Топологический переход лифшица и критические параметры

Топологический переход Лифшица и критические параметры двухзонного сверхпроводника Mg(B1–xCx)2
Н.П. ШАБАНОВА, А.И. ГОЛОВАШКИН1
Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, Москва
1
Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ ПЕРЕХОД ЛИФШИЦА И КРИТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ
ДВУХЗОННОГО СВЕРХПРОВОДНИКА Mg(B1–xCx)2
Исследуется связь критических параметров двухзонного сверхпроводника Mg(B 1–xCx)2 с параметрами поверхности
Ферми при её модификации в результате замещения бора углеродом. C помощью соотношения, обобщающего
соотношение Горькова на случай двухзонного сверхпроводника, анализируются экспериментальные данные для
критической температуры и критического магнитного поля Hc2 во всей области допирования, где материал
сверхпроводит. Аномальное падение величины и анизотропии Hc2 при x ~ 0,1 связано с топологическими переходами
Лифшица.
Диборид магния представляет собой первый случай двухщелевого двухзонного
сверхпроводника. Из зонных расчетов получены детальные представления об электронной
структуре этого материала, определена поверхность Ферми (рис. 1) [1–3]. Специфика двухзонного
сверхпроводника MgB2 обусловлена слабым межзонным взаимодействием электронов зон  и .
Высокая критическая температура Tc, величина и анизотропия верхнего критического магнитного
поля Hc2 MgB2 определяются электронами одной из зон – квазидвумерной (2D) -зоны [1, 2].
Замещение бора углеродом вызывает повышение жесткости фононного спектра [4], сокращение
длины свободного пробега -электронов в плоскостях бора [4, 5] и модификацию поверхности
Ферми в результате электронного допинга [6, 7]. В настоящей работе анализируются особенности
изменения критических параметров Mg(B1–xCx)2 в результате изменения поверхности Ферми во
всей области допирования, где материал сверхпроводит (x  0,125), включая область возможных
топологических переходов x ~ 0,1 [5–7].
Экспериментально показано, что снижение критической температуры при допировании
диборида магния углеродом (рис. 2, а) связано со снижением константы электрон-фононного
взаимодействия в -зоне σ в результате изменений фононного спектра [4]. Снижению константы
связи способствует также понижение плотности состояний -электронов Nσ(0) на уровне Ферми
при его приближении к дну дырочной -зоны [2, 4]. Кроме этого, вклад в деградацию Tc должно
вносить межзонное электронное рассеяние на атомах углерода [1–6]. Так же как в обычном
классическом сверхпроводнике критическая температура не меняется в результате рассеяния
электронов на нормальных примесях, в дибориде магния температура перехода не чувствительна к
росту внутризонного параметра рассеяния электронов -зоны [2]. Критическое магнитное поле
Hc2, наоборот, существенно зависит от длины свободного пробега электронов и растет при
повышении концентрации дефектов [8]. При высоком параметре рассеяния величина Hc2
классического сверхпроводника связана с остаточным удельным сопротивлением 
материала
соотношением
Горькова:
H'c2N(0)(1+), где H'c2 – наклон –dHc2/dT
температурной зависимости Hc2(T) вблизи Tc,
характеризующий
величину
верхнего
критического магнитного поля,  – константа
электрон-фононного взаимодействия. При
произвольном параметре рассеяния хорошим
приближением является соотношение
o '
c2 
H'c2 – H
N (0) (1 + ),
(1)
где H'oc2 – величина наклона в чистом
пределе, H'oc2  m (1 + )2Tc /EF, m –
эффективная масса электронов, EF – энергия
Рис. 1. Поверхность Ферми MgB2 [1]: цилиндры
Ферми относительно дна зоны.
относятся к электронам 2D σ-зоны, трубчатые
Механизм
изменения
величины
и
полотна – к электронам 3D π-зоны. 1–7 –
анизотропии Hc2 при замещении бора
экстремальные электронные орбиты (белые линии)
углеродом в MgB2 детально не изучен.
при наблюдении эффекта де Гааза-ван Альфена [3]
Эксперимент
указывает
на
наличие
максимума на зависимости Hc2 от x [9]. Предполагается, что существенный рост Hc2 при
повышении уровня допирования определяется рассеянием  электронов на атомах углерода, а
Топологический переход Лифшица и критические параметры двухзонного сверхпроводника Mg(B1–xCx)2
снижение анизотропии Hc2 связано с межзонным рассеянием электронов [4]. Вместе с тем, зонные
расчеты показывают, что при x ~ 0,1 возможны топологические изменения поверхности Ферми [6,
7]. Их роль в изменении критических параметров при замещении бора углеродом не определена.
В работе [8] мы получили выражение, обобщающее соотношение (1) на случай двухзонного
сверхпроводника. Полученное соотношение позволяет проанализировать связь величины верхнего
критического магнитного поля материала с внутризонными длинами свободного пробега и
электронными параметрами зон. В настоящей работе анализируется зависимость наклона H'c2 от
остаточного удельного сопротивления Mg(B1–xCx)2, построенная по данным работ [4] и [5] для
монокристаллов с различным уровнем допирования (рис. 2, б). Исследуется вопрос о возможных
причинах резкого снижения наклона при сильном допинге, в частности, о роли межзонного
рассеяния электронов и топологических изменений поверхности Ферми.
В приближении невзаимодействующих зон, при параллельном оси c гексагональной решетки
MgB2 магнитном поле, соотношение, обобщающее соотношение Горькова на случай двухзонного
сверхпроводника с произвольным параметром рассеяния, имеет вид
o '
c2 
H'c2 – H
Nσ(0) (1 + σ) (1 + (n/m)/(n/m) /) ab,
(2)
где H' c2  m (1 + σ) Tc /EF, m – эффективная масса -электронов вдоль плоскостей ab, EF их
энергия Ферми относительно дна -зоны, ab – удельное сопротивление в нормальном состоянии
перед сверхпроводящим переходом вдоль плоскостей ab. В силу того, что полная проводимость
складывается из проводимостей носителей обеих зон [2], в коэффициент пропорциональности
вошло отношение их электронных параметров C = (n/m) /(n/m), где (n/m) и (n/m) – отношения
электронной концентрации к массе вдоль плоскостей ab в зонах  и , соответственно, а также
отношение  / внутризонных времен релаксации электронов.
Как отмечено в [2], электронная структура диборида магния рассчитана с беспрецедентной
точностью, оценены многие электронные зонные параметры, определены константы связи [1].
Высокая точность расчетов подтверждена экспериментом [3]. Это позволяет вычислить
электронные коэффициенты в формуле (2) [8] и получить расчетные кривые H'c2 от ab при
различных отношениях /. Сравнив экспериментальные данные с расчетными кривыми, можно
оценить отношение / в образцах. Предложена также методика оценки длин свободного пробега
-электронов и  электронов [8].
При замещении бора углеродом электронный допинг существенно изменяет отношения
электронных параметров зон. В частности, коэффициент C растет (в MgB2 C=2) [8]. Пользуясь
результатами зонных расчетов [1, 2, 6, 7], мы оценили, как меняются фигурирующие в
соотношении (2) зонные параметры при приближении уровня Ферми ко дну σ-зоны. В первом
o
2
x=0
40
x=0.02
x=0.035
x=0.05
Tc, К
30
20
x=0.075
10
0
x=0.1
x=0.125
1
10
ab, мкОмсм
Рис. 2. Критическая температура Tc и наклон H'c2 (H||c) (б) в зависимости от удельного сопротивления ρab
Mg(B1–xCx)2.. Экспериментальные точки построены по данным работ [4, 5] (а). Расчетные зависимости (2)
при различных отношениях  (тонкие сплошные линии), наклон в чистом пределе H'oc2 (штриховая
линия), зависимость (1), рассчитанная как для обычного сверхпроводника (жирная линия) (б)
Топологический переход Лифшица и критические параметры двухзонного сверхпроводника Mg(B1–xCx)2
приближении изменения эффективных масс в результате допировании углеродом не учитывалось.
Снижение константы связи  оценено по формуле аналогичной формуле Макмиллана [2] с
учетом повышения жесткости фононного спектра [4]. Соответствующие расчетные кривые (2) при
различных отношениях / показаны на рис. 2, б. Максимумы на кривых связаны с падением
Nσ(0) при приближении уровня Ферми ко дну -зоны.
Внутризонные времена релаксации могут меняться не только в результате сокращения
внутризонных длин свободного пробега  и , но, в условиях электронного допинга, также из-за
изменения зонных скоростей Ферми v и v в плоскостях ab (=/v, –=/v). В таком случае
для качественных оценок удобнее представить соотношение (2) в виде
o
H'c2 -H c'2  Nσ (0) (1 + σ) (1 + s/s/)ab.
(3)
Здесь s = (n/m)/v и s = (n/m)/v. В материале с кубической симметрией параметр s = (n/m)/v
характеризует площадь поверхности Ферми. Качественно параметр s/s отражает отношение
площадей листов поверхности Ферми -зоны и -зоны и может быть оценен из зонных расчетов (в
MgB2 s/s = 2,8). Отношение s/s растет с повышением концентрации x (и ab) при сжатии
цилиндров поверхности Ферми дырочной  зоны в результате электронного допинга, что можно
видеть из сравнения рис.1 и рис. 3, б. Соответствующие расчетные кривые (3) при различных
отношениях / показаны на рис. 3, а.
Количественные оценки параметров, характеризующих рассеяние внутри зон с помощью
соотношений (2) и (3), выведенных в приближении невзаимодействующих зон, можно сделать для
образцов Mg(B1–xCx)2 с относительно небольшим уровнем допирования углеродом x < 007, где
межзонное рассеяние на примесях предполагается небольшим. Согласно представлениям о зонной
структуре материала, поверхность Ферми при таком уровне допирования не претерпевает
принципиальных топологических превращений.
Мы провели такие оценки по представленным в литературе данным для монокристаллов
Mg(B1–xCx)2 [4, 5]. Оценки показали, что в монокристаллах MgB2 / ~ 1 длины свободного
пробега ℓ и ℓ составляют около 500 Å [8]. Данный результат хорошо согласуется с оценками
длин свободного пробега электронов обеих зон, полученных при исследовании квантовых
осцилляций на таких образцах [3]. Как видно из рис. 2, б, при минимальной концентрации
углерода x = 0,02 в Mg(B1–xCx)2 отношение / достигает величины около 5/1, как показано в [8],
за счет сокращения длины свободного пробега  электронов. Результат демонстрирует
эффективное рассеяние электронов 2D -зоны на атомах углерода в плоскостях бора. При
повышении величины x отношение / снижается. Эти изменения могут быть связаны как с
межзонным рассеянием электронов [4], так и с изменением соотношения скоростей Ферми в зонах
 и . Сравнение экспериментальных точек с расчетными кривыми (3) (рис. 3, а) обнаруживает
резкий рост отношения / при малом допировании, что вызвано рассеянием  электронов на
/=6/1
x=0.075
x=0.05
x=0.035
x=0.1
x=0.02
2
'
H c2, кЭ/К
3
/=1/1
x=0
(1)
1
0
1
x=0.125
10
ab, мкОмсм
а)
б)
Рис.3. Зависимость наклона
(H||c) от удельного сопротивления ρab Mg(B1–xCx)2: экспериментальные
точки [4, 5], расчетные кривые (3) при двух значениях  (тонкие линии) и зависимость (1),
рассчитанная как для обычного сверхпроводника (жирная линия) (a). Поверхность Ферми до и после
топологического перехода 2D/3D (преобразования цилиндров σ электронов в эллипсоиды) [7]) (б)
H'c2
Топологический переход Лифшица и критические параметры двухзонного сверхпроводника Mg(B1–xCx)2
атомах углерода в плоскостях бора [2].
Межзонное рассеяние электронов зон 2D  и 3D  на атомах углерода, напротив, должно
снижать отношение /, критическую температуру Tc [2] и анизотропию Hc2 [4], приближая
материал к обычному 3D сверхпроводнику с единой щелью, а / – к 1. Вместе с тем,
предварительные оценки с учетом поправки на межзонное электрон-фононное взаимодействие [8]
привели нас к заключению, что и при x~0.1 отношение / может оставаться значительно выше
единицы. К тому же, как видно из рис. 2, б и рис. 3, а, при x ~ 01 обнаруживается отличие данных
H'c2 vs. ab от кривой (1), рассчитанной для этого материала как для классического
сверхпроводника с единой щелью [8]. Это дает основания предполагать, что даже сильно
допированный материал качественно можно охарактеризовать как двухзонный сверхпроводник. В
таком случае исчезновение анизотропии Hc2 при x ~ 0,1 может быть проявлением изменения
топологии поверхности Ферми σ-электронов, поскольку преобразование цилиндров в эллипсоиды
[7] (рис. 3, б) и размытие зонной структуры при x ~ 0,1 [6] приводит к существенному снижению
анизотропии их эффективной массы. Кроме того, резкое падение Tc и величины Hc2 в интервале x
0,075  0,1 [4, 5] может быть связано со скачком электронных параметров (Nσ(0)) при
топологическом фазовом переходе Лифшица II типа (2D/3D) [10]. Следующий топологический
переход, исчезновение эллипсоидов σ-электронов (I тип 3D/0), ассоциируется с исчезновением
сверхпроводимости.
Таким образом, при помощи выведенного для двухзонного сверхпроводника на основе теории
Горькова соотношения [8] и данных зонных расчетов проведен анализ экспериментальной
зависимости наклона H'c2 от удельного сопротивления ρab Mg(B1–xCx)2. Показано, что существенное
повышение наклона H'c2 при относительно небольшом уровне допирования x < 0,07 связано с
сокращением длины свободного пробега σ-электронов. Обнаружено, что при сильном
допировании с x ~ 0,1, когда возможно сильное межзонное рассеяние электронов, соотношение
H'c2 и ρab в монокристаллах Mg(B1–xCx)2 отличается от соотношения для классического
сверхпроводника с единой щелью. Резкое падение величины Hc2 и исчезновение анизотропии, а
также снижение критической температуры при x ~ 0,1 связано с топологическими изменениями
поверхности Ферми σ электронов.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (07-02-00097), Минобрнауки и РАН.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kortus J., Mazin I.I., Belashchenko K.D. et al. //Phys. Rev. Lett. 2001. V. 86, P. 4656.
2. Mazin I.I., Antropov V.P. //Physica C. 2003. V. 385. Р. 49.
3. Carrington A., Meeson P.J., Cooper J.R. et al. //Phys. Rev. Lett. 2003. V. 91. Р. 037003.
4. Masui T., Lee S., Tajima S. //Phys. Rev. В. 2004. V. 70. Р. 024504.
5. Lee S., Masui T., Yamamoto A., Uchiyama H., Tajima S. //Physica C. 2003. V. 397. Р. 7.
6. Kasinathan D., Lee K.W., Pickett. W.E. //Physica C. 2005. V.424, Р.116.
7. Filippi M., Bianconi A , Bussmann-Holder A. //J. Phys. IV France. 2005. V. 131. Р. 49.
8. Шабанова Н.П., Головашкин А.И. //ФТТ 2009. Т. 50. С. 637.
9. Angst M., Puzniak R., Wisniewski A. et al. //Phys. Rev. Lett. 2002. V. 88, P. 167004.
10. Лифшиц М. //ЖЭТФ. 1960. V. 38. Р. 1569.