Домашнее задание к 23.10.2012. Б.Печёрская, вторник. 1. В
advertisement
Домашнее задание к 23.10.2012. Б.Печёрская, вторник. 1. В треугольнике ABC на сторонах AC и BC взяты точки X и Y такие, что угол ABX равен углу YAC, угол AYB равен углу BXC, XC=YB. Найдите углы треугольника ABC. (Московская городская олимпиада, 2003 год) 2. Все углы пятиугольника ABCDE равны. Докажите, что серединные перпендикуляры к отрезкам AB и CD пересекаются на … (метод «идеального» построения) 3. Внутри остроугольного ∆АВС отмечена такая точка H, что ABH=ACH и BAH=BCH. Докажите, что Н – ортоцентр ∆АВС. (другим способом) 4. Найдите какое-нибудь натуральное число, состоящее только из нечётных цифр и делящееся на 2011. 5. Можно ли обойти хромым королем (король не может ходить по диагоналям) все клетки шахматной доски, начав в левом нижнем углу и закончив в правом верхнем углу? 6. В однокруговом шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым по одной партии. Докажите, что участников можно так занумеровать, что ни один не проиграл непосредственно следующему за ним по номеру. 7. Последовательность из 36 нулей и единиц начинается с 5 нулей. Среди пятёрок подряд стоящих цифр встречаются все 32 возможные комбинации. Найдите пять последних цифр последовательности. 8. Сколько существует целых чисел от 1 до 33000, которые не делятся ни на 3, ни на 5, но делятся на 11? 9. Сколько существует натуральных чисел, меньших тысячи, которые не делятся ни на 5, ни на 7?
