1 - Ставропольский государственный аграрный университет

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ
СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Методические указания
к лабораторной работе по курсу "Теоретическая механика"
на тему:
"ПРИВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ
К ЗАДАННОМУ ЦЕНТРУ"
Ставрополь 2015
УДК 531/534
ББК 22.21
315
Составители:
А. В. Бобрышов, Ю. В. Прохорская, В. А. Лиханос
Общие теоремы динамики точки: методические указания / А. В.
Бобрышов, Ю. В. Прохорская, В. А. Лиханос. - Ставрополь: АГРУС,
2012. - 17 с.
В методических указаниях даны понятия проекции силы на ось,
момента силы относительно центра, пары сил, главного вектора и
главного момента произвольной плоской системы сил. Приведены
необходимые формулы для их расчета, задания и общие требования к
выполнению лабораторной работы, пример выполнения.
Предназначены для студентов по направлениям подготовки:
190600.62 -"Эксплуатация транспортно-технологических машин и
комплексов"; 140400,62 - "Электроэнергетика и электротехника";
110800.62 -"Агроинженерия"; 260800.62 "Технология продукции и
организация общественного питания"
УДК 531/534
ББК 22.21
Утверждены к изданию методическим советом
факультета механизации с. х. СтГАУ
(протокол № от
2012 г.)
©Составители, 2012
© АГРУС, 2012
1. Цель работы: привить у студентов практические навыки
определения проекций сил на ось, моментов сил относительно центра
и упрощения плоских систем сил.
2
2. Основные понятия:
2.1 Проекция сил на плоскость
Проекция силы на ось есть алгебраическая величена, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным
направлением оси.
(1)
Fx  F  cos   ab
Если
 < 90

, проекция силы
на ось положительна, если  >90
отрицательна, если  =90  равна нулю.
Рис.1
2.2. Момент силы относительно центра. Пара сил.
Моментом силы F относительно центра О называется величина
равная произведению модуля F силы на ее плечо h.
m0(F ) = ± F · h = 2 пл.Δ ОАВ
(2)
Размерность момента силы –
Ньютон х метр (H ∙ м)
Принято, если вращение тела под
действием силы F относительно центра
О происходит против часовой стрелки,
то момент положителен, по часовой
стрелке - отрицателен.
Рис.2.
Парой сил называется система двух
равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные
стороны сил.
Действие пары сил на твердое тело
сводится к некоторому вращательному
эффекту, который характеризуется
моментом пары:
m = ± F · d,
(3)
где d - плечо пары.
Рис.3.
2.3. Теорема о параллельном переносе силы.
3
Силу приложенную к абсолютно твердому телу, можно не изменяя
оказываемое ее действия , переносить из данной точки, в любую другую
точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда сила переносится.
Рис.4.
На рис. 4 показаны этапы переменного переноса силы F из точки А ее
приложения в точку В. Следует иметь в виду что
F = F ' и F " = - F, а m = m B (F)
2.4. Приведение плоской системы сил к данному центру.
Рис. 5.
Любая плоская система сил,
действующих на абсолютно твердое
тело, при приведении к произвольно
выбранному центру О заменяется
одной силой ¯R , равной главному
вектору системы сил и приложенной в
центре приведения О, и одной парой с
моментом Мо , равным главному
моменту системы сил относительно
центра О (рис.5).
Главный вектор R и главный
момент Мо определяются по формуле:
R =  Fk ,
(4)
Мо =  mo (F к).
(5)
3. Пример
4
К твердому телу приложена плоская система сил, состоящих из сил
F1 , F2 , F3 , F 4. Силы имеют модули: F1 = 10 кН, F2 = 5 кН, F3 = 8 кН, F4 =
12 кН.
Координаты точек приложения сил соответственно равны:
(∙) А1 - х1 = 40 мм; У1 = 40 мм;
(∙) А2 - х2 = 20 мм; У2 = - 40 мм;
(∙) А3 - х3 = -30 мм; У3 = - 30 мм;
(∙) А4 - х 4 = -30 мм; У4 = 40 мм.
Углы наклона векторов сил:  1 = 00 ;  2 = 300;  3 = 1200;  4 = 2700 .
Определить главный вектор системы сил и главный момент для
произвольно выбранного центра приведения.
Решение:
1. Зададимся на листе системой координат ХОУ (рис.6). Построим, в
соответствии с заданием, точки приложения сил. Проведем из этих точек
линии параллельно положительно направленной оси ОХ, отложим против
часовой стрелки углы от этих линий и покажем направление векторов сил.
2. В качестве точки приведения плоской системы сил выберем начало
системы координат (·) О. Определим главный момент Мо системы сил по
формуле (5). Для этого необходимо найти моменты сил относительно
(·) О:
mo ( F1) = - F1 · h1;
m0 (F2) = F2 · h2 ;
m0 ( F3) = - F3 · h3 ;
m0 (F 4) = F4 · h 4;
где h1; h2 ; h3; h4 – плечи сил относительно центра приведения О.
Плечи сил найдем, проведя перпендикуляры из центра О на линии
действия сил и замерив их величины.
h1 = 40 мм = 0,04 м
h2 = 43 мм = 0,043 м
h3 = 33 мм = 0,033 м
h4 = 30 мм = 0,03 м
Найдем численные значения моментов сил относительно центра
приведения О. Размерность сил будем брать в H .
m0 ( F1) = - 10000 · 0,04 = - 400 H · м ;
m0 ( F2) = 5000 · 0,043 = 215 Н · м;
m0 (F3) = - 8000 · 0,033 = - 344 Н · м;
5
m0 ( F4) = 12000 · 0,03 = 360 Н · м;
Определим главный момент М0:
М0 =  m0 (Fk) = - 169 H · м
Знак минус показывает, что главный момент М0 искомой системы сил с
центром приведения О будет направлен с вращательным эффектом по
часовой стрелке.
3. Определим главный вектор R произвольной плоской системы сил:
а). Аналитический способ
Вычислим главный вектор через его проекции на координатные оси:
R0 = Rox + Roу
где
Rox =  Fкх и Roу =  Fку .
Найдем численные значения проекций сил на координатные оси
F1 x = F1 · cos  1 = F1 · cos 00 = 10 кН; F1 у = F1· sin  1 = 0;
F 2 x = F2 · cos  2 = 5·cos 30 0 = 4,33 кН; F2 у = F2· sin  2 = 5·sin300
=2,5кН
F 3x = F3 · cos  3 = - 8·cos 600 =- 4 кН; F3у =F3· sin  3=8·sin 600=6,86 кН
F 4x = F4 · cos  4 = 0 ;
F 4 у = -F4· sin 2700 = -12 кН
Тогда Rox = 10 + 4,33 – 4+0 = 10,33 кН
R o у = 0+2,5 + 6,86-12 = -2,64 кН
R 0 = 10,33 2 + ( -2,64) 2 = 113,68 = 10,66 кН
Определим направление главного вектора R:
Rox = 10,33 кН,
сos  =
Rox 10,33

 0,97
R0 10,66
 = -14 0
б). Геометрический способ
Выберем масштаб сил  F = 0,2 кН/мм и построим силовой
многоугольник из сил F1 , F2, F3, F 4 ( рис.6.б).
6
Замыкающий его вектор R O (отрезок ае на рис. 6. б) и определяет в
данном масштабе модуль и направление главного вектора R0.
Т.к. d e = 52 мм, то R0 = d e ·  F = 52 · 0,2 = 10,4 кН
Вычислим процент ошибки при определении R0 двумя способами:
Δ=
10,66  10,4
· 100 % = 2,4 %
10,66
Рис.6
7
8
9