4 класс - da

IV Олимпиада по математике DA VINCI среди школьников
“Занимайся! Делай! Достигай! 2015-2016”
4 класс
II ТУР
1.
Цена автомобиля на табличке в автосалоне указана четырехзначным числом «электронными» цифрами,
как на часах. Когда продавец отвернулся, покупатель перевернул табличку с ценой, и новая цена стала на
1626 меньше. Какой была первоначальная цена на автомобиль?
Автокөліктің бағасы автосалонның тақтайшасында сағаттағы секілді төрт таңбалы санмен «электронды»
цифрлар түрінде көрсетілген. Сатушы сырт айналғанда, сатып алушы баға көрсетіліп тұрған тақтайшаны
теріс жағаны аударды, сол кезде жаңа баға 1626-ға кем болды. Автокөліктің алғашқы бағасы қандай
болған?
Решение:
Пусть первоначальная цена выглядела так: 𝑨𝑩𝑪𝑫.
Тогда после переворота таблички цена будет выглядеть так: 𝒅𝒄𝒃𝒂.
Теперь рассмотрим цифры, которые могут участвовать в решении этой задачи. При перевороте
некоторых цифр, получаются знаки, не имеющие смысла. После этого остаются только цифры:
𝟏, 𝟐, 𝟓, 𝟔, 𝟖, 𝟗, 𝟎.
Далее решаем обыкновенный ребус:
𝑨𝑩𝑪𝑫 − 𝒅𝒄𝒃𝒂 = 𝟏𝟔𝟐𝟔
и получаем ответ:
𝟔𝟖𝟏𝟓 − 𝟓𝟏𝟖𝟗 = 𝟏𝟔𝟐𝟔
2.
За какое минимальное количество шагов можно получить из числа 11 число 25 используя только 2
операции: умножение на 2 или вычитание 3?
Тек екі операцияны қолдана отырып 11 санынан 25 санын кем дегенде қанша әрекеттің көмегімен алуға
болады: 2-ге көбейту және 3-ті азайту?
Решение:
Решим задачу в обратном порядке, то есть из числа 25 получим число 11 путем деления на 2 и
прибавления 3. Обозначим за 𝑫 – деление на 2, а за 𝑪 – прибавление 3.
Находим, что существует алгоритм получения из числа 25 числа 11 за 7 шагов: 𝑪𝑫𝑫𝑪𝑫𝑪𝑪.
Докажем, что числа не получить за 6 шагов. Допустим, это возможно.
Рассмотрим операцию 𝑫 деления на 2. Эта операция не может быть на первом месте в алгоритме, так как
по условию начальной задачи дробных чисел нет.
Таких операций может быть нечетное количество: 1, 3 или 5. Ни 1, ни 5 не подходит, значит остается
только 3.
Значит, в итоге может быть только 3 операции 𝑫 и 3 операции 𝑪.
Пробуем составить алгоритм из 6 операций. На первом месте может быть только 𝑪. Далее если снова
использовать 𝑪, то и следующим шагом тоже необходимо будет использовать 𝑪. Далее останется
использовать только 3 операции 𝑫, исходом которых 11 никак не будет.
www.da-vinci.kz
IV Олимпиада по математике DA VINCI среди школьников
“Занимайся! Делай! Достигай! 2015-2016”
4 класс
II ТУР
В итоге, перебирая различные варианты, получим алгоритм 𝑪𝑫𝑫𝑪𝑫𝑪, исходом которого будет число 8, а
не 11. Значит допущение не верно.
Ответ: 7 шагов.
3.
Васе поручили за несколько дней посадить в одну линию ровно 321 цветок. Каждый следующий день он
должен сажать по одному цветку во все промежутки между уже посаженными цветами. На какое
наибольшее число дней ему удастся растянуть эту работу?
Васяға бірнеше күнге бір сызық бойына 321 гүл отырғызуға тапсырма берілді. Әр күн сайын ол
отырғызылған гүлдердің арасына бір гүлден отырғызуы керек. Ол осы жұмысты ең көп дегенде неше
күнге дейін соза алады?
Решение:
Обозначим за 𝒄 количество цветов, посаженных во второй день. Так как в этот день их сажали в
промежутки между уже посаженными цветами, то, значит, в первый день было посажено 𝒄 + 𝟏 цветков.
В каждый следующий день Вася будет высаживать в два раза больше цветков, чем в предыдущий. Всего
же в сумме необходимо посадить 321 цветок.
Запишем в виде выражения:
(𝒄 + 𝟏) + 𝒄 + 𝟐𝒄 + 𝟒𝒄 + 𝟖𝒄 + 𝟏𝟔𝒄 + 𝟑𝟐𝒄 + ⋯ = 𝟑𝟐𝟏
𝒄 ∙ (𝟏 + 𝟏 + 𝟐 + 𝟒 + 𝟖 + 𝟏𝟔 + 𝟑𝟐 + ⋯ ) = 𝟑𝟐𝟎
𝒄 ∙ (𝟏 + 𝟏 + 𝟐 + 𝟒 + 𝟖 + 𝟏𝟔 + 𝟑𝟐 + ⋯ ) = 𝟓 ∙ 𝟔𝟒
Из выражения видно, что 𝒄 = 𝟓, значит и количество дней равно 7.
4.
Газиза задумала натуральное число и нашла его остатки при делении на 3,6 и 9. Сумма этих остатков
оказалась равна 15. Найдите остаток от деления задуманного числа на 18.
Ғазиза натурал сан ойлады және сол санды 3, 6 және 9 сандарына бөлгендегі қалдықтарды тапты.
Қалдықтардың қосындысы 15-ке тең болып шықты. Ойлаған санды 18-ге бөлген кездегі қалдықты
табыңдар.
Решение:
Остаток при делении числа на 3 не превосходит 2, при делении на 6 — не превосходит 5, при делении на
9 — не превосходит 8. Так как сумма этих остатков равна 15 = 2 + 5 + 8, они равны соответственно 2, 5 и 8.
Так как задуманное число дает остаток 8 при делении на 9, то при делении на 18 оно может давать
остаток 8 или остаток 17. В первом случае остаток при делении на 6 равен 2, что противоречит условию.
Во втором случае условие задачи выполняется.
Задуманное число, увеличенное на 1, делится на 3, 6 и 9, следовательно, оно делится и на 18.
Следовательно, задуманное Газизой число при делении на 18 дает остаток 17.
Ответ: 17
www.da-vinci.kz
IV Олимпиада по математике DA VINCI среди школьников
“Занимайся! Делай! Достигай! 2015-2016”
4 класс
II ТУР
5.
Прямоугольник разбит на четыре маленьких прямоугольника 𝑨, 𝑩, 𝑪, 𝑫. Среди
чисел 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 18 какие-то четыре выражают площади
прямоугольников 𝑨, 𝑩, 𝑪, 𝑫. Найдите эту четверку чисел.
Тіктөртбұрыш төрт кішкентай 𝑨, 𝑩, 𝑪, 𝑫 тіктөртбұрыштарына бөлінген. 3, 4, 5, 6,
7, 9, 11, 18 сандарының ішіндегі қандай да бір төртеуі 𝑨, 𝑩, 𝑪, 𝑫
тіктөртбұрыштарының аудандарын білдіреді. Осы төрт сандарды табыңдар.
Решение:
Для данного прямоугольника легко доказывается соотношение 𝑨 ∙ 𝑫 = 𝑩 ∙ 𝑪. Так как простые числа 5, 7 и
11 встречаются по одному разу, и они не входят в разложения других чисел, то они не могут встретиться в
этой таблице. Произведение оставшихся пяти чисел равно 3 ∙ 4 ∙ 6 ∙ 9 ∙ 18 = 24 ∙ 36 является полным
квадратом, а произведение искомых чисел 𝑨 ∙ 𝑩 ∙ 𝑪 ∙ 𝑫 = (𝑩 ∙ 𝑪)𝟐 также является полным квадратом.
Тогда лишнее число также является точным квадратом (4 или 9).
Если лишним является число 9, то искомые числа должны быть 3, 4, 6, 18. Но они не удовлетворяют
соотношению 𝑨 ∙ 𝑫 = 𝑩 ∙ 𝑪.
Если лишним является число 4, то искомые числа должны быть 3, 6, 9, 18. Данные площади получаются
при отрезках длины 1, 3, 3, 6.
Ответ: 3, 6, 9, 18.
www.da-vinci.kz