Домашнее задание по теме

Домашнее задание по теме: «Двойной интеграл в декартовой системе координат»
1) Найти
(54 x
2
y 2  150 x 4 y 4 )dxdy , где ( ) – область, ограниченная линиями
( )
x  1, y  x 3 , y   x .
Ответ: 11.
2) Найти площадь области ( ) , ограниченной линиями x  y  12 ,
2
2
6x  y 2
Ответ: 3  2 .
( x  0 ).
3) Найти массу области ( ) , ограниченной линиями
x  0,25 , y  0 , y 2  16 x ( y  0 ),
если плотность распределения массы
4) Найти
 ( x , y )  16 x  4,5 y 2 .
Ответ: 2 .
2  x dxdy ,
где ( ) – трапеция с вершинами A (1; 4 ) , B (5; 4 ) ,
( )
Ответ: 61 .
C ( 4; 1) , D(1; 1) .
5) 3468
Оценить интеграл
( x  y  1)dxdy ,
где ( ) – прямоугольник 0  x  1 ,
( )
0 y 2.
( x  y  1)dxdy  8 .
Ответ: 2 
( )
6) 3466
Оценить интеграл
( x  y  10 )dxdy , где ( ) – круг x
2
 y2  4 .
( )
Ответ: 4 (10  2 2 ) 
( x  y  10 )dxdy  4 (10  2
( )
7) Изменить порядок интегрирования в выражении
 3
а)
0
2 4x 2
0
 3
 dx  f ( x , y )dy   dx  f ( x , y )dy
2
б)
4x 2
y
2
e
1
e
0
2
4
e
2
ey
 dy  f ( x , y )dx   dy  f ( x , y )dx
Ответ: а)
2
1
 4 y y2
e2
2 ln x
0
 4 y2
e
ln x
 dy  f ( x , y )dx ; б)  dx  f ( x , y )dy .
2 ).
Домашнее задание по теме: «Двойной интеграл в полярных и других криволинейных координатах»
1) Найти
площадь области
( ) , ограниченной линиями
y 2  8y  x 2  0 , x  0 , y  x
y2  4y  x 2  0 ,
3.
Ответ: 4  3 3 .
2) Найти массу области ( ) , заданной неравенствами x  4 x  y  0 , y  0,5 x ,
y  0,5 x , если плотность распределения массы  ( x , y )  x .
2
Ответ: 16 arctg 0,5 
2
736
.
75
3) Найти статический момент относительно оси Oy области ( ) , заданной неравен-
x2
ствами 1 
 y 2  3 , x  0 , y  x 4 , если плотность распределения массы
16
 ( x , y )  y 5 .
Ответ: 4 .
 x 1


4) Найти
3
( ) 

x  1, y  1,
Ответ: 2 .
5) Найти
3
y 1 
 dxdy , где ( ) – область, ограниченная линиями
7 
x 1

3
y 1
 1.
7
 xdxdy , где ( ) – область, ограниченная астроидой
( )
( a  0) .
Ответ: 0 .
x 2 3  y 2 3  a2 3
Домашнее задание по теме: «Тройной интеграл в декартовой системе координат»
1) Найти статический момент относительно плоскости xOz тела (V ) , ограниченного
поверхностями x  0 , y  1 , x  y , z  0 , z  1, если плотность распределения
массы  ( x , y, z )  2 y  e
Ответ: e  2 .
xy
.
2) Найти массу тела (V ) , ограниченного поверхностями z  0 , z  xy , y  0 , x  1,
y  10x , если плотность распределения массы  ( x , y, z )  x .
Ответ: 10 .
3) Найти объем тела (V ) , ограниченного поверхностями y  16  2 x , y  2 x ,
z  0, x  z 2.
Ответ: 32 .
4) Найти объем тела (V ) , ограниченного поверхностями
z  3 y 2  7x 2  2 , z  3 y 2  7x 2  5 , y  5 x 2  2 , y  7 .
Ответ: 20 .
5) 3475
Оценить интеграл
( x  y  z )dxdydz , где (V )
(V )
1 z  3.
Ответ: 24 
( x  y  z )dxdydz  72 .
(V )
– куб 1  x  3 , 1  y  3 ,
Домашнее задание по теме:
«Тройной интеграл в цилиндрических, сферических и других криволинейных координатах»
2
2
2
1) Найти объем тела (V ) , ограниченного поверхностями x  y  2 y , z  1,25  x ,
z  0.
Ответ:  .
2) Найти объем тела
(V ) , заданного неравенствами 1  x 2  y 2  z 2  49 ,
x 2  y2
x 2  y2
.
 x  y  0, 
z
35
3
Ответ: 19 .
3) Найти объем тела (V ) , ограниченного поверхностями
z  16  x 2  y 2 , x 2  y 2  6z .
Ответ:
76
.
3
4) Найти объем тела (V ) , ограниченного эллипсоидом
Ответ:
4
  abc .
3
x 2 y2 z2

  1.
a 2 b 2 c2
Домашнее задание по теме: «Поверхностный интеграл I рода»
1) Найти
( xy  yz  zx )dS , где (S ) – часть поверхности z 
x 2  y 2 , выреза-
(S )
2
2
емая цилиндром x  y  2 x .
Ответ:
64 2
.
15
2) Найти массу границы тетраэдра x  y  z  1, x  0 , y  0 , z  0 , если плотность
распределения массы
 ( x , y, z ) 
1
.
( 2  x  y )2
Ответ:
3) Найти
2 3
8
3
 ln  3 ln .
3
3
2
dS
2
2
2
, где (S ) – цилиндр x  y  R , ограниченный плоскостями z  0
2
r
(S )

и z  H , а r – расстояние от точки поверхности до начала координат. Ответ: 2  arctg
H
.
R
Домашнее задание по теме: «Поверхностный интеграл II рода»
1) Найти
 x
2
y 2 zdxdy , где (S ) – внешняя сторона нижней половины сферы
(S )
x 2  y2  z2  R 2 .
2R 7
Ответ:
.
105
2) Найти
( y  z )dydz  ( z  x )dxdz  ( x  y )dxdy , где (S ) – внешняя сторона
(S )
2
2
2
конической поверхности x  y  z ( 0  z  h ).
Ответ: 0 .
3) Найти
 xydydz  yzdxdz  xzdxdy , где (S ) – внешняя сторона пирамиды, об-
(S )
разованной плоскостями x  y  z  1, x  0 , y  0 , z  0 .
Ответ:
1
.
8