часть3_3

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
I. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
Задача о пройденном пути
Найдите путь, который прошла движущаяся по прямой точка за отрезок времени
[t0; T], если известен закон изменения мгновенной скорости v = v(t).
??
Вспомните формулу, с помощью которой можно найти расстояние при
равномерном движении, если заданы скорость и время.
.
Поскольку в задаче речь идет о неравномерном движении, то для того, чтобы считать
скорость постоянной, какой прием следует использовать?
.
.
.
.
Пусть t0, t1, t2, …, tn = T –
,
.
Введем следующие обозначения:  tk =
, где k =
.
  max t k .
Тогда общее расстояние, пройденное точкой, можно вычислить как
.
.
Для этого следует зафиксировать точку на каждом из интервалов  tk, чтобы для этой
точки (
) определить
.
ук а з а т ь ф и з и ч е с к и й с м ыс л
.
ма т е м а т и ч е с к а я з а п и с ь в ыб о р а т о ч к и и з и н т е р ва л а вр е ме н и
Тогда расстояние можно вычислить следующим образом:
S
Краткая запись суммы:
S

()
k
13
Формула () тем точнее определяет расстояние, чем
.
.
Следовательно, для более точного результата следует
:
Задача о количестве вещества, вступившего в реакцию
Скорость химического превращения некоторого вещества, участвующего в
химической реакции, является функцией времени
. Найдите
количество m вступившего в реакцию вещества за промежуток времени от t0 до T.
??
Можно ли повторить рассуждения, которые использовались при решении
предыдущей задачи?
.
Количество вещества, вступившего в реакцию за отрезок времени [t0; T], можно
выразить следующей формулой:
Задача о площади криволинейной трапеции
Определите площадь фигуры, построенной в прямоугольной системе координат
и ограниченной графиком функции у = f(x), принимающей неотрицательные значения,
а также осью абсцисс и прямыми х = а, х = b.
Примечание. Такую фигуру называют криволинейной трапецией.
y
y=f( x )
0
a
b
x
??
Можно ли повторить рассуждения, которые использовались при решении
предыдущих задач?
. Введите необходимые обозначения на чертеже.
Площадь криволинейной трапеции можно выразить следующей формулой:
14
II. Понятие определенного интеграла.
Определение. Пусть дана функция
, которая определена на отрезке
. Если существует предел
, не зависящий от
способа разбиения отрезка
и выбора точек
, то такой
предел называется определенным интегралом функции
.
Обозначение:
Основные понятия: у = f(x) –
;
аиb–
;
а–
;
b–
;
f(
k
)  xk –
.
Теорема (достаточное условие существования определенного интеграла).
Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке
, то она
.
.
Геометрический смысл определенного интеграла:
непрерывна и
на отрезке
Если функция
, то
у = f(x)
 f ( x) dx
–
.
.
.
.
.
15
III. Свойства определенного интеграла.
a
1.
 f ( x) dx 
.
a
.
г е о м е т р и ч е с к и й с м ыс л
b
2.  с  f ( x) dx 
.
a
.
с ло в е с н а я ф о р м ул и р о в к а
b
3.  ( f1 ( x)  f 2 ( x)  f 3 ( x) ) dx 
a
.
.
с ло в е с н а я ф о р м ул и р о в к а
b
4.
a
 f ( x) dx
 f ( x) dx
a
b
.
.
с ло в е с н а я ф о р м ул и р о в к а
b
5.

c
f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx
a
, где
с
a
y
.
.
y=f( x )
.
.
г е о м е т р и ч е с к и й с м ыс л
0
a
b
x
IV. Взаимосвязь между определенным и
неопределенным интегралами.
??
Чем отличаются определенный и неопределенный интегралы, если они
рассматриваются от одной функции f(x)? Что является результатом интегрирования?
b
 f ( x) dx –
.
a
 f ( x) dx
–
.
16
Взаимосвязь между определенным
устанавливает формула Ньютона – Лейбница:
и
неопределенным
b
 f ( x) dx 
,
a
где F(x) –
.
b
Другая форма записи:
 f ( x) dx 
a
Примеры:
3
а)  2 x dx 
0
3
 2 x dx 
б)
3

2
 sin x dx 
в)
0

2
 sin x dx 
г)

2
2
д)
x
2
dx 
2
dx 
0
2
x
е)
2

2
 cos x dx 
ж)
0

з)
2
 cos x dx 

2
17
интегралами
Задание 1. С помощью схематичного построения графиков подынтегральных
функций и геометрического смысла определенного интеграла объясните полученные
результаты в данных примерах.
а-б)
6
в-г)
4
1
2
-1
-3
1
2
3
-2
-4
-6
д-е)
ж-з)
6
1
4
2
-1
-2
??
-1
1
2
Что общего между функциями у = 2х и у = sin x?
.
Что общего между функциями у = х2 и у = cos x?
.
Задание 2. Сформулируйте свойства определенного интеграла для четных и
нечетных функций.
1. Если функция у = f(х) –
, то
a
 f ( x) dx 
a
2. Если функция у = f(х) –
, то
a
 f ( x) dx 
a
18
V. Теорема о среднем и ее геометрический смысл.
В задаче о площади криволинейной трапеции (п. I), где использовались
приближенные вычисления, площадь фигуры заменялась на сумму площадей
.
. Для непрерывных на отрезке функций площадь
соответствующей криволинейной трапеции можно заменить на площадь одного
прямоугольника.
y
y=f( x )
0
a
x
b
Теорема. Если функция у = f(х)
,
то найдется такая точка
, что:
 f ( x) dx 
Геометрический смысл теоремы о среднем: площадь криволинейной трапеции,
определяемой с помощью графика функции у = f(х) при
х
, равна
.
.
«Недостаток» теоремы о среднем: теорема утверждает, что существует точка
х = с, где
х
, с помощью которой можно определить равновеликий фигуре
прямоугольник, но
.
.
VI. Замена переменной в определенном интеграле.
Пусть переменная х является функцией от некоторой переменной t:
.
b
Рассмотрим пределы интегрирования определенного интеграла
 f ( x) dx :
a
х = а при t = , т.е.
при этом функция от t
;
х = b при t = , т.е.
;
должна быть
отрезке и
на интервале
19
на
.
F(x) –
, т.е.
.

Тогда F ( x)  F ( (t ) 
.

 f ( (t ))  (t ) dt 

Следовательно, формула замены переменной в определенном интеграле имеет вид:
b
 f ( x) dx 
,
a
где
Пример:
1
Вычислите
 x(2  x
2 5
) dx .
Замена переменной:
.
0
Преобразования дифференциала:
.
Определение пределов интегрирования:
.
.
1
Тогда
 x(2  x
2 5
) dx =
0
VII. Интегрирование по частям для определенного интеграла.
Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет тот же
вид, что и для неопределенного интеграла:
Пример:

 x  cos x dx 
0
20
VIII. Геометрические приложения определенного интеграла.
Вычисление площадей плоских фигур
Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = f(х), осью
абсцисс и вертикальными прямыми х = а и х = b.
y
y=f( x )
0
a
x
b
Пример.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = sin х, осью
абсцисс и вертикальными прямыми х = 0 и х = 2.
1
-1
Вычисление длины дуги
Пусть дуга АВ – это часть графика непрерывной функции, заданной уравнением
у = f(х), где А
,В
координаты точки
.
ко о р д и н а т ы т о ч ки
l – длина дуги АВ. Формула для вычисления длины дуги имеет следующий вид:
Пример. Найдите длину дуги линии, определяемой уравнением:
где
0  х  1.
Решение.
у 
.
21
у


1 х
е  ех ,
2
Тогда
l=
Вычисление объема тела вращения
Пусть график функции у = f(х), где a  x  b, вращается вокруг оси Ох.
y
Тогда объем полученного
вычисляется по формуле:
y=f( x )
a
0
тела
вращения
x
b
Пример. Вычислите объем шара радиуса R, полученного вращением кривой
у  R 2  x 2 вокруг оси Ох.
y
Решение.
R
-R
0
R
x
-R
22