
1
x  1 . Выясняем, сколько модулей присутствует в данной формуле какое
2
подмодульное выражение.(х). Обращаемся к определению модуля и рассматриваем 2
ситуации, в зависимости от знака подмодульного выражения.
  x  0,

  y  1 x  1;(0;1), (2; 2)

2

  x  0,

1
  y   x  1;(0;1), (2; 2)
2

На этом этапе очень важно объяснить учащимся, что значения абсцисс точек для построения
обязательно должны соответствовать условиям системы, при этом, первое значение
выбираем «концевое». (В данном примере х=0). Фиксируем вспомогательный элемент
построения: х = 0 – «разделяющая прямая». С нее и начинаем построение, для того, чтобы
отделить зоны расположения графика.
График 1.
2. y  
График 2.
1
x  3 . Все рассуждения строим аналогично, только при подборе опорных точек
3
учитываем, что координаты должны быть целыми числами.
  x  0,

  y   1 x  3;(0; 3), (3; 4)
 
3

  x  0,

1
  y  x  3;(0; 3), (3; 4)
3

3. y  3x 1 . Применяя определение модуля, обратим внимание учащихся, что
подмодульное выражение в этом случае уже не «х», а «3х-1», поэтому раскрытие зависит от
знака этого выражения.

1
  x  3 ,

 3 x  1  0,
  y  3 x  1;( 1 ;0), (1; 2)

1
3
  y  3 x  1; =>  
х = - разделяющая прямая.
 3 x  1  0,
3
 x  1 ,

 
3
  y  3 x  1;

  y  3 x  1;( 1 ;0), (0;1)
3
 
Можно порекомендовать учащимся изменить масштаб по оси Ох для более точного
построения графика.
График 3.
График 4.
4. y  2 x 1  4 . Подмодульное выражение «х – 1»
  x  1  0,
  x  1,
  x  1,



  y  2( x  1)  4; =>   y  2 x  2  4; =>   y  2 x  2;(1; 4), (2; 6)
  x  1  0,
  x  1,
  x  1,



  y  2( x  1)  4;
  y  2 x  2  4;
  y  2 x  6;(1; 4), (0; 6)
х = 1 – разделяющая прямая.
5. После выполнения этих упражнений можно перейти к самой сложной части темы – к
построению графиков «методом интервалов». При объяснении материала необходимо дать
четкий алгоритм действий, приводящих к итоговому построению. Также, предварительно,
надо повторить свойство возрастающей линейной функции, меняющей свой знак при
переходе через «ноль функции».(Достаточно показать на рисунке).
Правило: Возрастающая линейная функция (к>0) при переходе через свой ноль меняет знак
с минуса на плюс.
y  x  2  2  x  1 . Обратим внимание учащихся на то, что формула функции содержит 2
модуля, значит, нельзя применить метод «по определению модуля». Тогда начинаем
выполнять действия «по шагам»:
1. Найдем нули модулей: х = 2, х = -1.
2. Отметим на числовом луче и определим количество зон построения (3)
3. Заполним таблицу знаков подмодульных выражений:
-1
2
х
x  1
1  x  2
x2
Х-2
-
-
+
Х+1
-
+
+
4.Раскроем модули по определению на каждом из промежутков, учитывая знаки
подмодульных выражений.
 x  1,
 x  1,
 x  1,
1). 
=> 
=> 
 y  2  x  2( x  1);
 y  2  x  2 x  2;
 y  3x;(1;3), (2;6)
1  x  2,
1  x  2,
1  x  2,
2). 
=> 
=> 
 y  2  x  2( x  1);
 y  2  x  2 x  2;
 y  x  4;(1;3),(2;6)
 x  2,
 x  2,
 x  2,
3). 
=> 
=> 
 y  x  2  2( x  1);
 y  x  2  2 x  2;
 y  3x;(2;6), (3;9)
х = 2, х = - 1 – разделяющие прямые. График состоит из лучей и отрезков,
расположенных в соответствующей полосе. Подбор опорных точек таков, что они
попадают на разделяющие прямые, поэтому для построения частей графика достаточно
соединить это точки.
График 5.
После объяснения материала необходимо поработать с графиками и в классе, и дома.
Задания для классной работы:
1
2x  5
2
y  x6
y
y   x3 4
y  x  x 5
y  1 x  x  3  x  4
y  3x  6
y
1
x3 4
3
y  x 2
Задания для домашней работы:
y  4 x  2
y
1
x 5
4
y  x  2 3 x  x  2
Задания для самостоятельной работы:
1 вариант:
1. y   x  3
2 вариант:
2. y  
1
x 1  3
2
1. y  4  x
2. y 
1
x 1  3
2
Несомненно, данный материал очень трудный для восприятия семиклассников, все
задания классной работы надо выполнять под руководством учителя, обязательно
проверить со всем классом задания домашней работы и за самостоятельную работу
выставить только положительные отметки.
После усвоения этого метода построения графиков вполне логично было познакомить
учащихся с преобразованиями графиков функций y  f ( x)  a и y  f ( x  a ) , и показать
на примере функции с модулем, как осуществляется движение графика в системе
координат. Этот материал учащиеся осваивают легко и быстро, при этом, не забываем о
предыдущем методе, т.к. преобразования можно использовать не всегда.
Такое прочтение данной темы позволило показать практическое применение знаний
учащихся о линейной функции и подготовило к восприятию, в дальнейшем, методов
решения уравнений и неравенств с модулем, а также, построения любых графиков с
помощью преобразований и по определению модуля.