Загрузил natavolf137

Реферат

реклама
Реферат
по математике
На тему: Вычисление дифференциала. Приложение
Дифференциала к приближенным вычисление
значений функций.
Подготовила:
Студентка гр. М-22
Дювенжи Татьяна
Содержание
1. История возникновения.
2. Правила вычисления дифференциала.
3. Приближение дифференциала к приближенным
вычислениям значения функции.
4. Литература.
5. https://ru.wikipedia.org/wiki
https://spravochnick.ru/matematika/proizvodnaya_i_differ
encial/pravila_vychisleniya_differencialov/
История возникновения.
Термин «дифференциал» введён Лейбницем.
Изначально dx применялось для обозначения
«бесконечно малой» — величины, которая меньше
всякой конечной величины и всё же не равна нулю.
Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве
разделов математики, за исключением нестандартного
анализа.
Правила вычисления дифференциала
Правила вычисления дифференциалов были открыты
Лейбницем и аналогичны правилам отыскания
производных.
Правило 1
Числовой множитель выносится за знак
дифференциала
Найти дифференциал функции.
d(18shx)
Решение.
Вынесем числовой множитель за знаки
дифференциала
d(18shx)=18d(shx)
Найдем производную функции и добавим знак
дифференциала.
d(18shx)=18chxdx
Правило 2
Дифференциал суммы или разности функций равен
сумме или разности их дифференциалов.
Найти дифференциал функции.
d(4х2+5)
Решение.
d(4x2 +5)=d(4x2 )+d(5)
По правилу дифференцирования, дифференциал
суммы равен сумме дифференциалов функций.
d(4x2 +5)=8xdx
Найдем производные данных функций и добавим к
ним знак дифференциала. Производная второй
функции так же, как и дифференциал, равна 0.
Правило 3
Дифференциал произведения
Найти дифференциал функции.
y=x2 ex
Решение.
По формуле произведения найдем дифференциал
dy=x2 d(ex)+eă d(x2)
dy=x2 ex xdx+ex 2xdx
Упростим
dy=x2 ex xdx+ex 2xdx=x2 ex (x+2)dx
Правило 4
Дифференциал частного
Найти дифференциал функции.
𝑑(
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥
5𝑥
)
Решение.
Вынесем числовой множитель за знаки
дифференциала
𝑑(
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥
5𝑥
1
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥
5
𝑥
) = 𝑑(
)
По формуле частного найдем дифференциал
𝑢
𝑣𝑑𝑢−𝑢𝑑𝑣
𝑣
𝑣2
𝑑 ( ) ==
𝑑(
𝑑(
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥
)=
)=
.
𝑥𝑑 (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 )−𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝐸
𝐸2
−𝑥𝑑𝑥
−𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝐸
√1−𝑥2
𝐸2
.
𝑑𝑥
=−
√1−𝑥2
+𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑑𝐸
Правило 5
Дифференциал числа (константы) равен 0
Выполнить дифференцирование функции.
d(4)
Решение.
𝐸
.
По правилу дифференцирования, дифференциал
числа равен 0.
d(4)=0
Дифференциалом функции
называется
выражение.
Дифференциал функции можно применять для
приближенного вычисления функции в окрестности
точки х0 зная значение функции и ее производной в
самой точке х0
Приближенная формула имеет вид:
Если представить геометрически, то мы вычисляем
значение функции ,как если бы она была касательной
в точке х0.
Имеется два момента, которые нужно учесть.
Первое. Мы не знаем, насколько функция может
измениться при переходе от точки x 0
к
точке изменение точки х 0. Это зависит от того
насколько меняется ее производная.
И второе, мы не можем оценить точность нашего
вычисления. Поэтому задачу о вычислении
приближенного значения функции ставят так: найти
значение функции в точке
точки х 0 используя дифференциал.
изменение
Иногда просят оценить погрешность или
относительную погрешность, зная точное значение в
точке
Приведем несколько примеров.
Сделаем следующий вывод: для достаточно близких
точек погрешность может быть вполне
удовлетворительной. Но самое главное, мы не можем
вычислить значение в близкой точке с нужной нам
точностью.
Это можно сделать, используя формулу Тейлора и
взяв в ней достаточное число членов.
Рассмотрим пример
Литература
https://spravochnick.ru/matematika/proizvodnaya_i_differ
encial/pravila_vychisleniya_differencialov/
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%8
4%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1
%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB_(%D0%BC%D0%B0
%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%
B8%D0%BA%D0%B0)
https://www.work5.ru/spravochnik/matematika/primeneni
e_differenciala_v_priblizhennyh_vychislen
Скачать