Белорусский

Белорусский Государственный Университет, Минск
Физический факультет
SS 2011/2012
Я.М. Шнир
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Задачи и упражнения 14
1. Рассмотрим систему 𝑁 электронов, плотность состояний которых 𝑔(𝜀) = 𝑔0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
при 𝜀 > 0 и 𝑔(𝜀) = 0 при 𝜀0 . Вычислить энергию Ферми 𝜀𝐹 системы при
𝑇 = 0. Определить при каких условиях при ненулевой температуре 𝑇 система
является невырожденной. Показать, что теплоемкость сильно вырожденного
электронного газа пропорциональна его температуре (не вычисляя энергию электронного
газа и его теплоемкость в явном виде!).
2. Определить химический потенциал и внутреннюю энергию сильно вырожденного
идеального ферми-газа частиц со спином 1/2 с точностью до членов порядка 𝑇 4 .
3. Показать что уравнение состояния идеального ферми-газа имеет вид
𝑃𝑉 =
2𝐸
3
Вывести формулу для сжимаемости сильно вырожденного ферми-газа 𝜅 = − 𝑉1
( ∂𝑉 )
∂𝑃 𝑇
.
Решения
1. При 𝑇 = 0 все уровни ниже уровня Ферми 𝜀𝐹 заняты, а все состояния с энергией
выше 𝜀𝐹 свободны. Учитывая вырождение по спину можно тогда записать
2𝑔0 𝜀𝐹 𝑉 = 𝑁,
=⇒
𝜀𝐹 =
𝑁
2𝑉 𝑔0
Далее, поскольку для невырожденной системы фермионов должно выполняться
условие
)
(
𝜇
≪1
exp
𝑘𝐵 𝑇
при котором статистика Ферми-Дирака редуцируется к статистике Больцмана
1
𝑒𝛽(𝜀−𝜇)
−1
≈ 𝑒𝛽𝜇 𝑒−𝛽𝜀
то выражение для плотности невырожденного электронного газа имеет вид:
𝑁
𝑛=
=
𝑉
∫∞
𝜇
2𝑔0 𝑑𝜀
𝑘𝐵 𝑇
=
2𝑔
𝑘
𝑇
𝑒
0
𝐵
𝑒𝛽(𝜀−𝜇) − 1
0
Следовательно, условие отсутствия вырождения можно записать в виде
𝑘𝐵 𝑇 ≫
𝑁
= 𝜀𝐹
2𝑉 𝑔0
Заметим что при 𝑇 = 0 все электроны находятся внутри поверхности Ферми.
Если 𝑇 ∕= 0 но 𝑘𝐵 𝑇 ≪ 𝜀𝐹 , то возбуждены только те электроны, которые близки к
поверхности Ферми, их число можно оценить как 𝑁𝑒𝑓 𝑓 ∼ 𝑘𝐵 𝑇 𝑔0 - число состояний
в интервале 𝑘𝐵 𝑇 . Наконец, поскольку каждый электрон вносит в теплоемкость
сильно вырожденного электронного газа вклад 𝐶0 = 3𝑘𝐵 /2, то 𝐶 ∝ 𝑇 .
2. Плотность состояний нерелятивистской частицы со спином 1/2 в объеме 𝑉 равна
√
√
(2𝑚)3/2 𝜀𝑑𝜀
(2𝑚)3/2
𝑑𝑤(𝜀) = 4𝜋𝑉
= 𝐴 𝜀𝑑𝜀;
𝐴 = 4𝜋𝑉
(1)
ℎ3
ℎ3
Поскольку при 𝑇 = 0 все состояния ниже уровня Ферми заняты, то полное число
частиц в системе определяется из соотношения
∫
𝑁=
∫∞
𝑓 (𝜀)𝑑𝑤 = 𝐴
0
√
𝑓 (𝜀) 𝜀𝑑𝜀;
{
𝑓 (𝜀) =
1, 𝜀 < 𝜇0 = 𝜀𝐹
0, 𝜀 > 𝜇0 = 𝜀𝐹
то есть
∫𝜇0
𝑁 =𝐴
√
2 3/2 8𝜋
𝜀 𝑑𝜀 = 𝐴𝜇0 =
𝑉
3
3
(
2𝑚𝜇0
ℎ2
)3/2
0
и энергия Ферми вырожденного ферми-газа равна
(
)2/3
ℎ2
3𝑁
𝜀𝐹 =
2𝑚 8𝜋𝑉
Следовательно, плотность состояний (1) может быть выражена через энергию
Ферми как
√
3𝑁 𝜀
𝑑𝑤(𝜀) =
2 𝜇3/2
0
Рассмотрим теперь систему при конечной температуре. Число частиц при этом
определяется соотношением
∫∞
𝑁=
3
−3/2
𝑑𝑤(𝜀)𝑓 (𝜀)𝑑𝜀 = 𝑁 𝜇0
2
0
∫∞
√
𝜀𝑓 (𝜀)𝑑𝜀;
𝑓 (𝜀) =
1
𝑒𝛽(𝜀−𝜇) + 1
(2)
0
Напомним метод вычисления интегралов такого вида. Рассмотрим
∫∞
𝑓 (𝜀)𝜀𝑛 𝑑𝜀
𝐼𝑛 =
0
Интегрируя по частям, получим
¯∞
∫∞
∫∞
¯
𝜀𝑛+1
1
∂𝑓
1
∂𝑓
𝑛+1
𝐼𝑛 =
𝑓 (𝜀)¯¯ −
𝜀
𝑑𝜀 = −
𝜀𝑛+1 𝑑𝜀
𝑛+1
𝑛+1
∂𝜀
𝑛+1
∂𝜀
0
0
0
поскольку первое слагаемое обращается в ноль как на верхнем, так и на нижнем
пределах интегрирования. Определяя новую переменную 𝑥 = (𝜀 − 𝜇)/𝑘𝐵 𝑇 ; 𝜀 =
𝑘𝐵 𝑇 𝑥 + 𝜇, заметим что
𝑓 (𝑥) =
𝑒𝑥
1
;
+1
∂𝑓
∂𝑓
𝑑𝜀 =
𝑑𝑥
∂𝜀
∂𝑥
Следовательно, рассматриваемый интеграл может быть представлен в виде
1
𝐼𝑛 = −
𝑛+1
∞
∫∞
𝑛+1 ∫ (
𝜇
𝑥 )𝑛+1 ∂𝑓
∂𝑓
(𝜇 + 𝑘𝐵 𝑇 𝑥)𝑛+1 𝑑𝑥 = −
1+
𝑑𝑥
∂𝑥
𝑛+1
𝛽𝜇
∂𝑥
𝛽𝜇
(3)
−∞
где мы воспользовались тем, что в случае малых температур нижний предел
интегрирования может быть устремлен к −∞.
Следующий шаг состоит в разложении полинома в подинтегральном выражении
в ряд
𝑥 𝑛+1
𝑥
(𝑛 + 1)𝑛 ( 𝑥 )2 (𝑛 + 1)𝑛(𝑛 − 1) ( 𝑥 )3
(1 +
)
≈ 1 + (𝑛 + 1)
+
+
𝛽𝜇
𝛽𝜇
2
𝛽𝜇
2⋅3
𝛽𝜇
(𝑛 + 1)𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) ( 𝑥 )4
+
+ ...
2⋅3⋅4
𝛽𝜇
и последующем почленным интегрированием. При этом первое и второе слагаемые
вносит вклады
¯∞
¯∞
∫∞
∫∞
¯
¯
∂𝑓
∂𝑓
1
¯
𝑥 𝑑𝑥 = 0
= 𝑥
= −1
𝑑𝑥 = 𝑓 (𝑥)¯¯
¯
∂𝑥
𝑒 + 1 −∞
∂𝑥
−∞
−∞
−∞
и, вообще говоря, вклад всех членов нечетных степеней равен нулю (интегрирование
𝑒𝑥
по частям). Поскольку ∂𝑓
=
−
, для квадратичного члена получим
∂𝑥
(𝑒𝑥 + 1)2
∫∞
𝑒−𝑥
𝑥
≈ −2
(1 + 𝑒−𝑥 )2
2
−∞
∫∞
1 1
𝜋2
𝑥2 (𝑒−𝑥−2𝑒−2𝑥 +3𝑒−3𝑥 −. . . )𝑑𝑥 = −4(1− 2 + 2 −. . . ) = −
2 3
3
0
и, вообще говоря, все вклады четных степеней определяются 𝜁-функцией Римана:
∫∞
𝑒𝑥
𝑥𝑛 𝑥
𝑑𝑥 = 2𝑛!(1 − 21−𝑛 )𝜁(𝑛)
(𝑒 + 1)2
∞
При этом
𝜋2
𝜋4
; 𝜁(4) =
6
90
и для интеграла (3) получаем с точностью до членов 4-го порядка:
[
(
)2
(
)4 ]
𝑘𝐵 𝑇
𝜇𝑛+1
𝜋 2 (𝑛 + 1)𝑛 𝑘𝐵 𝑇
7𝜋 4
𝐼𝑛 ≈
1+
+
(𝑛 + 1)𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)
...
𝑛+1
6
𝜇
360
𝜇
𝜁(2) =
В рассматриваемом случае 𝑛 = 1/2 и следовательно, выражение (2) может быть
записано с той же точностью как
]
( )−3/2 [
(
)2
(
)4
𝜇
𝜋 2 𝑘𝐵 𝑇
7𝜋 4 𝑘𝐵 𝑇
1+
+
+ ...
1=
𝜇0
8
𝜇
640
𝜇
то есть
[
(
)2
𝜋 2 𝑘𝐵 𝑇
𝜇 = 𝜇0 1 +
+
8
𝜇
[
(
)2
𝜋 2 𝑘𝐵 𝑇
= 𝜇0 1 −
+
12
𝜇
7𝜋 4
640
𝜋4
720
(
(
𝑘𝐵 𝑇
𝜇
𝑘𝐵 𝑇
𝜇
]−3/2
)4
+ ...
]
)4
+ ...
(4)
[
𝜋2
8
2
где мы воспользовались разложением функции 𝑓 (𝑥) = 1 + (𝑥) +
в ряд по степеням 𝑥 около значения 𝑥 = 0. В первом приближении
[
]
(
)2
𝜋 2 𝑘𝐵 𝑇
𝜇 = 𝜇0 1 −
+ ...
12
𝜇0
и во втором приближении
[
𝜋2
1−
12
𝜇 = 𝜇0
(
𝑘𝐵 𝑇
𝜇0
)2
𝜋4
−
80
(
𝑘𝐵 𝑇
𝜇0
7𝜋 4
640
4
(𝑥) + . . .
]
)4
+ ...
(5)
Внутренняя энергия ферми-газа определяется с помощью похожих вычислений.
Поскольку
∫∞
∫∞
3
−3/2
𝐸 = 𝑓 (𝜀)𝜀𝑑𝑤(𝜀) = 𝑁 𝜇0
𝜀3/2 𝑓 (𝜀)𝑑𝜀
2
0
0
то задача сводится к вычислению интеграла (3) в случае 𝑛 = 3/2:
[
(
)2
(
)4
]
7𝜋 4 𝑘𝐵 𝑇
2𝜇5/2
5𝜋 2 𝑘𝐵 𝑇
−
+ ...
𝐼3/2 ≈
1+
5
8
𝜇
384
𝜇
то есть
( )3/2 [
(
)2
(
)4
]
𝜇
5𝜋 2 𝑘𝐵 𝑇
7𝜋 4 𝑘𝐵 𝑇
3
1+
−
+ ...
𝐸 = 𝑁𝜇
5
𝜇0
8
𝜇
384
𝜇
Окончательно, учитывая что во втором порядке выполняется соотношение (5),
получим
[
]
(
(
)2
)4
5𝜋 2 𝑘𝐵 𝑇
3
𝜋 4 𝑘𝐵 𝑇
𝐸 = 𝑁 𝜇0 1 +
−
+ ...
(6)
5
12
𝜇0
16 𝜇0
3. Рассмотрим большой термодинамический потенциал Φ = −𝑃 𝑉 , связанный с
большой статсуммой
(
)]
∑ [
𝜇 − 𝜀𝑖
Φ = −𝑘𝐵 𝑇 ln −
𝑍 = −𝑘𝐵 𝑇
ln 1 + exp
𝑘𝐵 𝑇
(2𝑚)3/2
= −4𝜋𝑉
𝑘𝐵 𝑇
ℎ3
{𝑖}
∞
∫
[
(
ln 1 + exp
0
𝜇−𝜀
𝑘𝐵 𝑇
)]
𝑑𝜀
[
(
)]∞
∫∞
8𝜋 (2𝑚)3/2
𝜇−𝜀
8𝜋 (2𝑚)3/2
3/2
=− 𝑉
𝑘𝐵 𝑇 𝜀 ln 1 + exp
−
𝑉
3
ℎ3
𝑘𝐵 𝑇
3
ℎ3
0
0
8𝜋 (2𝑚)3/2
=− 𝑉
3
ℎ3
∫∞
0
𝑑𝜀 𝜀3/2
(
)
exp
𝜀−𝜇
𝑘𝐵 𝑇
+1
2
=− 𝐸
3
𝑑𝜀 𝜀3/2
(
)
exp
𝜀−𝜇
𝑘𝐵 𝑇
+1
]−3/2
где мы выполнили интегрирование по частям и использовали определение внутренней
энергии ферми-газа.
Из соотношения (6) тогда следует что давление сильно вырожденного фермигаза зависит от температуры как
[
]
2 3
𝑁 2
𝜋 2 𝑘𝐵
𝑇
𝑃 =
𝜇0 +
+ ...
𝑉 5
6 𝜇0
и следовательно сжимаемость можно записать как
(
)
(
)−1
(
)−1
2 2
1 ∂𝑃
𝑉 2𝜇0 𝜋 2 𝑘𝐵
𝑇
1 ∂𝑉
=−
=
+ ...
+
𝜅=−
𝑉 ∂𝑃 𝑇
𝑉 ∂𝑉 𝑇
𝑁
3
18 𝜇0
[
]
(
)2
3𝑉
𝜋 2 𝑘𝐵 𝑇
=
1−
+ ...
2𝑁 𝜇0
18
𝜇0
(7)