ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

ЧИСЛЕННОЕ
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Если функция f(x)
непрерывна на отрезке a,b 
то определенный интеграл
от этой функции
в пределах от a до b
существует и имеет вид
b
 f ( x )dx  F ( b )  F ( a )
a
Задача численного
интегрирования
Найти определенный интеграл
на отрезке a,b 
если подынтегральная функция
на отрезке задана таблично.
Формулы
приближенного интегрирования
называются
квадратурными формулами.
Метод прямоугольников
основан на непосредственном
определении интеграла:
b
n 1
a
i 0
 f (  i )xi
 f ( x )dx  nlim

n 1
где
 f (  i )xi - интегральная сумма, соответствующая
i 0
некоторому разбиению отрезка a,b 
и некоторому выбору точек
0 , 1 ,…,  n 1
на отрезках разбиения
Вычисление определенного
интеграла
b
I   f ( x )dx
a
геометрически сводится
к вычислению площади
криволинейной трапеции,
ограниченной функцией f(x),
осью абсцисс и прямыми x = a и x = b.
y
Учитывая,
что высота
Прямоугольника
ABba есть
значение
функции
в точке 
f(x)
A
a
 f  x dx  b  a  f  
a
C
D
0
b
+
– E
B

b
x
Для увеличения точности
численного интегрирования
можно отрезок a,b 
разбить на несколько частей
и для каждой из них вычислить
приближенное значение
площади криволинейной
трапеции, основанием которой
является отрезок
xi  xi1  xi (i = 0, 1, …,n – 1),
а высотой число
f  i  т.е. значение функции
в точке  i  xi , xi  1 
b
 f  x dx  f  0 x0  f  1 x1  f  2 x2    f  n  1 xn  1
a
Практически удобно делить
отрезок a,b 
на равные части, а точки
 i (i = 0, 1, …, n – 1) совмещать с левыми
 f  i   f  xi 
или с правыми  f  i   f  xi  1 
концами отрезков разбиения.
Если точку  i
совместить с левым концом
отрезка xi
то приближенное значение
интеграла может быть
представлено
формулой левых
прямоугольников:
n 1
ba
I л   f  x dx 
 y0  y1   y n  1   h  y i
n
i 0
a
b
где
ba
h
n
– шаг.
y
0 x0  a x1 x2
xn1b  xn x
.
Если же в качестве точки  i
выбрать правый конец отрезка xi
то приближенное значение
интеграла вычисляется
по формуле правых
прямоугольников:
n
ba
I П   f  x dx 
 y1  y2   yn   h yi
n
i 1
a
b
y
0 x0  a x1x2
xn1 b  xn
x
Метод трапеций
Заменим на отрезке a,b 
дугу AB графика
подынтегральной функции y = f(x)
стягивающей ее хордой и
вычислим площадь трапеции ABba.
Примем значение определенного
интеграла численно равным
площади этой трапеции:
f a   f b 
 f  x dx  b  a 
2
a
Это и есть формула трапеций
b
y
f(x)
B
A
0
a
b
x
Если отрезок a,b 
разделить на несколько
частей и применить
формулу трапеции
к каждому отрезку xi
Тогда
f  xi   f  xi  1 
xi
 f  x dx 
2
xi
x i 1
y
0
x0  a x1
xn1 b  xn
x
Для простоты вычислений
удобно разделить отрезок a,b 
на равные части,
в этом случае длина
каждого из отрезков
разбиения есть
ba
x i 
n
Численное значение
интеграла на отрезке xi
равно
b  a f  xi   f  xi  1 
 f  x dx  n 
2
xi
x i 1
А на всем отрезке
a,b
соответственно
b  a n  1 f  xi   f  xi  1  b  a n  1 yi  yi  1


 f  x dx  n  
2
n i 0
2
i 0
a
b
Эта формула называется
общей формулой трапеции.
Ее можно переписать в виде
b
h
 f  x dx  2  y0  2 y1  2 y 2    2 y n  1  y n 
a
ba
h
где
– шаг.
n
Метод парабол
(метод Симпсона)
y
h
0
x1
h
x1
x2
x
функцию y = f(x) на отрезке a,b 
заменяем квадратичной функцией,
принимающей в узлах
x0  a , x1 , x2  b
значения
y0  f  x0  , y1  f  x1  и y2  f  x2 
В качестве интерполяционного
многочлена воспользуемся
многочленом Ньютона
y0
2 y0
P2  x   y0 
 x  x0   2  x  x0  x  x1 
h
2h
Тогда
x2

x0
y0 4h 2 2 y0 8h 3 2 y0 4h 3
f  x dx   P2  x dx  2hy0 

 2 
 2 

h
2
2h
3
2h
2
x0
x2
h 2
h
 2hy0  2hy0   y0   y0  4 y1  y2 
3
3
Это соотношение
называется формулой Симпсона.
Для увеличения точности
вычислений отрезок a,b 
разбивают на n пар участков
x2i2 , x2i1 , x2i 
и заменяя подынтегральную
функцию интерполяционным
многочленом Ньютона
второй степени, получают
приближенное значение
интеграла на каждом участке
длины 2h:
x2
h
 f  x dx  3  y0  4 y1  y2 
x0
x4

x2
f  x dx 
h
 y2  4 y3  y4 
3
……………………………………
x2 n
h
f  x dx   y2 n2  4 y2 n1  y2 n 

3
x2 n  2
Тогда численное значение
определенного интеграла
на отрезке a,b 
будет равно сумме интегралов
b
h
 f  x dx  3  y0  y 2 n   4 y1 .    y 2 n  1   2 y 2    y 2 n  2 
a
Это соотношение называется
общей формулой Симпсона.
Ее можно записать также в виде
b

a
f  x dx 
ba
 y0  y 2 n   4 y1 .    y 2 n  1   2 y 2    y 2 n  2 
6n
где h  b  a
2n