Интервальные оценки параметров распределения

{ интервальные оценки параметров - некоторые распределения СВ связанные с нормальным распределением доверительный интервал для выборочного среднего при известной дисперсии - доверительный интервал для
дисперсии при известном математическом ожидании - доверительный интервал для дисперсии при неизвестном
среднем - доверительный интервал для среднего при неизвестной дисперсии }
Статистика ã i , используемая в приближенном равенстве ã i = a i называется
точечной оценкой неизвестного параметра по выборке.
Пример:
~  1
m
x
n
n
 xi
i 1
~
Dx 
n
n 1
1

n
n
2
~ 2 
x

m

x
i
i 1

f(x)
x
~
mx m
x
Точечные оценки ã i не совпадают (за исключение редких случаев) с
истинным значением неизвестных параметров a i .
Всегда имеется некоторая погрешность при замене неизвестного параметра
его оценкой, т.е. | ã (x1, x2 , …, xn ) – a| < e :
a
e
ã
x
l
P (| a  a |  e )  P ( e  a  a  e )  P ( a  e  a  a  e )
~
~
Если эта вероятность близка к единице P ( a  e  a  a  e )  g
то диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене ã
на a равен  e .
Чем меньше будет e , тем точнее оценка ã .
Вероятность того, что интервал ( ã - e; ã + e ) со случайными границами
накроет неизвестный параметр a , равна 1 - 2e = g .
Эта вероятность называется доверительной вероятностью.
Доверительным интервалом уровня g для параметра ã выборки
X = ( x1, x2, …, xn ) из генеральной совокупности F ( x, a ) называется
интервал ( ã (1), ã (2)) со случайными границами, такой что:
Pa ( a~ ( 1 ) ( x )  a  a~ ( 2 ) ( x ))  g
Число g называется доверительным уровнем интервала. Оно характеризует
надежность этого интервала. Увеличивая длину интервала, мы увеличиваем
надежность. Но при этом уменьшается точность оценки.
L  2 e  M ( a~ ( 2 )  a~ ( 1 ) )
Найти оптимальное решение по всем объектам как правило невозможно.
Один из способов: задаться надежностью (обычно это число близкое единице:
0.9; 0.95; 0.99) и затем попытаться найти из всех интервалов уровня g такой ,
у которого длина L будет наименьшей, то есть оценка будет наиболее точной.
Пусть x1 , x2 , …, xn есть независимые СВ, имеющие стандартное нормальное
распределение. Распределение суммы квадратов этих величин называется
распределением Хи-квадрат с n степенями свободы.
n2  x12  x22  ...  xn2
f(x)
0.5 -
n=1
n
x
1 

1
x2 e 2, x  0
n

f( x )   22 ( n )
2

0
, x  0
( m) 
n>2
n=2
Плотность распределения
Charles Pearson
(1857-1936)
t m  1
e
 t dt
0
x
Мах в точке x = n - 2

Гамма функция Эйлера
F 2 ( s ) 
n
s
 p
0
2
n
Плотность распределения Пирсона
( x ) dx
n
x
1 

1
x2 e 2, x  0
n

f( x )   22 ( n )
2

0
, x 0
p 2 ( x )
n

 ( m )   e tt m 1 dt
Гамма функция Эйлера
0
F 2 ( h( n ) )  

h( n ) ( 0    1 )
n
x
h( s )
Пусть x1, x2 , …, xn , x0 есть независимые СВ, со
стандартным нормальным распределением.
Распределением Стьюдента с n степенями
свободы называют распределение
tn 
x0
x12  x22  ....  xn2
ft ( x ) 
( m) 
n
0.4 -
Плотность распределения
n 1 

n 1
2
 (1  x ) 2
n
n 
n   
2 

 2

e
t m 1 dt
t
0
f(x)
n  
Сходится к СНЗ
n=1
x
-1
1
William Gosset
(1876 – 1937)
Пусть даны случайные величиныx1 , x2 , …, xn , xn+1 , xn+2 , …, xn+m - независимые СВ, имеющие
стандартное нормальное распределение и величины, имеющие распределение хи-квадрат с
n и m степенями свободы соответственно. Распределением Фишера со степенями свободы
( n, m ) – называется распределение Fn , m
Fn ,m
Плотность распределения
m

n
2
n
2
m
n m
n
1
 n m
2
x
2


f( x) 
n2m 2
n m , x  0
n  m 
2

    
( m  nx )
2   2 
 
f(x)
1
Ronald Fisher
(1890 – 1962)
x
x = (n-2)m/n(m+2)
Предположим, что параметр m неизвестен, а дисперсия s 2 известна.
x1  x2  ..  x n  nm
FG (t) = F(t)
G ( x1 , x2 ,.., x n , m ) 
s n

t2

1
1
2

 F ( ue )  e
ue 
e dt  e  F (  )  F ( ue )  e

2
2  ue
D
eg
~
s

~
P (| m  m |  e )  2 F (
) 1
m
n
s m~
eg
1 g
~  e ;m
~ e )
e

s
arg
F
(
)
2F (
) 1  g
~
Ig  ( m
g
m
g
g
2
s m~
1 g
~ t s ;m
~ t s )
Используется таблица tg  arg F (
) Ig  ( m
~
~
g m
g m
2
~  s t m m
~  s t
m
g
g
n
n
n
G(x1 ,x2 ,..,x n ,s ) 
2
2
(x

m)
 i
i 1
s2

n
(
i 1
xi  m
s
)2
Функция G(xнорм.) имеет хи-квадрат распределение с n – степенями свободы, не
зависящее от неизвестного параметра s2
Обозначая h (n)e- квантили этого распределения и фиксируя e1 + e2 = 1 - g
приходим к неравенству, выполняемому с вероятностью g
n
hε(n)

1
2
(x

m)
 i
i 1
s2
 h1(n)
 ε2
n
 (x
i 1
i
h
 m)
(n)
1  ε2
n
2
 s2 
 (x
i 1
i
 m) 2
hε(n)
1
Оба параметра неизвестны. m – мешающий параметр. Функция G (xнорм.) имеет
хи-квадрат распределение с (n-1) – степенями свободы, не зависящее от
неизвестного параметра s 2
G(x1 ,x2 ,...,x n ; m, s ) 
2
1
s2
n
 (x
i 1
i
~) 2
m
Обозначая h(n-1)e- квантили этого распределения и фиксируя e1 + e2 = 1 - g
приходим к неравенству, выполняемому с вероятностью g
n
 (xi  m~) 2
i 1
h
(n  1 )
1  ε2
n
 s2 
 (x
i 1
i
~) 2
m
hε(n1  1 )
(n  1 )s 2
(n  1 )s 2
2
s 
(n  1 )
h1 ε2
hε(n1 1 )
Выбирается функция G имеющая распределение Стьюдента с (n-1) – степенями
свободы.
G(x1 ,x2 ,...,x n ; m, s ) 
2
~  m)
n (m
1
n 1
n
~) 2
(x

m
 i

~  m)
n (m
s
i 1
Обозначая t (n)e- квантили этого распределения и фиксируя e1 + e2 = 1 - g
приходим к неравенству, выполняемому с вероятностью g
~  s t (n  1 )  m  m
~  s t (n  1 )
m
n ( 1  g)/ 2
n ( 1  g)/ 2
@
Найти доверительный интервал для среднего значения генеральной
совокупности при больших объемах выборки (n > 30)
n  100
По выборочным данным находим выборочные cреднее арифметическое для m и
стандартное отклонение S
Это точечные оценки
~ 
m
x
1
( 35  2  37  3  39  30  41  40  43  20  45  5 )  40 .76
100
~
100
1
s  Dx 
(
( 35 2  2  37 2  3  39 2  30  41 2  40  43 2  20  45 2  5 )  ( 40 .76 ) 2 )  2
99
100
@
Задаемся доверительной вероятностью : g = 0,95 .
Находим значение tj , соответствующее заданной доверительной
вероятности t0,05 = 1,96 .
s
s
~
~
mx  1.96
 m  mx  1.96
n
n
40.368  m  41.152
@
Для контроля качества в 40 пробах стали GS50 определялось содержание
углерода x (%С) и прочность на разрыв z (Н/мм ). Данные оформлены
в виде таблицы чисел:
X: 0.3, 0.33, 0.37, 0.36, 0.31, 0.29, 0.34, 0.39, 0.37, 0.38, 0.35, 0.32, 0.39, 0.3, 0.32,
0.32, 0.38, 0.37, 0.38, 0.33, 0.37, 0.33, 0.34, 0.33, 0.3, 0.34, 0.36, 0.33, 0.34, 0.36,
0.29, 0.3, 0.33, 0.32, 0.32, 0.38, 0.37, 0.34, 0.35, 0.36
X = X ( x1 , x2 , …, x40 ) – выборка объемом n = 40
Z: 589, 614, 612, 572, 548, 537, 574, 570, 540, 575, 535, 593, 582, 538, 566, 562, 601,
587, 587, 614, 602, 544, 545, 562, 576, 596, 605, 575, 570, 550, 572, 555, 555, 518,
539, 557, 558, 587, 580, 560
Z = Z (z1 , z2 , …, z40 ) – выборка объемом n = 40
@
Найти доверительные интервалы для mx и mz , теоретических
значений содержания углерода и прочности на разрыв стали GS50.
Напомним, что объем каждой из выборок : n = 40 .
Зафиксируем доверительную вероятность, близкую к единице : g = 0.95 .
По таблице распределения Стьюдента определим приближенно:
)
t0(.39
975  2.02
~  sx t ( 39 )  0 .3415  0 .289  2 .02  0 .3415  0 .0092
m
x
0 .975
6 .32
40
~  sz t ( 39 )  570 .05  24 .14  2 .02  570 .05  7 .71
m
z
0 .975
6 .32
40
0 .332  mx  0 .351
562 .2  mz  577 .8