1.Построить график функции

Конспект урока по теме
«Обратные тригонометрические функции»
Урок изучения нового, 10 класс
Учебник:
Алгебра и начала анализа: Учеб.для 10-11кл. общеобразоват. учреждений/
[Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.].- 15-е изд.- М.:
Просвещение, 2007.-384 с глава 7, п.43
Тип урока: урок изучения нового
Учебная задача урока: Изучить функции y=arcsinx, y=arccosx, и y=arctgx, y=arcсtgx,
их свойства и графики.
Диагностируемые цели: В результате урока ученик:
Знает: Свойства функций y=arcsinx, y=arccosx, и y=arctgx, y=arcсtgx, умеет строить
графики.
Понимает: взаимосвязь между прямыми и обратными тригонометрическими
функциями; алгоритм построения графиков обратных тригонометрических
функций.
Умеет: обосновывать свойства функции y=arcsinx, y=arccosx, и y=arctgx, y=arcсtgx,
применять свойства функции при решении задач, выполнять задания по чтению
графика функции.
Методы обучения: метод эвристической беседы, частично-поисковые,
репродуктивный.
Средства обучения: традиционные, презентация, канва-таблица.
Форма работы: фронтальная.
Структура урока:
1) Мотивационно-ориентировочный этап (10 мин)
2) Содержательный этап (30 минут)
3) Рефлексивно-оценочный этап (5 минут)
Ход урока:
I.
Мотивационно-ориентировочный этап.
Актуализация.
Ребята, у всех ли получилось выполнить домашнее задание?(Да)
Давайте проверим.
1.Построить график функции, назвать свойства данных функций: (Ученики
выходят к доске, строят графики)
а) 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥
(ответ учеников)Чтобы построить график функции, нужно:
1.Построить график функции 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑥
2. 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 – сжатие в два раза вдоль Ох
Свойства: 1.ООФ:𝑥 ∈ 𝑅
2.МЗФ:𝑦 ∈ [−1; 1]
𝜋
𝜋
3.возрастает 𝑥 ∈ [− + 𝜋𝑛, + 𝜋𝑛]
4
4
𝜋
3𝜋
4
4
убывает 𝑥 ∈ [ + 𝜋𝑛,
+ 𝜋𝑛]
4.𝑦(−𝑥) = sin(−2𝑥) = −𝑠𝑖𝑛2𝑥 = −𝑦(𝑥) −нечетная функция,
периодическая с наименьшим положительным периодом 𝜋
б)y=𝑐𝑜𝑥(𝑥) + 1
1.Построить график функции 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
2.𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 −сдвиг вверх на 1 ед.
Свойства: 1.ООФ: 𝑥 ∈ 𝑅
2.МЗФ: 𝑦 ∈ [0; 2]
3.возрастает 𝑥 ∈ [−𝜋 + 2𝜋𝑛, 2𝜋𝑛]
убывает 𝑥 ∈ [2𝜋𝑛, 𝜋 + 2𝜋𝑛]
4. 𝑦(−𝑥) = cos(−𝑥) + 1 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 = 𝑦(𝑥) − четная
периодическая с наименьшим положительным периодом 2𝜋
𝑥
в) 𝑦 = 𝑡𝑔( )
2
1.Построить график функции 𝑦 = 𝑡𝑔𝑥
𝑥
2.𝑦 = 𝑡𝑔 растяжение в 2 раза вдоль Ох
2
Свойства: 1.ООФ:х∈ (−𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝜋 + 2𝜋𝑛)
2.МЗФ:𝑦 ∈ 𝑅
3.возрастает 𝑥 ∈ (−𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝜋 + 2𝜋𝑛)
функция,
𝑥
𝑥
4.𝑦(−𝑥) = tg (− ) = − tg − нечетная функция, периодическая с
2
2
наименьшим положительным периодом 2𝜋
г) 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔3𝑥
1.Построить график функции 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔𝑥
2.𝑦 = 𝑐𝑡𝑔3𝑥 сжатие в три раза
𝜋𝑛 𝜋
𝜋𝑛
Свойства:1.ООФ:х∈ ( , + )
3
3
3
2.МЗФ:𝑦 ∈ 𝑅
𝜋𝑛 𝜋
𝜋𝑛
3.убывает 𝑥 ∈ ( , + )
3 3
3
4.𝑦(−𝑥) = 𝑐𝑡𝑔(−3𝑥) = −𝑐𝑡 𝑔 3𝑥 −нечетная функция,
𝜋
периодическая с наименьшим положительным периодом
3
Постройте график функции у=х2.
Является ли эта функция обратимой? (Ответ: Нет)
Какая функция называется обратимой?
(Ответ: Функцию y=f(x), xЄX называют обратимой, если любое свое значение она
принимает только в одной точке множества X.)
Как проверить, что функция имеет обратную функцию? (Ответ :по теореме об
обратной функции)
Сформулируйте эту теорему (Ответ: Если функция y=f(x) монотонна на
множестве X, то она обратима.)
На каких участках функция у=х2 является обратимой? (на участках от [0 до +∞) и
[-∞; 0)
Постройте график функции у=х2 на xЄ[0; +∞)
Постройте график функции, обратной для у=х2, xЄ[0; +∞).
у=х2
х = √у
у=х обратная для у=х2
Дети:
𝑓(𝑥) = 𝑥 2
𝐷(𝑓): [0; +∞)
𝐸(𝑓): [0; +∞)
𝑔(𝑥) = √𝑥
𝐷(𝑔): [0; +∞)
𝐸(𝑔): [0; +∞)
Учитель: рассмотри некоторые свойства взаимно обратных функций.
1) Область определения. Пусть f и g – взаимно обратные функции. Область
определения функции f совпадает с областью значений функции g, и наоборот,
область значений функции f совпадает с область определения функции g.
Рассмотрим на конкретном примере.
Функции y = x2 + 2 и 𝑦 = √𝑥 − 2 взаимно обратны. Областью определения
первой из них будет промежуток [0; +∞ ), а множеством значений – промежуток [2;
+∞ ). Для второй функции эти промежутки поменяются местами.
2) Монотонность. Если одна из взаимно обратных функций возрастает, то и
другая возрастает. Аналогичное верно и для убывающих функций.
3) Графики. Графики взаимно обратных функций, построенные в одной и той же
системе координат, симметричны друг другу относительно прямой y = x.
Мотивация.
Учитель: На предыдущих уроках мы рассматривали тригонометрические
функции y=sinx, y=cosx, и y=tgx, y=сtgx. Возникает вопрос: «Можно ли для них
указать обратные функции? (ответ: нет, т.к . эти ф-ии не явл монотонными)
Но оказывается для тригонометрических функций также можно указать функции,
которые в некоторой степени будут для них обратными.
Учебная задача.
Рассмотреть свойства и графики обратных тригонометрических функций.
Тема урока: «Обратные тригонометрические функции»
II.
Содержательный этап.
1.Функция у = arcsin х.
По определению арксинуса числа для каждого х ∊ [-1; 1] определено одно
число у = arcsin х. Тем самым на отрезке [-1; 1] задана функция у = arcsin х,
-1 ≤ х ≤ 1.
Покажем, что функция у = arcsin х является обратной к функции у = sin х,
рассматриваемой на отрезке –π\2≤х≤π\2.
Рассмотрим уравнение sin х = у, где у — заданное число из отрезка -1 ≤ х ≤ 1,
а х — неизвестное.
На отрезке –π\2≤х≤ π\2 это уравнение по определению арксинуса числа
имеет единственный корень х = arcsin у.
В этой формуле меняем местами х и у, получаем у = arcsin х.
Свойства функции у = arcsin х можно получить из свойств функции у = sin х.
График функции у = arcsin х
симметричен графику функции у
=sinх, –π\2≤х≤ π\2 относительно
прямой у = х (рис).
Давайте определим основные свойства функции у = arcsin х.
Учитель: область определения у этой функции?(ответ: отрезок[-1;1])
Учитель: множество значений?(ответ: отрезок [-π\2;π\2])
Учитель: Монотонность (ответ: функция возрастает)
Учитель: четность, нечетность(ответ: функция является нечетной, т.к. arcsin(-x)=
-arcsinx)
2. Функция у = arccos х.
По определению арккосинуса числа для каждого х ∊ [-1; 1] определено одно
число у = arccos х. Тем самым на отрезке [-1; 1] определена функция у =
arccos х, -1 ≤ х ≤ 1.
Покажем, что функция у = arccos х является обратной к функции у = cos х,
рассматриваемой на отрезке 0≤х≤π.
Рассмотрим уравнение 𝑐𝑜𝑠 х = у, где у — заданное число из отрезка −1 ≤
х ≤ 1, а х — неизвестное.
На отрезке 0 ≤ х ≤ 𝜋 это уравнение по определению арккосинуса числа
имеет единственный корень х = arccos у.
В этой формуле меняем местами х и у, получаем у = arcos х.
Свойства функции у = arccos х можно получить из свойств функции у = cos х.
График функции у = arccos х симметричен графику функции у = cos х, 0 < х <
π, относительно прямой у = х (рис).
Определим основные свойства функции у = arccos х.
Учитель: область определения у этой функции?(ответ: отрезок[-1;1])
Учитель: множество значений?(ответ: отрезок 0;π])
Учитель: Монотонность(ответ: функция убывает)
Учитель: Четность, нечетность(ответ: функция является четной т.к. arccos( –х)=
arccos х)
3.Функция у = arctg х.
По определению арктангенса числа для каждого действительного х
определено одно число у = arctg х. Тем самым на всей числовой прямой
определена функция у = arctg х, х ∊ R.
Эта функция является обратной к функции у = tg х, рассматриваемой на
интервале -π\2;π\2
График функции у = arctg х получается из графика функции у = tg х,
-π\2≤ 𝑥 ≤π\2 , симметрией относительно прямой у = х (рис).
Перечислим основные свойства функции у = arctg х.
Учитель: область определения у этой функции?(ответ: множество Rвсех
действительных чисел)
Учитель: множество значений?(ответ: интервал(-π\2;π\2))
Учитель: Монотонность(ответ: функция возрастает)
Учитель: четность, нечетность(ответ: функция является нечетной, т.к. arctg(-x)=arctgx)
4.Функция y=arcсtg x:
𝜋 𝜋
Y=arcсtg x – это функция, обратная к функции y=сtg x, xЄ(− 2 ; 2 ). График
функции y=arctg x может быть получен из графика функции y=сtg x,
𝜋 𝜋
xЄ(− 2 ; 2 ) , с помощью преобразования симметрии относительно прямой y=-x.
Перечислим основные свойства функции у = arcctgх.
Учитель: область определения у этой функции?(ответ: множество всех
действительных чисел)
Учитель: множество значений?(ответ: интервал﴾0;π﴿)
Учитель: Монотонность(ответ: aункция у = 𝑎𝑟𝑐с𝑡𝑔 𝑥 убывает на всей области
определения)
Учитель: четность, нечетность(ответ: Функция является нечетной т.к arcctg(-х)=
-arcctgх)
Решение примеров:
№750 Сравнить числа:
1
2
3
√10
1)𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 и 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
1
1 2 5
6
< ;
<
√3 √10 3 5 15 15
Функция 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 возрастающая,
<
2
;
1
2
3
√10
значит 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 < 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
№751 Сравнить числа:
1) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
1
√3
и 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
1
√5
1
√3
Т.к. функция 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 убывающая,
значит 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
1
√3
<
1
√5
< 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠
1
√5
№756 Найти область определения функции:
1) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
𝑥−3
2
−1 ≤
Задание: Сравните числа
arcctg (-1) и arctg (-1)
arcctg (-1)=3п/4
arctg (-1)=7п/4
𝑥−3
≤ 1 => 1 ≤ 𝑥 ≤ 5
2
3п/4< 7п/4
arcctg (-1) < arctg (-1)
III.
Рефлексивно – оценочный этап.
Учитель. Какая была цель нашего урока?
Ученик. Изучить обратные тригонометрические функции, их свойства и
графики.
Учитель. Как вы думаете, мы достигли ее?
Ученик. Да.
Учитель. Как мы ее достигли?
Ученик. Рассмотрели функции, которые называются обратными, для
тригонометрических функций, рассмотрели их свойства и графики.
Домашнее задание:
№750(2),751(2),756(3)
Решение:
№750 Сравнить числа:
2
3
3
4
2) 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 − и 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 −
2
3
8
9
− >− ; −
>−
3
4
12
12
Функция 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 возрастающая,
2
3
3
4
значит 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 − > 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 −
№751 Сравнить числа:
4
1
2) 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (− ) и 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (− )
5
3
4
1
12
5
− <− ; −
<−
5
3
15
12
Т.к. функция 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 убывающая,
4
1
значит 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (− ) > 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (− )
5
3
№756 Найти область определения функции:
2) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
𝑥−3
2
−1 ≤
𝑥−3
≤ 1 => 1 ≤ 𝑥 ≤ 5
2
3) 𝑦 = arccos(2√𝑥 − 3)
−1 ≤ 2√𝑥 − 3 ≤ 1
1 ≤ √𝑥 ≤ 2
1≤𝑥≤4