R = 0

Владивостокский Государственный Университет
Экономики и Сервиса
Кафедра Сервиса и Технической Эксплуатации Автомобилей
Теоретическая механика
Автор: к.т.н., доцент каф. СТЭА
Чубенко Елена Филипповна
2009
Тема 3
Система сил, произвольно
расположенных в плоскости
2
План занятия
• 1. Теорема о параллельном переносе силы
• 2. Приведение плоской системы сил к данному центру
• 3. Условия равновесия произвольной плоской системы сил.
Случай параллельных сил
3
Введение
• Цель занятия – ознакомить студентов с основными
теоретическими разработками в области операций над
параллельными силами и приведением их к простейшему виду,
а также с условиями равновесия произвольных плоских систем
сил
• Материал занятия содержит описание аналитических и
геометрических условий равновесия произвольной плоской
системы сил
4
Ключевые понятия
• 1. Параллельный перенос силы
• 2. Приведение силы
• 3. Геометрические и аналитические условия равновесия
5
Теорема о параллельном
переносе силы
Теорема
Силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно, не
изменяя оказываемого действия, переносить параллельно ей
самой в любую точку тела, прибавляя при этом пару с
моментом, равным моменту переносимой силы относительно
точки, куда сила переносится
6
Пусть на твердое тело действует сила F, приложенная в точке А.
Действие этой силы не изменится, если в любой точке В тела
приложить две уравновешенные силы F' и F" , так что F'=F,
F" = -F. Полученная система трех сил и предоставляет собой
силу F', равную F, но приложенную в точке В, и пару (F, F" ) с
моментом
M = МB(F)
7
Приведение плоской системы
сил к данному центру
Пусть на твердое тело действует какая-нибудь система сил F1, F2,
…, Fn, лежащих в одной плоскости. Возьмем в этой плоскости
произвольную точку О, которую назовем центром приведения, и
перенесем все силы в центр О.)
8
В результате на тело будет действовать система сил
F1’= F1, F2’= F2, …, Fn’= Fn
приложенных в центре О, и система пар, моменты которых будут
равны:
M1=M0(F1), M2=M0(F2), …, Mn=M0(Fn)
(21)
9
Силы, приложенные в центре О, можно заменить одной силой R,
приложенной в том же центре; при этом R =
R = Σ Fk’
Σ Fk’, или
(22)
Точно так же, по теореме о сложении пар, все пары можно
заменить одной парой, лежащей в той же плоскости. Момент этой
пары M0=
Σ Mk:
M0= Σ M0(Fk)
(23)
Величина R, равная геометрической сумме всех сил системы,
называется, как известно, главным вектором системы; величину
М0, равную сумме моментов всех сил системы относительно
центра О, будем называть главным моментом системы
относительно центра О.
10
Теорема
Всякая плоская система сил, действующая на абсолютно твердое
тело, при приведении к произвольно взятому центру О
заменяется одной силой R, равной главному вектору системы и
приложенной в центре приведения О, и одной, парой с
моментом М0, равным главному моменту системы относительно
центра О
11
Заметим, что сила R не является равнодействующей данной
системы сил, так как она заменяет систему сил не одна, а вместе с
парой.
Из рассмотренной теоремы видно, что две системы сил, имеющие
одинаковые главные векторы и главные моменты, статически
эквивалентны. Следовательно, для задания плоской системы сил
достаточно задать ее главный вектор R и главный момент Мо
относительно некоторого центра О.
12
Частные случаи приведения
плоской системы сил
• 1. Если при приведении плоской системы сил к какому-либо
центру окажется, что главный вектор R ≠ 0, а главный момент
M0 =0, то такая плоская система сил приводится к одной силе –
равнодействующей системы сил, проходящей через центр
приведения, а по величине и направлению совпадающей с
главным вектором.
13
• 2. Если при приведении плоской системы сил главный вектор R
≠ 0 и главный момент M0 ≠ 0, то такую систему можно упростить и
привести к одной равнодействующей, по величине и направлению
совпадающей с главным вектором, но ее линия действия отстоит от
центра приведения на расстояние d
d = M0 / R
14
• 3. Если при приведении плоской системы сил к какому-либо
центру окажется, что главный вектор R = 0, а главный момент
M0 ≠ 0, то такую плоскую систему сил можно привести к одной
паре сил, алгебраический момент которой равен главному
моменту системы сил относительно центра приведения, и в
этом случае главный момент не зависит от выбора центра
приведения
15
Условия равновесия
произвольной плоской
системы сил.
Случай параллельных сил
Для равновесия любой плоской системы сил необходимо и
достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия:
R = 0, М0 = 0
(23)
Здесь 0—любая точка плоскости, так как при R = 0 величина М0 от
выбора центра 0 не зависит .
16
Условия (23) являются необходимыми и достаточными, потому что
при R = 0 система может приводиться только к паре с
моментом М0, а так как М0 = 0, то имеет место равновесие.
1.
Основная форма условий равновесия
Величины R и М0 определяются равенствами:
R2= Rx2+Ry2,
где Rx =
ΣFxk,
Ry =
M0=Σ M0(Fk),
ΣFyk. Но R может равняться нулю только
тогда, когда одновременно Rx=0 и Ry=0. Следовательно,
условия (23) будут выполнены, если будет:
ΣFkx=0, Σ Fky=0, Σ M0(Fk)=0
(24)
17
Равенства (24) выражают следующие аналитические условия
равновесия: для равновесия произвольной плоской системы
сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций, всех
сил на каждую из двух координатных осей и сумма их
моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости
действия сил, были равны нулю
2. Вторая форма условий равновесия
Для равновесия произвольной плоской, системы сил
необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих
сил относительно каких-нибудь двух центров А и В и сумма их
проекций на ось Ох, не перпендикулярную к прямой АВ, была
равны нулю
Σ MA(Fk)=0, Σ MB(Fk)=0, Σ Fkx=0
(25)
18
З. Третья форма условий равновесия (уравнения трех моментов)
Для равновесия произвольной плоской системы сил
необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов мех этих
сил относительно любых трех центров А, В и С, не лежащих
на одной прямой, были равны нулю
Σ MA(Fk)=0, Σ MB(Fk)=0, Σ MC(Fk)=0
(26)
19
Необходимость этих условии, как и в предыдущем случае,
очевидна. Достаточность условий (26) следует из того, что если
при одновременном выполнении этих условий данная система сил
не находилась бы в равновесии, то она должна была бы
приводиться к равнодействующей, одновременно проходящей
через точки А, В и С, что невозможно, так как эти точки не лежат на
одной прямой. Следовательно, при выполнении условий (26) имеет
место равновесие.
Во всех рассмотренных случаях для плоской системы сил
получаются три условия равновесия. Условия (24) мы считаем
основными, так как при пользовании ими никаких ограничений на
выбор координатных осей и центра моментов не налагается.
20
Вопросы для самопроверки
• 1. Для чего выполняется операция приведения силы к центру?
• 2. Что такое главный момент системы сил ?
• 3. Чем заменяется плоская система сил при приведении к
данному центру ?
• 4. Каковы частные случаи приведения системы сил к центру ?
• 5. Каковы необходимые и достаточные условия равновесия
произвольной плоской системы сил ?
• 6. Что такое уравнения равновесия плоской системы сил ?
21
Задания для самопроверки
22
Рекомендуемая литература
• Воронков И.М. Курс теоретической механики. М., Высшая
школа, 2004
• Гернет М.М. Курс теоретической механики. СПб, Питер-пресс,
2007
• Никитин Н.Н. Теоретическая механика. М., ВШ, 2007
• Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М., ИВОН, 2006
• Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М.,
ВШ, 2006
23