Контрольная работа (2 семестр)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ФИЛИАЛ
ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО
УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТУРИЗМА И СЕРВИСА»
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
В.А. Рыгин
Задание и методические указания
по выполнению контрольной работы
по дисциплине «Математика»
для студентов 1 курса
сокращенной формы обучения
специальности 100101 «Сервис»
группы НЗС-101,102, АЗС-101, КЗС-102
2 семестр
Преподаватель
Журавлева Ю.А.
Волгоград 2010-2011 учебный год.
В контрольной работе представлены задачи из следующих разделов математики:
кратные интегралы, дифференциальные уравнения, ряды, теория вероятностей,
математическая статистика. Работа выполняется самостоятельно в течение семестра и
сдается не позднее, чем за две недели до начала сессии. К зачету или экзамену студент
допускается только после того, как будет зачтена его контрольная работа.
Указания по выбору варианта.
Номер варианта совпадает с числом после точки в номере задачи и соответствует
последней цифре номера зачетной книжки. Например, если номер зачетной книжки 214,
то следует выполнить задачи четвертого варианта: 1.4, 2.4, 3.4, 4.4, 5.4.
Правила оформления контрольной работы.
1. Работу следует выполнять в отдельной тонкой тетради, оставляя поля для
замечаний рецензента.
2. В работу включаются все задачи, указанные в задании, строго по своему
варианту. Работа, содержащая не все задачи, или задачи не своего варианта, не
зачитывается.
3. Решения задач надо располагать в порядке номеров, указанных в задании,
сохраняя номера задач. Перед решением надо полностью выписать условие,
решение излагать подробно и аккуратно, объясняя все действия и делая
необходимые чертежи.
4. Если работа не зачтена или сделаны замечания по решению задач, следует
сделать работу над ошибками в той же тетради.
Задачи 1.1-1.10.
Вычислить двойные интегралы по указанным областям.
Предварительно надо сделать чертеж области.
1.1.
 xydxdy,
область D ограничена линиями y=x2, x=y2.
D
1.2.
 ( x  2 y)dxdy ,
область D ограничена линиями y=x2, y=1.
D
1.3.

D
1.4.
x2
dxdy ,
y2
область D ограничена линиями y=x, x=2, xy=1.
 xy(1  x  y)dxdy , область D ограничена линиями x=0, y=0, x+y=1.
D
1.5.
 (2x  y )dxdy ,
2
область D ограничена линиями y=x, y=2x, xy=4.
D
1.6.
 ( x  y)dxdy ,
область D ограничена линиями y=(1/2)x, y=1, y= x .
D
1.7.
 ( x
2
 y 2 )dxdy ,
 ( x
2
 y)dxdy ,
область D ограничена линиями y=x2, x=y2
x
dxdy ,
 y2
область D ограничена линиями y=(x2/2), y=x.
область D ограничена линиями x=0, y=0, x-y=2.
D
1.8.
D
1.9.
 x
2
D
1.10.
 x
D
4
ydxdy ,
область D ограничена линиями xy=1, y-x=0, x=2.
Задачи 2.1-2.10. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка .
y
 x2 ,
x
2.1.
y 
2.3.
y   2 xy  2 x
2.4.
2.5.
y   y cos x  sin 2 x,
2.6.
2.7.
y 
2.9.
2.2.
y x 1

,
x
x
xy   y  xy2 ,
2.8.
2.10.
4 xdx  3 ydy  3x 2 ydy  2 xy 2 dx
3y
 x,
x
3y
y 
 x 3e x ,
x
1
y   y cos x  sin 2 x,
2
4 xdx  3 ydy  3x 2 ydy  2 xy 2 dx
y 
Задачи 3.1-3.10.
Найти частное решение линейного дифференциального уравнения
второго порядка, удовлетворяющее данным начальным условиям.
3.1.
3.2.
3.3.
y   4 y   4 y  e 3 x
y   2 y   y  e x
y   4 y  4 sin x
3.4.
y   5 y   6 y  x
3.5.
3.6.
3.7.
y   y  sin 2 x
y   4 y  5 y  5 x  3
y   4 y  4 x
3.8.
y   y  cos 2 x
3.9.
y   2 y   3 y  e 2 x
3.10.
y   y  2 x
Задачи 4.1-4.10.
y (0)  8
y (0)  0, y (0)  2
y (0)  0, y (0)  2
5
1
y (0) 
, y (0)  
36
6
y (0)  0, y (0)  0
y (0)  2, y (0)  1
y (0)  0, y (0)  3
1
y (0)   , y (0)  1
3
1
y (0)   , y (0)  0
3
y (0)  1, y (0)  8
y (0)  1,
Найти область сходимости степенного ряда.

4.1.
4.2.
xn

2
n 1 n

( x  3) n

n 1

4.3.

n n
4n x n
n2  1

2n ( x  5) n

n
n 1
4.7.

4.8.
n 1
4.4.
n3 ( x  2) n

2n
n 1

n 1
( x  5) n
3n  8
( x  3) n

n
n 1 5 ( n  1)

4.9.

4.5.
n( x  5) n

5n
n 1

( x  1) n

n2 2n
n 1

4.6.

4.10.
 (1) n
n 1
( x  4) n
3n
Задачи 5.1-5.10. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти
плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины, а
также вероятность попадания значений случайной величины в заданный интервал.
при x  0;
0
1

F ( x)   x 3 при 0  x  2;
5.1.
(0,5; 1,5)
8
при x  2
1
5.2.
при x  1;
0
 2
x  x
F ( x)  
при 1  x  2;
2

при x  2
1
5.3.

0
при x  0;

1

F ( x)  3x 2  2 x при 0  x  ;
3

1

при x 
1
3
5.4.
при x  0;
0
1

F ( x)   x 2 при 0  x  3;
9
при x  3
1
(0,5; 2)
5.5.
при x  1;
0

F ( x)  ( x  1) 3 при 1  x  2;
1
при x  2

(1,5; 2)
5.6.
при x  2;
0

F ( x)  ( x  2) 2 при 2  x  3;
1
при x  3

(2,2; 2,8)
5.7.
при x  3;
0

 ( x  3) 2
F ( x)  
при 3  x  5;
 4
при x  5
1
(3,5; 4,5)
5.8.
при x  0;
0
 2
 2 x  3x
F ( x)  
при 0  x  1;
5

при x  1
1
(0,3; 0,8)
(1,5; 2)
(0,1; 0,3)
5.9.
при x  0;
0
 2
 3x  5 x
F ( x)  
при 0  x  1;
8

при x  1
1
(0,3; 0,8)
5.10.
при x  2;
0
 2
x  4
F ( x)  
при 2  x  3;
 5
при x  3
1
(2,2; 2,8)
Задачи 6.1-6.10. Найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания а
нормального распределения с надежностью 0,95, если известно выборочное среднее x ,
объем выборки n и среднее квадратическое отклонение  .
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
 75,17,
 75,16,
 75,15,
 75,14,
 75,13,
 75,12,
 75,11,
 75,10,
 75,09,
 75,08,
n  36,   6 .
n  49,   7
n  64,   8
n  81,   9
n  100,   10
n  121,   11
n  144,   12
n  169,   13
n  196,   14
n  225,   15
Список литературы.
1. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс высшей математики. Т. 1,2 . Висагинас, «Alfa», 1998г.
2. Теория вероятностей и математическая статистика. Под ред. проф. Н. Ш. Кремера.
М., ЮНИТИ—ДАНА, 2002г.— 543 с.
3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы.
Ряды. ТФКП.. Ростов-на-Дону, «Феникс», 1997г.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в примерах и
задачах. Ч.2. М., 2005.
5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М., : Высшая
школа, 1977.
6. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. – М., : Высшая школа, 1979.
7. Журавлева Ю.А. Петикова Т.Н. Ряды. Методические указания и варианты
индивидуальных заданий. . ГОУВПО «МГУС», Волгоградский филиал, 2005.
8. Журавлева Ю.А. Периодические процессы. Ряды Фурье.
Методические
указания и варианты индивидуальных заданий. . ГОУВПО «МГУС»,
Волгоградский филиал, 2007.
9. Журавлева Ю.А. Комплексные числа. Методические указания и варианты
индивидуальных заданий. . ГОУВПО «МГУС», Волгоградский филиал, 2007.
Вопросы для подготовки к экзамену.
1. Определение двойного интеграла. Его свойства и геометрический смысл.
2. Переход от двойного интеграла к повторному.
3. Приложения двойного интеграла: площадь плоской фигуры; объем тела; масса,
статические моменты и координаты центра тяжести пластинки
4. Определение обыкновенного дифференциального уравнения. Основные понятия:
решение, общее решение, частное решение, решение задачи Коши, интегральная
кривая.
5. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными,
однородные, линейные, уравнения Бернулли.
6. Линейные однородные
уравнения второго
порядка с постоянными
коэффициентами.
7. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами.
8. определение числового ряда. Общий член ряда. Определение суммы ряда.
9. Необходимый признак сходимости.
10. Признаки сходимости знакоположительных рядов.
11. Абсолютная и условная сходимости знакочередующихся рядов. Признак Лейбница.
12. Степенные ряды. Радиус и область сходимости степенного ряда.
13. Ряд Тейлора и Маклорена.
14. Случайные события. Сумма и произведение событий. Несовместные и
независимые события. Противоположные события. Полная группа событий.
15. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
16. Вероятность суммы и произведения событий.
17. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения дискретной
случайной величины.
18. Функция распределения. Плотность распределения непрерывной случайной
величины.
19. Числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин:
математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение.
20. Точечные и интервальные оценки параметров распределения случайной величины.