Свободный электронный газ

Реклама
Свободный электронный газ
Рассмотрим свободный электронный газ в одномерной
потенциальной яме.
2

 2 ( x)  E ( x)  0
2m
ikx
 ( x)  Ce
k2 
2mE
2
2 2
k
E
2m
k
n
l
 2 2 2
En 
n
2
n=1,2,3…
2ml
В соответствии с
принципом Паули, в квантовом
состоянии, заданном четверкой квантовых чисел, может
находиться только один электрон. В квантовом состоянии,
заданном тройкой квантовых чисел, могут находится два
электрона с противоположно направленными спинами.
Рассмотрим потенциальную яму при температуре T=0 K
Так как на каждом уровне может находиться не более двух
электронов, то при 0 К окажутся заполнены электронами все
нижележащие уровни, вплоть до некоторого уровня,
получившего название уровня Ферми. Свободный электронный
газ имеется только в проводниках. Для них определен уровень
Ферми. Уровень Ферми – наивысший заполненный
энергетический уровень при 0 К. Построим функцию
распределения электронов по энергиям.
1
1
2
n, l , m, ms
T2  0K
E
EF
При повышении температуры от 0 К электроны,
находящиеся на самых высоких энергетических уровнях,
получают возможность перейти на более высокий уровень.
Уровень Ферми
Уровень Ферми – уровень, вероятность заполнения
которого равна одной второй.
Энергия, соответствующая уровню Ферми, называется
энергией Ферми. Пусть в атоме N электронов, тогда число
уровней, заполненных при 0К будет равно:
N
n 
2
С учетом того, что на данном уровне может быть 2
электрона,
2
2 2
  N
EF 

2 
2ml  2 
Рассмотрим электронный газ в трехмерном случае

2 2 
  (r )  E (r )  0
2m
Решением является функция


ikr
 (r )  Ce
  * dV  1
(V )
2
C
 dV  1
(V )
• Рассмотрим куб размером L.
C 2 L3  1  C 

1 ikr
 (r )  3 e
L2
1
3
L
2
• В трехмерном случае на волновую функцию
накладываются требования: она должна быть
периодической с периодом L.
Это будет выполнено если
2
kx 
n1
L
(n1  1,2,3,...)
2
ky 
n2
L
(n2  1,2,3,...)
kz 
2
n3
L
(n3  1,2,3,...)

1 i (kx xk y ykz z )
 (r )  3 e
L2
k 2  k x2  k y2  k z2
4 2 2
k  2 (n1  n22  n32 )
L
2
n12  n22  n32  n *2
2
4

k 2  2 n *2
L
2k 2
 2 4
En 

 2  n *2
2m
2m L
Перейдем в пространство волновых чисел
n2
n1
n3
Каждая точка в этом пространстве
соответствует
двум
состояниям
электрона, отличающимся направлением
спина.
• Подсчитаем количество состояний с энергией, не
превышающей некоторого значения E.
• Число этих состояний будет определяться объемом
сферы в пространстве квантовых чисел n1, n2, n3,
умноженному на два с учетом ориентации спина.
2
3
2
8  mL2
  2 2

3  2

3
E2
3
4 L3  m  2
2 3 2 
d E
gE 

dE 
 mL2 E
n*   2 2  .
 2  
2mL2 E
n* 
,
2 2
4 
4
 E  2     n *3 ,
3
E
1
2


3
8 L

32
3
 m 2
3

2
 
3
 E2
(1)
1
 E2
kT
gE
0K
EF
E
Обозначим концентрацию электронов через n, тогда
количество электронов в объеме V определяется как nV.
С другой стороны, количество электронов в V
определяются формулой (1)
3
3 3
3
3
2
8 L
m 2 2
8
m
2
nV 
(
)
E
n

E
3
32 3 2
3
 2 322
При 0К заняты все энергетические уровни до уровня
Ферми, следовательно. энергия Ферми определяется
следующим образом
3
2
EF 
3
2
3 2  3 2 n
8m
3
2
EF
2 3 2
3
(
)3
8
2
m
2
n3
,
• Если перевести энергию Ферми в тепловую энергию,
то она будет соответствовать Т=60000 К.
kT  1 eV .
При температуре 300 К
40
Такая энергия может перевести с одного уровня на
другой только электроны, находящиеся вблизи
уровня Ферми. Основная масса электронов поглощать
тепловую энергию не будет. В процессе нагревания
участвует лишь незначительная доля электронов,
находящихся вблизи уровня Ферми. Этим
объясняется малая теплоемкость электронного газа.
Скачать
Случайные карточки
15 основных стилей интерьера

15 Карточек Антон piter

Столицы стран

195 Карточек Антон piter

90 фразовых глаголов

92 Карточек Антон piter

Таблица умножения

64 Карточек Антон piter

100 ways to avoid using the word "very"

100 Карточек Антон piter

Создать карточки