слайды к теме 9

§ 14. Дифференциал функции
Теорема 14.1. (Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции)
Для того, чтобы ф. y = f( x ) была дифференцируемой в т. x0 ⇔ ∃ f ´( x0 ).
И тогда
D y = A . Dx + o( Dx ), где А = y' ( x0 )
o( Dx ) – б.м. отн. Dx.
Опр 7. Линейная относительно Dx часть приращения функции
называется дифференциалом f( x ) (главная часть приращения).
Обозначают:
d y = y' d x
(А
.
Dx )
2. 1
y
Геометрический смысл
dy
f(x+ Δx)
Т.о.
дифференциал
–
это
приращение ординаты касательной
к f( x ) при изменении абсциссы от
x до x + d x
f(x)
M
Δy
α
Δx
x
x+Δx
x
Свойства дифференциала функции
1. d C=0
2. d ( U + V ) = d U + d V
Следствие: если две функции отличаются на постоянную, то их
дифференциалы равны
d(U+С)=dU
3. d ( U.V ) = V d U + U d V
Следствие: постоянный множитель можно выносить за знак
дифференциала
d ( C.U ) = C d U
4.
 U  V dU  U dV
d  
V2
V 
5. (свойство инвариантности дифференциала)
Дифференциал сложной функции равен произведению производной данной
функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого
промежуточного аргумента.
Т.е. если
y = f( u ), u = j( x ), то d y = y’x d x = y’u d u
Применение дифференциала в приближенный вычислениях
Теорема 14.2.
Бесконечно малое приращение функции эквивалентно дифференциалу
этой функции при всех значениях независимой переменной, для которых
производная данной функции конечна и отлична от нуля, т.е.
Dy
1
Dx  0 d y
lim
или D y ~ d y
Производные высших порядков
Опр 8. Производной n - го порядка для функции y = f ( x ) называется
производная от производной (n
- 1) - го порядка
y ( n ) = ( y (n - 1))'
Свойства
= u (n) + v (n)
2. ( C.u ) ( n ) = C u ( n )
3. Пусть u (x) и v (x) имеют производные до n - го порядка включительно.
Тогда u (x) . v (x) тоже имеют производную n - го порядка, равную
1. ( u + v )
(n)
n
(u  v) ( n )   Cnk u ( n  k ) v ( k ) 
k 0
 u (n) v  Cn1u (n1) v  Cn2u (n2) v  ...  Cnn1u v (n1)  uv (n)
(формула Лейбница)
Производные высших порядков от неявных функций
Производные высших порядков от параметрически заданных функций
Теорема 14.3
Пусть
 x  x(t )
 y  y (t )

y x( n )
( y x( n1) )t

xt
Дифференциалы высших порядков
f ( n )( x ).(d x) n переменного d x
называется дифференциалом n - го порядка функции f ( x ) в точке x.
Опр 8.
Степенная функция
Обозначают
dny
d n f ( x)  f ( n ) ( x)dx n
или
d n f (x)
отсюда запись:
n
d
f ( x)
( n)
f ( x) 
dx n