Дискретные случайные величины

Случайные величины
Пусть задано вероятностное пространство (Ω, S, P). Это тройка,
W – пространство элементарных событий
S – множество всех событий, с введенными операциями оьъединения (сложения) и
пересечения ( умножения) событий
P – функция определенная на множнстве событий S , для A 2 S, 0 % P A % 1 и при
этом для A, B 2 S
P A CB = P A CP B KP A$B
Функция P : S/ 0, 1 называется вероятностью, P A Kвероятность события A.
Случайной величиной называется числовая функция x : W / R , обладающая свойством:
для c x 2 R множество w 2 W x w ! x является событием, т.е.
w 2 W x w ! x 2 S.
Вероятность P w 2 W x w ! x называется функцией распределения случайной
величины.
Дискретные случайные величины
Дискретными случайными величинами называются случайные величины, множество значений
которых можно занумеровать натуральными числами ( конечно или счетно)
.
Пример 1. Опыт состоит в бросаении монеты. В этом случае
W = o, r , o Kорел, r Kрешка,
S = : , o , r , o, r - можество всех событий,
: Q невозможное событие,
o
– выпадает орел,
r – выпадает решка,
o, r Q выпадает орел или решка, достоверное событие.
Положим x(o)=1, x r = 1 . Случайная величина x принимает значения 0, 1.
З
(ряд распределения)
аблицей описывающей случайную величину - первая строка - значания которые
принимает случайная величина, вторая строка - вероятности, которые соответствуют
принимаемым значениям
i
0
1
P x=i
1
2
1
2
1
Отметим,
>P x = i
= 1 , где суммирование происходит по всем значением случайной
i
величины x
Пример 2. Бросается игральная кость. В этом случае W = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,
S = : , 1 , 2 , 3 , ... 1, 2, 3, 4, 5, 6
Q множество всех подмножеств множества W,
6
всего 2 = 64 подмножества.
Положим x – число выпавших очков при бросании игральной кости: Случайная величина
x принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6.
З
числа выпавших очков при бросании игральной кости:
k
1
2
3
4
5
6
P x=k
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Пример 3. Стреляем по мишени до первого попадания. ξ – количество израсходованных
патронов. Количество патронов неограничено. Если вероятность попадания в мишень равна
0 ! p ! 1 то случайная величина x принимает значения 1, 2, 3 ...
i
1
2
...
P x=i
p
1 Kp $p
...
n
1 Kp
...
n K1
$p
....
Пример 4. В урне 5 шаров помечены цыфрами 1, 2, 2, 3, 3. Достаем случайным образом
сразу два шара. Случайная величина ξ – сумма чисел на вынутых шарах.
Случайная величина x принимает значения 3, 4, 5, 6.
i
3
4
5
6
P x=i
2
10
3
10
4
10
1
10
2