Даны вершины треугольника АВС

Даны вершины треугольника АВС. Составить уравнения медианы, высоты угла А, а также
уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его
сторонам.
А(1; -1), В(4; 0); С (-2; 3).
Решение
1) Точка Е лежит между точками С и В, следовательно, ее координаты равны полусумме
координат этих точек Е(1; 3/2). По точкам А и Е проводим медиану - прямую АЕ:
x  xA
y  yA
y  ( 1)
x 1
x 1 y 1
AE :

;

;

; x-1=0
xE  x A yE  y A
1  1 3 / 2  ( 1)
0
5/ 2
АЕ: x-1=0.
2) Найдем вектор СВ ={xВ-xС;yВ-yС}={ 4-(-2); 0 -3} = {6;-3}. Используем координаты точки
А(1; -1) и вектор СВ ={6;-3} как вектор нормали, находим уравнение высоты АД:
АД: 6(х-1)-3(y-(-1))=0; 6х-6-3y-3=0; 6x-3y-9=0
АД: 2х-y-3=0;
3) Найдем уравнения сторон:
x  xA
y  yA
AB :

;
xB  x A yB  y A
x  1 y  ( 1)
x 1 y 1

;

; x-1=3y+3
4  1 0  ( 1)
3
1
АВ: x-3y-4=0.
x  xA
y  yA
y  ( 1)
x 1
x 1 y 1
AС :

;

;

; 4x-4=-3y-3
xС  x A yС  y A
 2  1 3  ( 1)
3
4
АС: 4x+3y-1=0.
x  xB
y  yB
x4
y 0
x4 y
BС :

;

;
 ; 3x-12=-6y
x С  xB y С  yB
24 30
6
3
ВС: x+2y-4=0.
Уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его
сторонам, будут отличаться от полученных уравнений свободным членом, который
определим, подставляя координаты соответствующей вершины.
а) Параллельно АВ
x-3y+F=0, подставляя координаты С(-2; 3), получаем:
-2-3*3+F=0 или F=11,
Следовательно, искомое уравнение имеет вид: x-3y+11=0
б) Параллельно АС
4x+3y+F=0, подставляя координаты В( 4; 0), получаем:
4*4+3*0+F=0 или F=-16,
Следовательно, искомое уравнение имеет вид: 4x+3y-6=0
c) Параллельно ВС
x+2y+F=0, подставляя координаты А(1; -1), получаем:
1+2*(-1)+F=0 или F=1,
Следовательно, искомое уравнение имеет вид: x+2y+1=0