Раздел. Ряды §1. Числовые ряды. п.1 Основные понятия числовых рядов Пусть дана произвольная числовая последовательность a 1 , a 2 , a 3 , … , a n, … Определение. Выражение вида a 1 + a2 + … + an + … = а n (1) n 1 называется числовым рядом. При этом отдельные слагаемые a1, a2, a3,… называются членами ряда ( 1 ), an – называется n-м членом или общим членом ряда. Составим суммы S1 = a1 , S 2 = a 1 + a2 , ……………… Sn= a1 + a2 + a3 +…+ an. Эти суммы называются частичными суммами ряда. Сумма Sn= a1 + a2 + a3 +…+ an (2) называется n- частичной суммой данного ряда. Частичные суммы S1, S2, S3,…, Sn,… образуют числовую последовательность. Определение. Если существует предел n- частичной суммы (или последовательности частичных сумм) при неограниченном возрастании n S lim S n (3) n то ряд называется сходящимся, а число S называется суммой ряда (1). Если предел ( 3 ) не существует или равен бесконечности, то ряд ( 1 ) называется расходящимся. Пример 1. Пусть дан ряд 1 1 1 1 ... ... n(n 1) n 1 n(n 1) 1 2 2 3 Найти сумму ряда. Решение. Составим частичную сумму Sn Sn 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 1 2 2 3 n(n 1) 2 2 3 n 1 n 1 1 1 1 , n 1 n n 1 1 lim S n lim 1 1 n 1 n n Следовательно, ряд сходится и его сумма равна S = 1. Пример 2. Исследовать на сходимость ряд a1q n 1 n 1 a1 a1q a1q 2 ... a1q n 1 ... Находим частичную сумму Sn , из школьного курса математики известно, что S n a1 a1q a1q ... a1q 2 Если q 1 , то eсли q 1 , то если q 1 , то lim S n n n 1 a1 (1 q n ) a1 a1q n . 1 q 1 q 1 q a1 1 q lim S n n , то есть ряд сходится, не существует, lim S n lim a1 n . n n Таким образом, данный ряд, представляющий собой геометрическую прогрессию со знаменателем q, сходится, если q 1 и расходится, если q 1 . Пример 3. Исследовать сходимость ряда 1 ln1 n n 1 Решение. 1 n k 1 n S n ln1 ln (ln(k 1) ln(k )) (ln(2) ln(1)) k k k 1 k 1 k 1 n (ln(3) ln(2)) (ln(4) ln(3)) ... ln(n 1), lim S n lim ln(n 1) n n Ряд расходится. Пример 4. Исследовать сходимость ряда 1 n 1 n . Данный ряд называется гармоническим, для него частичная сумма 1 1 1 1 Sn равна S n ... 1 2 3 n Известно, что ln(1+x )< x, следовательно, Поэтому 1 1 ln1 n n 1 n 1 ln1 k k 1 k . k 1 n Но в примере 3 ряд следовательно, ряд 1 ln 1 n n 1 расходится, 1 n 1 n также расходится. Гармонический ряд 1 n 1 n расходится п 2. Свойства сходящихся рядов Свойство 1. Если ряд a1+ a2+ … + an+ … сходится и имеет сумму S, то ряд, образованный из произведений всех членов данного ряда на одно и то же число c: ca1 + ca2 + …+ can+ … тоже сходится и имеет сумму cS. Свойство 2. Если сходятся ряды a1+ a2 + a3 + …+ an+ …, (А) b1 + b2 + b3+ …+ bn+ …, (B) и имеют суммы S', S", соответственно, то ряд, образованный сложением соответствующих членов данных рядов: (a1 + b1 )+ (a2 + b2 )+ …+(an + bn )+ …, тоже сходится и его сумма равна S' + S". Свойство 3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем приписывания или отбрасывания любого конечного числа членов. п 3. Необходимый признак сходимости ряда Теорема. Если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т.е. lim аn 0 . n Следствие. Если an не стремится к нулю при n→∞ , то ряд расходится. Замечание. Рассмотренный признак является только необходимым, но не является достаточным, т.е. из того, что an стремится нулю, еще не следует, что ряд сходится, - ряд может и расходиться. 1 расходится, хотя n 1 n Например, гармонический ряд . 1 0 n n lim аn lim n § 2. Знакопостоянные ряды. Достаточные признаки сходимости. Ряд, все члены которого, начиная с некоторого номера k больше или равны нулю, называется знакоположительным. Аналогично, определяется знакоотрицательный ряд. Знакоположительные и знакоотрицательные ряды называются знакопостоянными. п 1. Признак сравнения Пусть даны два ряда с положительными членами: аn а1 а2 ... аn ... n 1 bn b1 b2 ... bn ... (1) (2) n 1 Теорема. Если, начиная с некоторого номера k, каждый член ряда (1) не больше соответствующего члена ряда (2), т.е. an ≤ bn ( n = k, k+1, k+2, …), то а) если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1); б) если расходится ряд (1), то расходится и ряд (1). Эта теорема называется признаком сравнения знакопостоянных рядов. Теорема. (признак сравнения в предельной форме) Если существует конечный предел a lim n C n bn причем С ≠ 0 , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно. п.2. Признак Даламбера Пусть дан знакоположительный ряд an . n 1 Теорема. Если если (1) an1 q 1 , то ряд (1) сходится; an an1 1 , то ряд (1) расходится. an На практике признак Даламбера употребляется в предельной форме: Теорема. Если при n → ∞ существует предел отношения последующего члена к предыдущему, равный L : a lim n1 L n a n то при L < 1 ряд сходится, при L > 1 ряд расходится. При L = 1 ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. Пример 5. Исследовать сходимость ряда . n2 n n 1 2 Решение. Общий член ряда имеет вид n2 an n 2 . В данном случае удобнее использовать признак Даламбера . Для этого запишем an+1 : n3 an1 n1 2 и вычислим предел an1 n 3 2n 1 n 2 n 3 lim lim n : n1 lim n1 n a n 2 n n2 2 2 2 n . Т. к. значение предела меньше 1, то по признаку Даламбера числовой ряд сходится. п.3. Радикальный признак Коши Пусть дан знакоположительный ряд an (1) n 1 Теорема. Если для ряда ( 1) величина предел L при n→∞ , т.е. n an имеет конечный lim n an L n то: а) при L < 1 ряд сходится; б) при L > 1 ряд расходится; в) при L = 1 ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. Пример 6. Исследовать сходимость ряда n 6n 1 n 1 5n 3 . Решение. Общий член этого ряда имеет вид n 6n 1 an . 5n 3 Т.к. общий член ряда есть некоторое выражение в степени n, то в данном случае удобнее использовать радикальный признак Коши . Вычислим предел 6 1/ n 6 6n 1 6n 1 lim n аn lim n lim lim n n n 5n 3 n 5n 3 5 3/ n 5 n Т. к. значение предела больше 1, то по признаку Коши числовой ряд расходится. п.4. Интегральный признак Коши Пусть дан ряд a1+ a2 + a3 + … (ai >0), члены которого являются значениями непрерывной функции f(x) при целых значениях аргумента х: a1 = f(1), a2 = f (2), …, an = f(n), … и пусть f(x) монотонно убывает в интервале (1, +∞ ). Теорема. Ряд an сходится, если сходится несобственный n 1 интеграл f ( x ) dx 1 и расходится, если этот интеграл расходится Пример 7. Рассмотрим ряд, который называется обобщенным гармоническим 1 . n 1 n Решение. Возьмем функцию 1 , f ( x) х она убывает и положительна на полупрямой х ≥1 и удовлетворяет условию 1 f ( n) . n Так как несобственный интеграл 1 dx x 1 f ( x)dx 1 сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1, то данный ряд по интегральному признаку сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1. Обобщенный гармонический ряд 1 n 1 n сходится при α > 1, расходится при α ≤ 1. Замечание 1. Сходимость знакоотрицательных рядов рассматривается аналогично, достаточно поменять знак перед всеми членами ряда на противоположный. Замечание 2. Признак Даламбера применяется, если аn содержит nk и n! , bn или nk и n! или nk и bn или n!. Признак Коши применяется, если аn имеет вид (…)n. В остальных случаях применяют признаки сравнения и интегральный признак. §3. Знакопеременные ряды п.1. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница Определение. Числовые ряды вида с1 с2 с3 ... (1) сn ... (1) n сn n n 1 , где с1 , с2 , с3 …- положительные числа, называются знакочередующимися. Пример знакочередующегося ряда 1 1 1 1 n 1 1 1 ... (1) ... (1) n1 n 1 2 3 4 n n Теорема(Лейбница). Если в знакочередующемся ряде, начиная с некоторого номера k, абсолютные величины членов ряда убывают и общий член an стремится к нулю, т.е. выполняются условия а) сk сk 1 ... сn ..., б) lim cn 0, n то ряд сходится, причем его сумма по абсолютной величине меньше с1, а остаток ряда rn cn1 cn2 cn3 ... по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого из отбрасываемых членов: rn установить cn1. Теорема Лейбница позволяет не только сходимость ряда, но и оценить ошибку, допускаемую при отбрасывании какого-либо числа его членов ряда. п2. Ряды с членами произвольного знака. Абсолютно и условно сходящиеся ряды Пусть дан ряд аn n 1 , (1) где a1, a2, …, an,…, могут быть как положительными, так и и отрицательными, причем расположение положительных и отрицательных членов в ряде совершенно произвольно. Наряду с рядом (1) рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда : аn а1 а2 ... аn ... (2) n 1 Определение. Ряд ( 1 ) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд ( 2 ). Определение. Ряд ( 1 ) называется условно сходящимся, если этот ряд сходится, в то время как соответствующий ряд из модулей ( 2 ) расходится. Условно сходящиеся ряды называют также сходящимися неабсолютно или просто сходящимися. Теорема. Абсолютно сходящийся ряд сходится, т.е. из сходимости ряда ( 2 ) вытекает сходимость ряда ( 1 ) . Члены абсолютно сходящихся рядов можно переставлять местами, сумма ряда от этого не изменяется. Пример 8. Исследовать сходимость ряда 2 3 n 1 1 ... (1) n1 ... 1! 2! n! и установить характер сходимости. Решение. Данный ряд является знакочередующимся. Для исследования его сходимости воспользуемся признаком Лейбница (теорема п.1). Сравним члены ряда по абсолютной величине. Начиная со второго члена ряда выполняется 3 4 n 1 ... ... 2 6 n! т.е. члены ряда убывают по абсолютной величине. 2 Найдем предел общего члена ряда n 1 1 n 1 lim сn lim lim 0. n n n! n ( n 1)! n Таким образом, условия теоремы Лейбница выполняются и следовательно, знакочередующийся ряд сходится. Исследуем этот ряд на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд составленный из абсолютных величин членов исходного ряда и исследуем его сходимость. Получим знакопостоянный числовой ряд 2 3 n 1 1 ... ... 1! 2! n! Для исследования его сходимости применим признак Даламбера. Получим n2 n 1 , an1 an (n 1)! n! n 2 n 1 n! (n 2) n2 : lim lim 0 1 2 n ( n 1)! n n n! (n 1)! (n 1) (n 1) L lim Ряд составленный из абсолютных величин сходится по признаку Даламбера, следовательно, исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно. Замечание 1. Знакопеременные ( знакочередующиеся ) ряды могут иметь либо абсолютную либо условную сходимость. При этом абсолютная сходимость сильнее условной. Поэтому как правило ряд вначале исследуют на абсолютную сходимость, и если ряд абсолютно не сходится его исследуют на условную сходимость. Замечание 2. На абсолютную сходимость знакопеременные ( знакочередующиеся ) ряды исследуются с помощью достаточных признаков §2. §4. Функциональные ряды. Определение. Функциональным называется ряд, членами которого являются функции (1) un ( x) u1 ( x) u2 ( x) ... un ( x) ... n1 где все un(x) определены на одном и том же множестве E. Ряд ( 1 ) для некоторых значений переменной х может сходиться, а для других - расходится. Определение. Значение x = x0, при котором числовой ряд u1(x0 ) + u2(x0 ) + … + un(x0 ) + … сходится, называется точкой сходимости ряда ( 1 ). Множество всех точек сходимости ряда называется областью сходимости ряда. Сумма n первых членов ряда обозначается через Sn(x) и называется n-ой частичной суммой, а сумма всех остальных членов rn(x) остаток ряда. Если ряд сходится при некотором значении x, то lim Sn ( x) S ( x), lim rn ( x) 0. n n 24 Это означает, что сумма функционального ряда является функцией точек сходимости ряда. При некоторых условиях эта сумма является непрерывной функцией и функциональные ряды можно почленно интегрировать и дифференцировать. §5. Степенные ряды п.1. Определение степенного ряда. Область его сходимости. Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида a0 + a1 x + a2 x2 + …+ anxn + … (1) где a0 , a1 , …, an , … - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда. Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал, который может вырождаться в точку. Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при некотором значении x0, не равном нулю, то он абсолютно сходится при всяком x, для которого | x|<|x0|; если ряд расходится при значении x1, то он расходится при всяком x, для которого | x|>|x1|. 25 Из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат. Определение. Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал от -R до R, что для всякой точки x, лежащей внутри интервала, ряд сходится и притом абсолютно, а для точек x, лежащих вне его, ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. На концах интервала, т.е. при x = ± R, вопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается индивидуально. Отметим, что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R = 0), у других - охватывает всю числовую ось Ox (R = ∞ ). Пусть дан степенной ряд an x n 1 n . Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов: an xn n n1 26 Для определения области сходимости последнего ряда применим признак Даламбера. Допустим, что существует предел: un1 an1 x n1 an1 lim lim lim x n un n a x n n an n По признаку Даламбера ряд сходится, если an1 x 1 n a n lim т.е. если . an x lim n an 1 Таким образом, радиус сходимости степенного ряда равен an n an 1 R lim 27 Аналогичным образом для определения радиуса сходимости можно воспользоваться признаком Коши: 1 . R lim n n a n Замечание. Степенной ряд вида a0 + a1 ( x - х0) + a2 (х - x0 )2+ …+ an ( x – x0)n+ … называется обобщенным степенным рядом. Интервал сходимости обобщенного степенного ряда имеет вид ( х0 – R ; х0 + R ). п.2. Некоторые свойства степенных рядов. 1. На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма степенного ряда есть непрерывная функция. 2. Если пределы интегрирования α и β лежат внутри интервала сходимости, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда. 3. Степенной ряд можно почленно дифференцировать и притом сколько угодно раз, при этом радиус сходимости продифференцированного ряда равен радиусу сходимости исходного ряда, а сумма производной от суммы данного ряда. 28 § 6 Разложение основных элементарных функций в степенной ряд. Если функция f(x) имеет производные любого порядка в некоторой окрестности точки x = a , то f(x) в указанной окрестности может быть представлена степенным рядом xa ( x a) n ( n) f ( x) f (a) f (a) ... f (a) ... 1! n! Этот ряд называется рядом Тейлора для функции f(x). Если а = 0, то степенной ряд имеет вид x x n ( n) f ( x) f (0) f (0) ... f (0) ... 1! n! и называется рядом Маклорена. Ряд Тейлора и Маклорена используются в приближенных вычислениях значений функций, интегралов, при решении дифференциальных уравнений. 29 Поэтому для всех элементарных функций выведены формулы разложения в ряд Маклорена: х х2 хn е 1 ... ... , x (;); 1! 2! n! х 2 n1 х3 х5 n1 х sin x x ... (1) ... , x (;); 3! 5! (2n 1)! 2n х2 х4 n х cos x 1 ... (1) ... , x (;); 2! 4! (2n)! (1 x) m 1 mx m(m 1) 2 m(m 1)(m n 1) n x ... x ..., 2! n! x (1;1); n х 2 х3 x 4 n1 х ln(1 x) x ... (1) ... , x (1;1]. 2 3 4 n 30