Метод Монте-Карло Лямин Андрей Владимирович Случайные величины Вероятность случайного события - это мера того, насколько велика возможность его возникновения. Вероятность изменяется от 0 (вероятность невозможного события) до 1 (вероятность достоверного события). Случайная величина является более обобщенным понятием случайного события. Случайные величины могут быть дискретными или непрерывными. Дискретная случайная величина Случайная величина X называется дискретной, если она может принимать дискретное множество значений x1, x2,…, x n. x1 x2 … xn p1 p2 … pn p1 + p2 + … + pn = 1. Характеристики дискретных величин • Математическое ожидание: n =M[X ] xi pi . i 1 • Дисперсия: =D[X ]=M[(X ) ]=M[X ] . 2 2 2 2 Свойства математического ожидания и дисперсии 1) M[ X c] M[ X ] c 2) M[cX ] c M[ X ] 3) M[ X Y ] M[ X ] M[Y ] 1) D[ X c] D[ X ] 2) D[cX ] c D[ X ] 2 Непрерывная случайная величина Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать любое значение из некоторого интервала (a, b). Непрерывная случайная величина характеризуется функцией распределения F(x) и плотностью вероятности f(x) Функция распределения Определение: F ( x) P( X x). Свойства: 1) 0 F ( x) 1 при x (; ); 2) F () 0, F () 1; 3) x1 x2 F ( x1 ) F ( x2 ) Плотность вероятности Определение: b P(a X b) f ( x)dx. a Свойства: 1) f ( x) 0, 2) f ( x)dx 1. Характеристики непрерывных величин • Математическое ожидание: b =M[X ] x f ( x)dx. a • Дисперсия: b 2 =M[(X )2 ]= ( x )2 f ( x)dx. a Законы распределения Равномерное распределение: f ( x) 1/(b a) (b a) / 2 (b a) /12 2 2 Законы распределения Экспоненциальное распределение: 1 f ( x) e 2 2 x Законы распределения Нормальное распределение: f ( x) 1 22 ( x )2 e 2 2 Независимые случайные величины Дискретные величины: p ( x, y ) P( X x, Y y ), p ( x, y ) p X ( x) pY ( y ), p X ( x) p( x, y ), pY ( y ) p( x, y ) yB xA Непрерывные величины: P( X A, Y B ) f ( x, y )dxdy, B A f ( x, y ) f X ( x) fY ( y ), f X ( x) f ( x, y )dy, fY ( y ) f ( x, y )dx Свойства независимых случайных величин 1) M[ XY ] M[ X ] M[Y ] 2) D[ X Y ] D[ X ] D[Y ] Корреляция и коэффициент корреляции Корреляция случайных величин Xi и Xj: kij M [( X i i )( X j j )] M [ X i X j ] i j . Коэффициент корреляции: ij kij i2 2j . Оценка корреляции случайных величин Xi+1 Xi+1 Xi Xi+1 Xi Xi Функции случайных величин Y ( X ), M[Y ] ( x) f ( x)dx 1 y b fX Y aX b fY ( y ) |a| a X U(0,1) Y U(b, a b) X N(0,1) Y N(b, a ) 2 Случайные процессы Оп. 1: Отображение F, сопоставляющее каждому элементу tT одну из случайных величин Xt, называется случайной функцией на T. Сама случайная величина называется Xt сечением случайной функции F в точке t. Оп. 2: Отображение f, сопоставляющее каждому элементу tT число xt, называется реализацией случайной функции F. Оп. 3: Случайная функция F, заданная на подмножестве T числовой прямой R, называется случайным процессом на T. Примеры случайных процессов • Число Xt -частиц, зарегистрированных счетчиком за время наблюдения t. • Колебания высоты Xt, регулируемого автопилотом летательного аппарата в момент времени t. • Изменение во времени t атмосферного давления Xt в данном географическом пункте. Стационарные случайные процессы i 2 i для i T 2 i ,i j j для i T для i, j T Центральная предельная теорема M [ X 1 ] M [ X 2 ] ... M [ X n ] , D[ X 1 ] D[ X 2 ] ... D[ X n ] , 2 Yn X i n 2 n i 1 1 n y 1 x2 / 2 P(Yn y ) e dx n 2 Следствие 1 ( x )2 3 e 2 2 dx 0.997 2 2 3 P ( 3 X 3) 0.997 1 n 3 P Xi 0.997 n n i 1 Метод Монте-Карло Задача : Вычислить параметр Решение : 1) X : M[ X ] 2) x1 , x2 ,..., xn 1 n 3) xi n i 1 Пример 1 N S N S 0 1