6 класс - da

IV Олимпиада по математике DA VINCI среди школьников
“Занимайся! Делай! Достигай! 2015-2016”
6 класс
II ТУР
1.
Сумма пяти натуральных чисел равна 200. Докажите, что их произведение не может оканчиваться на
2015.
Бес натурал санның қосындысы 200-ге тең. Олардың көбейтіндісі 2015-ге аяқтала алмайтынын
дәлелдеңдер.
Решение:
Если все числа были бы нечетны, то и сумма их была бы нечетной. Но у нас сумма равна 200, значит, хотя
бы одно из чисел четное. Тогда и произведение этих чисел четное и не может оканчиваться на 5.
2.
Можно ли в клетки таблицы размеров 𝒏 × 𝒏 вписать целые числа так, чтобы сумма чисел в каждом
квадрате 𝟑 × 𝟑 была отрицательной, а сумма чисел во всей таблице 𝒏 × 𝒏 была положительной, если:
Өлшемі 𝒏 × 𝒏 болатын кестенің тор көздеріне сандардың қосындысы 𝟑 × 𝟑 квадратында теріс, ал барлық
𝒏 × 𝒏 кестесінде сандардың қосындысы оң болатындай бүтін сандарды кіргізіп жазуға бола ма, егер:
a) 𝒏 = 𝟓;
b) 𝒏 = 𝟔.
Решение:
a) Да, можно.
b) Нет.
Разобьем квадрат 6х6 на четыре неперекрывающихся квадрата 3х3. Так сумма чисел в каждом из
четырех маленьких квадратов отрицательна, а сумма чисел в большом квадрате равна сумме этих
четырех сумм, то есть тоже отрицательна.
3.
Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов. Они встретились в
полдень, и первый велосипедист достиг чужого города через 4 часа, а второй через 9 часов. Узнайте,
когда они выехали из своих городов?
Екі велосипедші екі қаладан бір біріне қарама қарсы бағытта бірдей уақытта шықты. Олар шаңқай түсте
кездесті, және бірінші велосипедші екінші қалаға 4 сағаттан кейін, ал екінші велосипедші 9 сағаттан кейін
жетті. Олар өздерінің қалаларынан қашан шыққанын біліңдер?
Решение:
Пусть велосипедисты имеют скорости 𝒗𝟏 и 𝒗𝟐 , и пусть они выехали за 𝒕 часов до полудня. Тогда, до их
встречи первый велосипедист проехал расстояние 𝒗𝟏 ∙ 𝒕, а второй проехал расстояние 𝒗𝟐 ∙ 𝒕. После
www.da-vinci.kz
IV Олимпиада по математике DA VINCI среди школьников
“Занимайся! Делай! Достигай! 2015-2016”
6 класс
II ТУР
встречи первый проехал расстояние 𝒗𝟐 ∙ 𝒕 за 4 часа, а второй велосипедист расстояние 𝒗𝟏 ∙ 𝒕 за 9 часов.
Получили два уравнения: 𝒗𝟏 ∙ 𝒕 = 𝒗𝟐 ∙ 𝟗; 𝒗𝟐 ∙ 𝒕 = 𝒗𝟏 ∙ 𝟒. Тогда 𝒗𝟏 /𝒗𝟐 = 𝟗/𝒕 = 𝒕/𝟒. Следовательно 𝒕 = 𝟔.
Значит велосипедисты выехали в 12 − 6 = 6 утра из своих населенных пунктов.
4.
Среди возможных четырехзначных чисел, которые при делении на 7 дают остаток 3, при делении на 23
дают остаток 11 и при делении на 35 остаток 17, найдите число с наименьшей суммой цифр.
Мүмкін болатын төрт таңбалы сандар ішінен, 7-ге бөлгенде 3 қалдық, 23-ке бөлгенде 11 қалдық және 35ке бөлгенде 17 қалдық қалатындай цифрларының қосындысы ең кіші болатын санды табыңдар.
Решение:
Пусть 𝒂 – искомое число. При делении 𝒂 на 35 остаток равен 17, значит, число 𝒂 можно записать в виде
𝒂 = 𝟑𝟓𝒏 + 𝟏𝟕, 𝒏 ∈ 𝑵. Но любое такое число при делении на 7 дает остаток 3, так как 𝟑𝟓𝒏 + 𝟏𝟕 =
𝟕(𝟓𝒏 + 𝟐) + 𝟑.
Такое число еще можно представить в виде 𝒂 = 𝟑𝟓(𝒏 − 𝟏𝟏) + 𝟒𝟎𝟐 = 𝟑𝟓(𝒏 − 𝟏𝟏) + 𝟐𝟑 ∙ 𝟏𝟕 + 𝟏𝟏.
Чтобы такое число при делении на 23 давало остаток 11, необходимо чтобы (𝒏 − 𝟏𝟏) должен иметь вид
𝒏 = 𝟐𝟑𝒌 + 𝟏𝟏, 𝒌 ∈ 𝑵. Значит, 𝒂 = 𝟖𝟎𝟓𝒕 + 𝟒𝟎𝟐.
Четырехзначных чисел, полученных по этой формуле, всего 11. Из них выбираем одно число с самой
маленькой суммой цифр – 2012.
Ответ: 2012.
5.
Имеется 4 яблока. Они весят 600 г, 400 г, 300 г, 250 г. Двое – Ернар и Руслан – собираются их съесть. Право
выбора за Ернаром; он берет любое из яблок и начинает его есть. Сразу же за ним Руслан берет любое из
оставшихся яблок и тоже начинает есть. Скорость поедания у обоих одинаковая. Тот, кто съел свое
яблоко, имеет право взять следующее (любое из оставшихся). Какова оптимальная стратегия обоих
мальчиков, если каждый хочет съесть побольше?
4 алма бар. Олардың салмағы 600 г, 400 г, 300 г, 250 г. Ернар мен Руслан – оларды жемекші. Ернардың
таңдауы: ол кез келген алманы алып оны жей бастайды. Содан кейін бірден Руслан қалған алманың
ішінен кез келгенін алып, ол да жей бастайды. Екеуінің де жеу жылдамдықтары бірдей. Кім өзінің
алмасын жеп бітірсе, келесісін алып жей алады (қалған алмадан). Екі жігіттің тиімді стратегиясы қандай,
егер әрқайсысы көбірек жегісі келсе?
Решение:
Ошибкой со стороны Ернара было бы взять самое большое яблоко; в этом случае Руслан успевает быстро
съесть два маленьких и приняться за третье; Ернару достается только 600 г.
Оптимальное решение для Ернара: начать с маленького яблока в 250 г, тогда если Руслан возьмется за
самое большое, то Ернару достанется 250+300+400=950г, а если нет – Ернар получит, во всяком случае,
250+600=800 г.
Оптимальная стратегия для Руслана, таким образом, – также не брать самое большое яблоко, а взять
любое из двух других: 300 г или 400 г.
www.da-vinci.kz