Лекция 9. Глава 3. Системы случайных величин § 1. Понятие о

М.В.Дубатовская. Теория вероятностей и математическая статистика
Лекция 9.
Глава 3. Системы случайных величин
§ 1. Понятие о системе случайных величин. Законы распределения системы
случайных величин
Часто возникают ситуации. Когда каждому элементарному событию ставится в
соответствие не одна, а несколько СВ. Например, успеваемость студента характеризуется
системой n случайных величин ( X 1, X 2,..., X n ) - оценками по n предметам. Свойства
системы СВ не исчерпываются свойствами каждой СВ, но и зависимостями между ними.
Определение. Системой n случайных величин (или n -мерной СВ) называют
совокупность n СВ ( X 1, X 2,..., X n ) , определенных на одном и том же вероятностном
пространстве ( , F , P) ,
- пространство элементарных событий, F -алгебра
элементарных событий, P - вероятность – функция, заданная на F .
Характеристикой системы СВ является ее закон распределения. Законом
распределения системы СВ называется любое правило, позволяющее находить
вероятности произвольных событий, связанных с n -мерной СВ. Универсальным
способом задания закона распределения является функция распределения.
Функция распределения n -мерной СВ X ( X 1, X 2,..., X n ) - это вероятность
одновременного появления событий X 1
F ( x1 , x2 , ..., xn )
P( X 1
x1 , X 2
x1 , X 2
x2 , ..., X n
x2 , ..., X n
xn )
P(( X 1
xn :
x1 )( X 2
x2 ) ...( X n
xn ))
Для системы двух СВ функция распределения – вероятность попадания случайной точки
( X , Y ) в квадрант с вершиной в точке ( x, y ) : F ( x, y) P( X x, Y y)
Основные свойства функции распределения:
1) F ( x2 , y ) F ( x1 , y ) , если x2 x1 ,
F ( x, y2 ) F ( x, y1 ) , если y2 y1 .
2) F ( x, ) F ( , y) F ( , ) 0 ,
3) F ( , ) 1 ,
4) F ( x, ) FX ( x) P( X x) ,
F ()
, y FY ( y) P(Y y) ,
5) Функция распределения F ( x, y ) непрерывна слева по любому своему аргументу,
6) 0 F ( x, y) 1, ( x, y) R ,
Зная функцию распределения, можно вычислить вероятность попадания случайной
точки ( X ,Y ) в прямоугольник D со сторонами, параллельными осям координат:
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F ( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) .
Случайные величины X 1, X 2 ,..., X n называются независимыми, если события,
связанные с этими случайными величинами, независимы. Тогда функция распределения
системы независимых СВ:
F ( x1 , x2 , ..., xn )
FX1 ( x1 ) FX 2 ( x2 )... FX 2 ( xn )
Это свойство можно взять в качестве определения независимости СВ X 1, X 2 ,..., X n .