ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ. РАСШИРЕНИЕ ТЕОРЕМЫ О НАЛОЖЕНИИ СВЯЗЕЙ. Ковригина И.В. Горюнов М. А. Забайкальский институт железнодорожного транспорта, г. Чита, Россия Kovrigina I.V., Gorunov M.A. Trans-Baikal Railway Institute, Chita, Russia CONSTRUCTION OF MATHEMATICAL MODELS OF SYSTEMS WITH MULTIPLE DEGREES OF FREEDOM. EXTENSION THEOREM IMPOSING BONDS. Предлагаемые приемы построения математических моделей механических систем с сочленениями можно рассматривать как форму доказательства возможности получения результатов на сопоставлении двух подходов. Первый, заключается в том, чтобы получить математическую модель в специально выбранной системе обобщенных координат. Такая система содержит координаты относительного движения, которое в случае формирования сочленения удаляется, а соответствующая координата относительного движения принимается, равной нулю. В формализованном виде математическая модель системы с сочленениями может быть получена из матрицы коэффициентов дифференциальных уравнений исходной системы путем исключения соответствующих строки и столбца, для которых координата принимается равной нулю; исключается при этом и соответствующая обобщенная сила. Перегруппировка обобщенных сил на соответствие обобщенным координатам происходит в процессе вывода уравнений, и как отдельная операция, может не вводиться. Второй подход заключается в том, что расчетная (или исходная) схема сразу приводится к конечному виду, содержащему все необходимые сочленения с последующим выводом дифференциальных уравнений движений. На приведенных в диссертации примерах, относящихся к задачам динамического синтеза виброзащитных систем, показано, что оба подхода дают совпадающие результаты. Истоки подходов связаны с понятиями наложения связей, которые нашли отражение в ряде работ, в частности в [1,2,3,4], в которых одновременно рассматривалось влияние процессов наложения или устранения связей, в том числе на частоты собственных колебаний системы. Сочленения, которые реализуются через соединения между собой различных звеньев (в частности, звеньев, в виде твердых тел, в том числе и неподвижное звено), можно рассматривать как наложение связей. Так, ' например, связь y2 − y1 →0, (где в свою очередь, y2 = y2 + z2 , а y1 = y1' + z1 ), можно записать как линейное однородное уравнение относительно координат системы. Если y2 − y1 = 0 и задача заключается в выполнение этого условия при движении системы, то уравнение может принять вид f ( y1 , y2 ) = 0 . (1) Такая задача рассматривается при движении цепной механической цепи при увеличении жесткости k 2 до ∞ между элементами с массами m1 и m2 . В общем случае можно полагать, что связь задана уравнением f (q1 , q2 ,....qn ) = 0 , (2) где q1 ,q 2 ...q n – обобщенные координаты системы. Предполагается, что налагаемая связь не должна приводить к смещению положения равновесия, в котором по предположению все qi = 0 , то есть f (0,0...0) = 0 , (3) что характерно для многих случаев виброзащитной практики [1]. Разложим (3) по степеням координат y i начиная с членов первого порядка. Если ограничиться только этими членами разложения, то уравнение связи можно представить в виде A11q1 + A12q2 + ...A1n qn = 0 , где A11 , A12 ,....A1n – постоянные числа. Произведем в (4) подстановку до наложения связей, тогда получим (4) r1 = A11q1 + A12 q2 + ... + A1n qn , r2 = q2 , .................. rn = qn . (5) От такой подстановки собственные частоты не изменятся (по существу одна система обобщенных координат заменяется на другую). Кинетическая и потенциальная энергии в новых координатах ri (i = 1, n) , примут вид (6) Отметим, что две квадратичные формы, из которых одна определенно положительна, одним линейным преобразованием могут быть приведены к каноническому виду. В частности, построив, соответствующим образом, линейные преобразования, можно получить q1 = b11ξ1 + b12ξ2 + ... + b1nξn , q2 = b21ξ2 + b22ξ2 + ... + b2 nξn , ............................................. qn = bn1ξ1 + bn 2ξ2 + ... + bnnξn . (7) В конечном итоге, для системы, в целом, можно записать где одно выражение T= 1 n ∑ aik q&i q& k , 2 i ,k =1 П= 1 n ∑ a ik qi qk . 2 i ,k =1 – кинетическая (8) энергия – определенно положительна, и имеет вид 1 T = (ξ 21 +ξ22 + ... + ξn2 ) , 2 (9) а второе – потенциальная энергия, которая имеет вид , Координаты ξ i , в которых кинетическая и потенциальные энергии выражаются суммами квадратов, называются нормальными координатами, что позволяет придавать уравнениям движения простые формы. Малые колебания системы с n степенями свободы около положения устойчивого равновесия, определяемые изменениями обобщенных координат, имеют вид: q1 = λ11 sin( p1t + ε1 ) + λ12 sin( p2 t + ε 2 ) + ... + λ1n sin( pn t + ε n ), . . , (10) . qn = λn1 sin( p1t + ε1 ) + λn 2 sin( p2 t + ε 2 ) + ...λnn sin( p n t + ε n ) и представляют собой линейные наложения n главных гармонических колебаний. Введем выражение, которое отражает ряд подстановок, в результате которых частотное уравнение системы примет вид a '11 p2 − c '11 a '12 p2 − c '12 ... a '1n p2 − c '1n a '21 p2 − c '21 a '22 p2 − c '22 ... a '2n p2 − c '2n ... ... ... ... = 0. (11) a 'n1 p2 − c 'n1 a 'n 2 p2 − c ' n2 ... a 'nn p2 − c 'nn Предположим теперь, что на систему накладывается связь (4), то есть формируется сочленение через процедуру устремления к нулю некоторой выбранной координаты относительного движения. В новых координатах ri такая связь имеет уравнение r 1= 0 , (12) При этом, n-1 корней p' k системы с сочленением располагаются между корнями pk частотного уравнения исходной системы. p1 ≤ p'1 ≤ p2 ≤ p ' 2 ≤ .... ≤ p' n −1 ≤ pn . (13) Таким образом, если на систему с n степенями свободы наложена линейная связь, то частоты полученной системы с n-1 степенями свободы располагаются наложение между связи не частотами первоначальной нарушает условий системы. движения, в То смысле есть их осуществимости и устойчивости, но приводит к сдвигам в спектре частот собственных колебаний. Теорема может быть также расширена на случай нескольких сочленений (или связей). Если на систему с n степенями свободы наложены n линейных связей. As ( q) = As1 q1 + As 2 q2 + ... + Asn qn = 0 , (14) ( s = 1, h ) то частоты системы с сочленениями p1( h ) < p 2( h ) < ... < p n − h , удовлетворяют неравенствам p k ≤ p h( h ) ≤ p k + h ( k = 1, n − h ) , (15) где pk - частота заданной системы с n степенями свободы. Связи (14) можно всегда представить уравнениями A11 q1 + A12 q2 + ... A1n qn = 0, . B22 q2 + ... + B2n qn = 0, (16) . H hh qn + ... + H hn qn . и налагать их на заданную систему не сразу все, а последовательно – одна за другой. Переход к координатам, связанным с qi соотношением (5), не изменяет уравнений естественных связей [1]. Положив r1 = 0 , получим систему с n-1 степенями свободы, собственные частоты pk(1) , которые удовлетворяют неравенству p k ≤ p h(1) ≤ p k +1 ( k = 1, n − h ) , (17) что можно преобразовать относительно координат s i , связанных с r1 (i = 2,3 ...n ) уравнениями S 2 = B22 r2 + B23 r3 + ...B2 n rn , S 3 = r3 , S n = rn . (18) Полагая S 2 = 0 , получим систему с n-2 степенями свободы, частоты которой p k( 2 ) будут удовлетворять неравенствам p k(1) ≤ p k( 2 ) ≤ p k +1 ( k = 1, n − 2) или на основании неравенства (3.91): p k ≤ p k( 2 ) ≤ p k + 2 ( k = 1, n − 2) . (19) Продолжая процедуры и вводя последовательно сочленения (связи), можно получить неравенства (16), которые будут иметь место для частот системы после наложения на нее всех k связей (14). В заключение можно отметить, что предлагаемые приемы составления математических моделей позволяют детализировать представления о технологии формирования различных классов математических моделей и возможностях операции инверсии моделей, восстановления исходных моделей при «разборке» сочленения. Библиографический список. 1. Бабаков И.М. Теория колебаний / И.М. Бабаков. – М.: Наука, 1968. – 549 с. 2. Елисеев С.В Возможности сочленения твердых тел в цепных механических системах / С.В. Елисеев, Ю.В. Ермошенко, И.В.Фомина // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование – Иркутск: ИрГУПС. – №3(27). – 2010. – С. 146 – 152. 3. Лаврусь В.В. Совершенствование пневматических рычажно- шарнирных систем железнодорожного транспорта: автореф. дис. … канд. техн. наук / В. В. Лаврусь. – Орел, 2006. – 20 с. 4. Лойцянский Л.Г. Курс теоретической механики: в 2 т. Т 2 Динамика / Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье. – М.: Наука, 1980. – 640 с.