Лекция N 1

Лекция N 1
Кратные интегралы
Двойные интегралы
Опр: множество К  Rn называется компактом, если К- ограничено и замкнуто, т.е. лежит
в ограниченном объеме и содержит все свои предельные точки.
Пример: отрезок, квадрат вместе с границей, окружность и эллипс вместе с
границами.
Опр: множество D  Rn называется связным, если не выполняется следующее свойство:
 D1 , D2 – открытые непустые множества: D1  D  Ø, : D2  D  Ø , D  D1  D2,
D1  D2 =Ø
рис.1 несвязное множество D
Пример связного множества: связный компакт на прямой– отрезок, связные
компакты на плоскости– квадрат и круг с границами.
Свойства компактов К1 и К2:
1. К1  К2 также является компактом.
2. К1  К2 –компакт
Площадь компакта К
рис.2
Пусть К  Pn , где Pn–многоугольник; либо совокупность многоугольников, если К
состоит из нескольких несвязных частей. Площадь многоугольника Pn можно найти
сложением площадей составляющих его треугольников (рис. 2): Sn=  S  .
Определение: площадью S(K) компакта K называется : S(K)=inf S(Pn).
Эта нижняя граница всегда существует, т.к. площадь– величина неотрицательная и
ограничена снизу нулем.
Свойства S(K):
1. S(K)  0
2. S(К1  К2 )=0  S(К1  К2 )= S(K1) + S(K2)
Примеры:
График непрерывной функции y = f(x)  С[a,b]:
1. K = {(x,y): x  [a,b] ; y = f(x)}; докажем, что S(K) = 0.
рис.3
Делим отрезок [a,b] на n равных частей, пусть mi = min f(x);
i
ba
n
f(x) равномерно непрерывна на [a,b] (теорема Кантора) 
 > 0  n0 n  n0: Mi - mi<  .
Рассмотрим K  Pn :
i 
Mi = max f(x);
i
n
S (Pn)=
 (M
i 1
i
n
n
i 1
i 1
 mi ) i     i    i   (b  a)  0 при   0
Следовательно, S(K)=0.
2. f(x)  C[a,b]; f(x)>0; K={(x,y): x  [a,b] ;0  y  f(x)}; Площадь под кривой y =
f(x), x  [a,b] .
b
Докажем, что S(K) =
 f ( x)dx
a
рис.4
Mi = max f(x)
i
S (Pn)=
n
b
i 1
a
 M i i   f ( x)dx (интеграл существует, т.к. всякая непрерывная
функция интегрируема).
на рис.5 изображен компакт К.
Дадим определение  f ( x, y)dxdy :
K
Зададим разбиение Т компакта К:
n
Т –разбиение компакта К: {K =  K i ; Ki: S(Кi  Кj) = 0, i  j}
i 1
Выбираем некоторую точку Р(  i ,i ), принадлежащую компакту Кi , i  1,..., n и зададим
интегральную сумму
n
S (T)=
 f ( , ) S ( K ) ,
i 1
i
i
i
Обозначим: d(Ki)=max( ( x, y ), ( x, y ) , ( x, y)  K i ; ( x, y)  K i ),
где ( x, y ), ( x, y )  ( x  x) 2  ( y   y ) 2 -расстояние и диаметр разбиения: d(T) =
max i di .
Определение: Двойным интегралом от ограниченной функции f(x,y) по компакту К
называется:
 f ( x, y)dxdy = lim S (T ) , если такой предел существует.
K
d (T )  0
Если такого предела не существует то функция неинтегрируема (например, функция
Дирихле, D(x,y), которая в рациональных точках принимает значение 1, а в
иррациональных точках значение ноль).
Свойства двойного интеграла (1-5)
1.
 f ( x, y)dxdy = S(K), если
f(x,y)  1
K
2. S(K) = 0   f ( x, y)dxdy =0, где f- любая ограниченная функция
K
3.
 (f ( x, y)  g ( x, y))dxdy =   f ( x, y)dxdy +   g ( x, y)dxdy
K
K
K
 f ( x, y)dxdy   f ( x, y)dxdy +  f ( x, y)dxdy
4.S(К1  К2 )=0 
K1  K 2
K1
K2
 f ( x, y)dxdy  MS(K)
5.m  f(x,y)  M  mS(K) 
K
6. Если К- связный компакт и f(x,y)  C(K), то
( 0 ,0 )  K : f ( 0 ,0 )  S ( K )   f ( x, y)dxdy
K
доказательство свойств 1-5:
1.
 f ( x, y)dxdy = lim S (T )
d (T )  0
K
n
 S ( K )  S ( K )   f ( x, y)dxdy =S(K)
S (Т)=
i
i 1
K
2. S(K)=0, следовательно, для любого разбиения Т: S(Ki)=0 , i  1,2,...n
n
S (Т)=
 f ( , )S ( K )  0   f ( x, y)dxdy  lim S (T ) = 0
i
i 1
i
i
d (T )  0
K
n
3. S (Т)=
 [f ( , )S ( K )  g ( , )S ( K )] =  S(T,f) +  S(T,g)
i
i 1
i
i
i
i
i
   f ( x, y)dxdy +   g ( x, y)dxdy .
K
K
n
4. S (Т)=

K i K 2
f ( i , i ) S ( K i ) +
n

K j K 2
f ( i , i ) S ( K j ) +
n
 f (
K t  K1  K 2
it
,tt ) S ( K t ) 
 f ( x, y)dxdy +  f ( x, y)dxdy
K1
K2
5. m  f(x,y)  M
n
S (Т)=
 f ( , ) S ( K )
i 1
i
i
i
mS(K)=m  S ( K i )  S (T )  M  S ( K i ) =MS(K)
mS(K)   f ( x, y)dxdy  MS(K)
K
6. m 
 fdxdy
K
S (K )
 M , где функция f определена на связном компакте и
принимает все
значения между M и m.
 ( 0 , 0 )  K  f ( 0 , 0 ) 
 fdxdy
K
S (K )
Геометрический смысл двойного интеграла функции f(x,y) на компакте К:
(f(x,y)>0)
V=  f ( x, y)dxdy – объем цилиндроида, изображенного на рис.6
K
рис.6
Теорема без (док-ва): Если f(x,y)-непрерывна на К, то существует
 f ( x, y)dxdy .
K
 
K
Теорема: Если К = К1  К2 и S(K2)=0, то можно отбросить К2, т.к. S(K2)=0
f ( x, y)dxdy =  f ( x, y )dxdy
K1