11 класс. 15 ноября 2014года.

11 класс. 15 ноября 2014года.
1. На шахматной доске более четверти полей занято шахматными фигурами. Докажите, что занятыми оказались хотя бы две соседние (по стороне или диагонали) клетки.
2. В квадрат со стороной 1 метр бросили 51 точку. Докажите, что какие-то три из них
можно накрыть квадратом со стороной 20 см.
3. Узлы бесконечной клетчатой бумаги раскрашены в два цвета. Докажите, что существуют две горизонтальные и две вертикальные прямые, на пересечении которых лежат точки одного цвета.
4. В квадрате ABCD находятся 5 точек. Доказать, что расстояние между какими-то
двумя из них не превосходит AC/2.
5. Шесть школьников участвуют в шахматном однокруговом турнире. Докажите, что
всегда среди них найдутся три участника турнира, которые либо провели все встречи
между собой, либо еще не сыграли друг с другом ни одной партии.
6. Внутри выпуклого пятиугольника расположены две точки. Докажите, что можно
выбрать четырехугольник с вершинами в вершинах пятиугольника так, что в него попадут обе выбранные точки.
7. Переменные x, y, z, t таковы, что справедливы неравенства 1  x  y  z  t  100.
Какое наименьшее значение может принимать выражение x/y +z/t ?
8. Докажите для положительных
a2+b2+с2+d2+e2a(b+c+d+e).
чисел
a,
b,
c,
d
и
e
неравенство
9. Решить уравнение x10+x2+1=3x4 .
10. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, равным 37, внешний угол
при вершине B равен 60o. Найдите расстояние от вершины C до прямой AB.
11. Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что угол BMC больше угла
BAC.
12. На одной из сторон данного острого угла лежит точка A. Постройте на этой же
стороне угла точку, равноудаленную от второй стороны угла и от точки A.
13. На стороне ВС квадрата ABCD взята точка К такая, что KAD=60. Отрезок КА
пересекает диагональ BD в точке Р, а биссектриса угла СКА пересекает сторону CD в
точке N. Докажите, что треугольник CPN – равносторонний.
14. В прямоугольном треугольнике ABC (C=90°) A1 – точка касания вписанной
окружности (с центром I) со стороной BC. Прямая, проходящая через A1 параллельно
медиане AM, пересекает AC в точке N. Оказалось, что NI || AB. Найдите остальные углы ∆ABC.
15. В прямоугольном треугольнике АВС проведены трисектрисы острых углов, причём AN и BK – дальние от гипотенузы АВ трисектрисы, а две ближние к гипотенузе
трисектрисы пересекаются в точке P (трисектрисы делят угол на три равные части,
точки N и K лежат на сторонах треугольника). Докажите, что треугольник PNK – равносторонний.