Вариант – 5
№1. Решите уравнение
𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 10𝑦 = 0
Решение:
Решим сначала характеристическое уравнение
𝜆2 + 2𝜆 + 10 = 0
Д = 4 – 40 = -36
𝜆1,2 =
−2 ± 6𝑖
= −1 ± 3𝑖
2
Т.к. характеристическое уравнение имеет два корня и корни имеют число
мнимый вид, то решение соответствующего диф. уравнения имеет вид:
Общее решение однородного уравнения
𝑦0 = 𝐶1 𝑒 −𝑥 cos 3𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥 sin 3𝑥 =
𝐶1 cos 3𝑥 + 𝐶2 sin 3𝑥
𝑒𝑥
Ответ:
𝑦=
𝐶1 cos 3𝑥 + 𝐶2 sin 3𝑥
𝑒𝑥
№2. Найти решение уравнения, удовлетворяющего указанным
начальным условиям.
𝑦 ′′ + 4𝑦 = 0,
𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 1
Решение:
Решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение
𝜆2 + 4 = 0
Корни этого уравнения:
𝜆1,2 = ±2𝑖
Т.к. характеристическое уравнение имеет два корня и корни имеют число
мнимый вид, то решение соответствующего диф. уравнения имеет вид:
𝑦0 = 𝐶1 𝑒 2𝑖𝑥 + 𝐶2 𝑒 −2𝑖𝑥 = 𝐶1 cos(2𝑥) + 𝐶2 sin(2𝑥)
Воспользовавшись начальными условиями 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 1
найдем 𝐶1 и𝐶2 .
𝑦 = 𝐶1 cos(2𝑥) + 𝐶2 sin(2𝑥)
{ ′
𝑦 = −2𝐶1 sin(2𝑥) + 2𝐶2 cos(2𝑥)
𝐶1 = 0
1
{
𝐶2 =
2
Получаем
𝑦=
sin(2𝑥)
2
Проверка:
𝑦(0) =
sin(2 ∗ 0)
=0
2
𝑦′ = cos(2𝑥)
𝑦 ′ (0) = cos(2 ∗ 0) = 1
Ответ: 𝑦 =
sin(2𝑥)
2
№3. Решить уравнение
а) 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 6𝑥𝑒 2𝑥
Решение:
Решим сначала характеристическое уравнение
𝜆2 − 2𝜆 + 1 = 0
Д = 4-4 = 0
𝜆=1
Т.к. характеристическое уравнение имеет один корень и корень не имеет
комплексный вид, то решение соответствующего диф. уравнения имеет вид:
Общее решение однородного уравнения
𝑦0 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑥 (𝐶1 + 𝐶2 𝑥)
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде
𝑦ч = (𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒 2𝑥
Неизвестные коэф. A и B находим методом неопределенных коэффициентов
𝑦′ = (2𝐴𝑥 + 2𝐵 + 𝐴)𝑒 2𝑥
𝑦′′ = (4𝐴𝑥 + 4𝐴 + 4𝐵)𝑒 2𝑥
𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 6𝑥𝑒 2𝑥
(4𝐴𝑥 + 4𝐴 + 4𝐵)𝑒 𝑥 − 2(2𝐴𝑥 + 2𝐵 + 𝐴)𝑒 2𝑥 + (𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒 𝑥 = 6𝑥𝑒 2𝑥
𝐴𝑥 + 2𝐴 + 𝐵 = 6𝑥
{
𝐴=6
B = −12
Таким образом, частное решение неоднородного уравнения:
𝑦ч = (6𝑥 − 12)𝑒 2𝑥
Общее решение неоднородного уравнения:
𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑥 + (6𝑥 − 12)𝑒 2𝑥
Ответ:
𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑥 + (6𝑥 − 12)𝑒 2𝑥
б) 𝑦 ′′ + 𝑦 = 4sin(𝑥)
Решение:
Решим сначала характеристическое уравнение
𝜆2 + 1 = 0
𝜆 = ±𝑖
Т.к. характеристическое уравнение имеет два корня и корни имеет
комплексный вид, то решение соответствующего диф. уравнения имеет вид:
Общее решение однородного уравнения
𝑦0 = 𝐶1 cos 𝑥 + 𝐶2 sin 𝑥
Исходя из правой части уравнения и корней хар. уравнения ищем частное
решение неоднородного уравнения в виде:
𝑦ч = 𝐴𝑥 cos 𝑥 + 𝐵𝑥 sin 𝑥
Подставим данное выражение в исходное уравнение получаем:
𝑦 ′ = −𝐴𝑥 sin 𝑥 + 𝐵𝑥 cos 𝑥 + 𝐴 cos 𝑥 + 𝐵 sin 𝑥
𝑦′′ = −𝐴𝑥 sin 𝑥 + 𝐵 cos 𝑥 − 𝐴𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐵 cos 𝑥
− 𝐴𝑥 cos 𝑥 − 𝐵𝑥 sin 𝑥 = −2𝐴 sin 𝑥 + 2𝐵 cos 𝑥
−2𝐴 sin 𝑥 + 2𝐵 cos 𝑥 = 4 sin 𝑥
Приравнивая коэф. при соответствующих членах получаем систему для
нахождения корней уравнения
𝐴 = −2
{
B=0
Таким образом, частное решение неоднородного уравнения: : 𝑦ч = −2𝑥 cos 𝑥
Общее решение исходного уравнения:
𝑦 = 𝐶1 cos 𝑥 + 𝐶2 sin 𝑥 − 2𝑥 cos 𝑥
Ответ:
𝑦 = 𝐶1 cos 𝑥 + 𝐶2 sin 𝑥 − 2𝑥 cos 𝑥
