Лекция № 6 Математические основы статистических методов анализа качества изделий

Курс «Управление качеством»
Лекция № 6
Математические основы статистических методов
анализа качества изделий
Распределение “Хи –квадрат”
Пусть Xi(i=1,n) – нормальные независимые случайные величины с а=0 и
n
 2   X i2
=1. Тогда
свободы.
i 1
- распределение “хи – квадрат”, с k=n степенями
F(x)
F(x)
Ек>0
Ek=0
Ek <0
Ek=0
a
x
a
x
Плотность этого распределения
0, x  0,

f ( x)  
k
x k

1
2
2
2

(
1
/
2
Г
(
k
/
2
))
e
x
, x  0.


Г ( x)   t x 1e t dt
0
где
- гамма-функция: Г(n+1)=n!
Распределение “хи-квадрат” определяется одним параметром – числом
степеней свободы к.
С увеличением числа степеней свободы к распределение приближается к
нормальному (k=n-1).
Распределение Стьюдента
Пусть z-h, p, b, (a=0,=1), а V-2 с к степенями свободы независимая от z.
T
z
V /k
Тогда
- распределение Стьюдента (В.Госсета) или t
распределение с к степенями свободы.
С возрастанием к, t распределение быстро стремится к нормальному.
–
1
Распределение Фишера – Скидекора
Пусть U и V независимые случайные величины, распределенные по закону
F
Х2 со степенями свободы соответственно к1 и к2. Тогда
распределением Фишера-Снедекора. Плотность распределения
U / k1
V / k 2 называют
0, x  0

f ( x)  
x ( k1  2) / 2
C0 (k  k x)( k1  k 2 ) / 2 , x  0
2
1

, где
 к  к2  к1 / 2 к 2 / 2
Г 1
к1 к2
2

C0  
Г (к1 / 2) Г (к2 / 2)
Распределение Вейбулла
Данный закон получен для объектов, которым присущи усталостные
явления. Например, вакуумные приборы электромеханические изделия,
шарикоподшипники и др.
Плотность распределения отказов описывают зависимостью,
f (t ) 

T0
e 1e  t

/ T0
,
где  - число отказов, на которые ведется расчет;
Т0 – среднее время между отказами.
Вероятность безотказной работы равна
p(t )  et
x
/ T0
.
Кроме выборочных средней, дисперсии и среднеквадратического
отклонения применяют и другие характеристики вариационнго ряда.
Модой М называют варианту, которая имеет наибольшую частоту.
Медианой ml называют варианту, которая делит вариационный ряд на две
части, равные по числу вариант.
Размахом варьирования R называют разность между наибольшей и
наименьшей вариантами R=Xmax-Xmin.
Средним абсолютным отклонением  называют среднее арифметическое
 m
 m
    ni / x j  xb /  /  ni
 i 1
 i 1
абсолютных отклонений
Коэффициент вариации V – это выраженное в процентах отношение
выборочного среднего квадратического отклонения к выборочной средней
2
V=(/Xb)*100%.
Предсказать значение случайной величины невозможно. Казалось бы, если
существует множество случайных величин, то предсказать поведение большого
числа случайных величин, тем более нельзя.
Законы больших чисел
Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний
вероятность p появления события постоянна, то как угодно близка к единице
вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по
абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний
достаточно велико, т.е.
m вер
 m

lim n   P |  p |    1, 
P
n
n


Теорема Чебышева. Если х1,х2,…,хn попарно независимые случайные
величины, а М(Хi) – их математические ожидания, а дисперсии их равномерно
ограничены (D(Xi)<C), то как бы мало ни было >0, вероятность неравенства
1 n
1 n
M ( xi )  
 xi  n 
n i 1
i 1
случайных
величин
будет как угодно близка к 1, если число
достаточно
велико,
т.е.
1 n

1 n

lim P  xi   M ( xi )     1.
n 
n i 1
 n i 1

На теореме Чебышева основан выборочный метод, используемый в
математической статистике.
Пусть х1, х2,…, хn – последовательность независимых случайных
величин, каждая из которых имеет конечные М(Х) и D(Х).
M ( X k )  ak , D( X k )  bk2
Введем обозначение
n
n
i 1
k 1
n
S n   X k , An   ak , B   bk2
2
n
k 1
Обозначим
 S  An

Fn ( x)  P n
 x 
 Bn

К последовательности X1, X2,…, Xn применима центральная предельная
теорема, если при любом х функция распределения нормированной суммы при
n стремится к нормальной функции распределения, т.е.
 S  An

lim P  n
 x 
n 
 Bn

1
2
x
Z
e
2
/2
dz

Если выполнены следующие условия:
все Х1, Х2,…,Хn – одинаково распределены;
3
D(X1), D(X2),…,D(X3) – конечны и отличны от нуля;
Для >0,
n
Cn
lim Ln  lim 2   0, Cn  M  X k  ak
n 
Bn
k 1

2 
(условие Ляпунова), то к последовательности Х1, Х2,…,Хn применима
центральная предельная теорема.
Сущность условия Ляпунова состоит в требовании, чтобы каждое
слагаемое суммы (n-Аn)/Bn оказывало на сумму ничтожное влияние.
4