Lekciya_11n

Лекция ХI
1. Сильно вырожденный ферми - газ.
Будем рассматривать фермионы со спином, равным половине (электроны, протоны,
нейтроны), когда g  2s  1  2 . Посмотрим, как ведет себя распределение Ферми-Дирака
(IX.2.2)
n() 
1

T
e
(XI.1.1)
1
как функция энергии  при T  0 . Пусть химический потенциал при заданной плотности
N / V и нулевой температуре равен (0) . Тогда распределение (XI.1.1) принимает вид
ступеньки с высотой равной 1, см. рис. XI.1.
n ()
1

(0)   F
Рис. XI.1.
Таким образом, все уровни с энергией меньше или равной (0) заняты, а выше ее –
свободны. Это граничное значение энергии называется энергией Ферми (0)   F . Поэтому
полное число фермионов в объеме V равно
N  2
pF

0
4p 2dp V
1 p 
 2  F  V,
3
(2 )
3  
3
F 
p F2
2m
(XI.1.2)
Отсюда граничный импульс – радиус ферми-сферы 1/ 3
N

p F   32 
V

,
(XI.1.3)
а энергия Ферми
F 
Полная энергия газа равна
2/ 3
 2N
 3

2m 
V
2
(XI.1.4)
E  2
pF

0
p 2 4p 2dp V
1
V 5

pF
3
2
2m (2 )
10 m 3
(XI.1.5)
или с учетом (XI.1.3) и (XI.1.4)
2/ 3
2
3
3
N 
2 2/ 3
E  F N  (3 )
 
5
5
2m  V 
N
(XI.1.6)
Отсюда в соответствии с общей формулой (X.2.9) получаем
5/ 3
2
2 N 1
N 
2 2/ 3
P  F
 (3 )
 
5 V 5
mV
,
(XI.1.7)
т.е. давление сильно вырожденного ферми-газа зависит только от концентрации частиц, но не
от температуры. Условие применимости формул (XI.1.5) и (XI.1.6)
T  F
2/ 3
N 
 
mV
2
 Tвыр
(XI.1.8)
Оценим, когда можно считать плазму (т.е. газ электронов и ядер) идеальной. Пусть
a  среднее расстояние между электронами и ядрами. Тогда энергия кулоновского
взаимодействия электронов с ядрами, отнесенная к одному электрону, должна быть много
меньше средней кинетической энергии электрона, которая имеет порядок энергии Ферми:
Ze2
  F
a
Если N  число электронов, а N / Z
электронейтрален), то a
 ZV /
N
1/ 3
(XI.1.9)
- число ядер ( Z  заряд ядра, газ в целом
и условие (XI.1.9) принимает вид
1/ 3
 N 
Ze 

 ZV 
2
N 

 
mV
2
2/ 3
(XI.1.10)
Отсюда следует неравенство
N
Z2
 3 ,
V
aB
aB 
2
(XI.1.11)
me2
( aB  радиус Бора). Таким образом, чем больше плотность, тем лучше выполняется условие
“идеальности” газа. Температура вырождения, соответствующая критической плотности
N Z2

, при которой нарушается требование идеальности (XI.1.11), равна
V aB3
T
2/ 3
2
N 
4/ 3 e


Z
 Z 4/ 3  27 эВ
 
m  V (cr )
aB
2
( cr )
выр
3  105  Z 4/ 3К
106 К
(XI.1.12)
Температура внутри Солнца Т  107 К , т.е. электронный газ можно считать невырожденным.
Посмотрим, что можно сказать об электронах в зоне проводимости металлов. Все
щелочные металлы, а также медь, серебро и золото отдают по одному электрону с атома в
зону проводимости. Если учесть, что плотность золота Au  19.3 г/ см 3 , а его молярный вес
197г , то плотность электронов
N
19.3
 NA
 6  1022 см 3
V
197
(XI.1.13)
Примерно такая же концентрация и для других хороших проводников. Поэтому в этом случае
3
24
 2

22 (0.5)  10
F 
3


6

10


3
2m 
aB

2
2/ 3

1 e2
 5 эВ
5 aB
5  104 К
(XI.1.14)
Таким образом, электроны в зоне проводимости металлов при комнатной температуре
Т
300 К сильно вырождены. Заметим, что скорость электронов на поверхности Ферми
v F  2F / m  2  5  1.6  1012 / 1027 см с
108 см с
(XI.1.15)
( 1эВ  1.6  1012 эрг ), т.е. v F  c и электронный газ является нерелятивистским.
2. Теплоемкость вырожденного ферми-газа.
Так как энергия (XI.1.6) не зависит от температуры, для вычисления теплоемкости
нужно найти следующий член разложения (X.2.8) по малому параметру T / F  1 . Задача
сводится к приближенному вычислению интеграла

I 
f (u )du
,
u 
1
e
0


,
T
f (u )  u 
(XI.2.1)
при   1. Полагая u    z , имеем


I 

f (z  )dz

ez  1
0



f (z  )dz
f (z  )dz

z
e 1
ez  1
0
I1
(XI.2.2)
I2
В первом интеграле делаем замену z  v и учитываем тождество
1
ez
1

 1 z
,
z
z
e 1 e 1
e 1

I1 

0


f (z  )dz
f (z  )dz
  f (z  )dz  
z
e 1
ez  1
0
0
Переходя к переменной u  z   в первом из этих интегралов, имеем
(XI.2.3)


0
0
I   f (u )du  

f (  z)dz
f (  z)dz

z
e 1
ez  1
0
(XI.2.4)
Заметим, что это точное соотношение, поскольку никаких приближений пока сделано не
было. Учтем теперь, что параметр   1, а второй и третий интеграл сходятся при значениях
z
1. Поскольку
f (  z)  f ()  z f ()  ... ,
то интеграл (XI.2.4) приближенно равен


I   f (u )du  
0
 f (  z)  f (  z) dz   f (u )du 2f ()

e 1
z
0
0
zdz
z
1
e
0
(XI.2.5)
Используя значение интеграла

zdz
2

0 ez  1 12
(XI.2.6)
окончательно с экспоненциальной точностью получаем.


f (u )du
2

f
(
u
)
du

f ()  ...
0 eu   1 0
6
(XI.2.7)
Возвращаясь к поставленной задаче, найдем сначала поправку к химическому потенциалу
  T , который определяется из уравнения (X.2.5) с g  2
4 V
N 
 VQ

u 1/ 2du
0 eu   1
(XI.2.8)
Элементарное вычисление дает
N
 V
8 3/ 2 
2
 1   2 
8
3 

 VQ
(XI.2.9)
 F

(1  ),
T
T
(XI.2.10)
Полагая здесь

и учитывая явное выражение для энергии Ферми (XI.1.4) и квантового объема (IX.5.4),
получаем
2

2  T 
  1

 
F 12  F 

2

2  T  
  F 1    
 12  F  
Аналогично вычисляется поправка к полной энергии
(XI.2.11)
E
8 5/ 2 
52 2  V
 1 
 T
8
5 

 VQ
(XI.2.12)
Подставляя сюда разложение (XI.2.10) с  , определенной в (XI.2.11), окончательно находим
2
3 
52  T  
E  F 1 
  N
5 
12  F  


(XI.2.13)
Отсюда для теплоемкости следует
CV 
2 T
3
 N  N ef f ,
2 F
2
N ef f 
2 T
N
3 F
(XI.2.14)
Эта формула удовлетворяет теореме Нернста: CV  0 при T  0 . Выражение (XI.2.14)
показывает, что электронные степени свободы “вымерзают” при T  F , т.е. не дают вклада
в теплоемкость, в отличие от классического закона равнораспределения. Вырожденный
электронный газ – существенно квантовая система.
Рассмотрим флуктуацию числа частиц nk в k  ом квантовом состоянии. Согласно
общей формуле (VIII.5.5) имеем
 2k 
 n 
 T 
 T k 
2 
  T ,V
  T ,V
 nnk  nk 
2
где nk  nk
(XI.2.15)
- среднее число заполнения k  ого квантового состояния, см. (IX.2.2), а
термодинамический потенциал k определен в (IX.2.1). Простое дифференцирование дает
 nnk
 nk 
 nk (1  nk )
2
Максимальная флуктуация, возникающая при nk  1/ 2 ,
(XI.2.16)
равна
 nnk
 nk 
2
 1/ 4 . В
классическом пределе ( nk  1)
 nnk
 nk 
2
 nk  1 ,
(XI.2.17)
а для сильно вырожденного ферми-газа (при T  0 ) она равна нулю:
 nnk
 nk 
2
0
(XI.2.18)
для всех квантовых состояний: nk  1 при k  F и nk  0 при k  F .
Для флуктуации полного числа фермионов в этом случае согласно (VIII.5.5) и (XI.2.9)
получаем
2
N
 N2 
3T
N
2 F
(XI.2.19)
Так что относительная флуктуация
1/ 2
 N 2  N2 
N  =




N2


1/ 2
3 T 


 2 F 
1
 1
N
(XI.2.20)
мала не только за счет макроскопичности системы, но также из-за вырождения, T  F .
Изотермическая сжимаемость, см. (VIII.5.11), равна
T  N
2
 N2 
3 V
V
 
2 N F
N 
5/ 3
,
(XI.2.21)
т.е. не зависит от температуры, а только от плотности числа частиц: чем больше
концентрация, тем меньше сжимаемость, т.е. система фермионов становится более жесткой.
Стабильность белых карликов и нейтронных звезд полностью связана с давлением
вырожденного газа электронов и нейтронов, соответственно.