a|≤ 1

Цель:
Повторение, обобщение и
систематизация знаний по теме.
Результат учения =
Способности • Старательность
Великий физик
XX века
Мне приходилось
делить время между
политикой и уравнениями.
Однако уравнения, по-моему,
гораздо важнее. Политика
существует только для
данного момента, а
уравнения будут
существовать вечно.
А. Эйнштейн
Что мы узнали?

Новые математические операции:
arcsina , arccosa , arctga , arcctga .

Формулы для решения простейших
тригонометрических уравнений:
cosx = a, sinx = a, tgx = a ctgx = a .

Методы решения тригонометрических
уравнений.
Задачи урока:

Повторить формулы и основные методы
решения тригонометрических уравнений.

Проверить степень усвоения материала.
aрккосинус а,
cos t  a,

0  t   .
arccos a = t
3
4
2
3

2
y

3

4
5
6
Π
-1
|a|≤ 1

6
0

3
2 1

2
2
2
0
1
2
2
2
3
2
x
1
arccos (-a ) = Π – arccos a
арксинус а , |a| ≤ 1
arcsin a =
t
у

2
1
3
2
2
2
1
2

3
sin t  a,

 


t

2
 2

4

6
х
0
0
1

2
2

2
3

2
-1







6

4
3
2
arcsin (-a) = - arcsin a
aрктангенс а
tgx  a,

arctg a = x   

 2  x  2
tg
arctg

3
3

4

6
1
3
3
0


6
0
3

3
arctg (-a) = - arctg a


4


3
-1  3
арккотангенс а
ctgx  a,
arcctg a = x  
0  x  

3
ctg
arcctg
3
3

4
1

6
3
0
0


6

 3
arcctg (-a) = Π – arcctg a

4
-1


3
3

3
В
Ы
Ч
И
С
Л
И
Т
Е
1 вариант
2 вариант
1
arccos
3
2
1
arcsin
2
arccos(
3
)
2
2
arcsin( 
arccos
2
2
2
)
2
1
2
3
arctg1
3
4
arctg(-1)
4
1
arccos( )
2
5
arcsin
5
arctg 3
6
1
arcsin(  )
2
6
arctg ( 3)
7
arccos1
7
arcsin1
8
arccos(-1)
8
arcsin(-1)
9
arccos0
9
arcsin0
10
arccos3
10
arcsin2
1
2
Оценка:
-
5 - 10пр.
4 - 8-9пр.
3 - 6-7пр.
2 - 0-5пр.
Проверь себя!
1
1в
2в
2
3
4
5
6
7
8

6
5
6

4

4

6


6
0
Π

4

4
 2
3 3




3
3
3

-
2
9

2
0
10
sin x = a,
|a| ≤ 1
x = (-1)п arcsin a + Π п , n Є Z
у
х
sin x = 0
x=Πn,nЄZ
sin x = 1
x = Π /2 +2 Π n , n Є Z
sin x = -1 x = -Π /2 + 2Π n , n Є Z
cos x = a ,
|a| ≤1
x = ± arccos a + 2 Πn , n Є Z
cos x =0
x = Π/2 + Π n , n Є Z
cos x = 1
x = 2Π n , n Є Z
cos x = -1 x = Π + 2Π n , n Є Z
у
х
tg x = a
x = arctg a + Π n , n Є Z
ctg x = a
x = arcctg a + Π n , n Є Z
Методы решения уравнений
Метод решения хорош,
если с самого начала мы
можем предвидеть – и в
последствии подтвердить
это, - что следуя этому
методу, мы достигнем
цели.
Г. Лейбниц
Методы решения уравнений
Разложение на множители
Введение новой переменной
Деление обеих частей уравнения на одно и то же
выражение, не равное нулю
Однородные
тригонометрические уравнения
a sin x + b cos x = 0, a ≠ 0, b ≠ 0.
a sin 2 x + b sin x cos x + k cos 2 x = 0,
a ≠ 0, b ≠ 0 k ≠ 0.
Примеры:
sin x + cos x = 0
sin 2 x – 3 sin x cos x – 4 cos 2 x = 0
5sin²x – 14sinx cosx – 3cos²x = 2
1 = cos²x + sin²x
2 = 2 · 1 = 2( cos²x + sin²x )
5sin²x – 14sinx cosx – 3cos²x = 2( cos²x + sin²x )
5sin²x – 14sinx cosx – 3cos²x – 2cos²x – 2sin²x = 0
3sin²x – 5cos²x – 14sinx·cosx = 0 |:cos²x=0
3tg²x- 5 – 14tgx = 0
Введём новую переменную y=tgx.
3y² - 14y – 5 = 0
D=196+60=256
y1=5, y2=-1/3.
tgx=5
tgx=-1/3
x=arctg5+Πn,n ЄZ,
x=-arctg1/3+Πn, n ЄZ.
Задачи урока:
Повторить формулы и основные методы
решения тригонометрических уравнений.
Проверить степень усвоения материала.
Всего доброго !