7 –

Ваш регистрационный номер 7 – (указывайте его в левом верхнем углу конверта).
Письма высылать по адресу: 603950, ГСП-20, Н. Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 6,
комн. 504, ННГУ, мехмат, ЗМШ. Вместе с решенным заданием не забудьте выслать
конверт с заполненным на Ваше имя адресом. Сроки выполнения заданий: Задание 1декабрь; Задание 2 - январь; Задание 3 - февраль; Задание 4 – март; Задание 5 – апрель.
Телефоны для справок:465-80-25; 462-33-20 (с 1100 до 1500 ).
Задания и решения смотрите на сайте: http//mmf.unn.ru (Математическая школа)
ЗАДАНИЯ ДЛЯ 7-го КЛАССА
(2014-2015 учебный год)
Задание 1
1) В свежих грибах 90 % воды, а когда их подсушили, то они стали легче на 15 кг при
влажности 60 %. Сколько было свежих грибов?
2) Доказать, что разность любого трехзначного числа и трехзначного числа,
записанного теме же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.
3) Трое рабочих взяли обязательство изготовить определенное число деталей. Первый
3
3
рабочий изготовил
всех деталей, второй остатка, а третий – остальные 84
10
5
детали. Сколько деталей изготовил первый рабочий и сколько второй?
4) Двое путников одновременно вышли из А в В. Первый половину времени,
затраченного им на переход, проходил по 5 км/час, а затем – по 4 км/час. Второй же
первую половину пути шел со скоростью 4 км/час, а затем - со скоростью 5 км/час. Кто
из них пришел раньше в В?
5) Имеется 9 кг крупы и гири в 50 г и 200 г. Каким образом в три приема отвесить на
чашечных весах 2 кг крупы?
Задание 2
1) При делении некоторого числа m на 13 и 15 получили одинаковые частные, но
первое деление было с остатком 8, а второе – без остатка. Найти число m.
2) В числе 524127 расставить, где потребуется, знаки арифметических действий и
скобки между цифрами так, чтобы в итоге получилось 100.
3) Сумма двух чисел равна 462. Одно из них оканчивается нулем. Если этот нуль
зачеркнуть, то получится второе число. Найти эти числа.
4) Часть жителей одного города умеет говорить только по-русски, часть – только поанглийски и часть умеет говорить на обоих языках. По-английски говорят 85 %
жителей, а по-русски – 75 %. Сколько процентов жителей говорят на обоих языках.
5) Можно ли с помощью шаблона в 270 построить две взаимно перпендикулярные
прямые.
Задание 3
1) Доказать, что при всяком целом n n 5  5n 3  4n делится на 120.
2) Какой многочлен надо записать вместо знака  , чтобы выполнить равенство
x 2  3x  2   x 3  4 x 2  5 x  2 ?


1
1
его полетела на цветы календулы,
- на цветы ромашки, а
5
3
пчелы, составляющие утроенную разность этих чисел, полетели на дерево, одна пчела
летала между одуванчиками. Сколько всего было пчел?
4) В треугольнике ABC  A = 380,  B = 1100,  C = 320. На стороне AC отмечены
точки D и E так, что точка D лежит на отрезке AE, BD =DA, BE =EC. Найти  DBE.
5) Прямые a1 и b1 содержат биссектрисы углов, образовавшихся при пересечении
прямых a и b. Содержат ли прямые a и b биссектрисы углов, образовавшихся при
пересечении прямых a1 и b1 .
Задание 4
3) Из пчелиного роя
1) Показать, что n 2  n  1 при натуральном n есть нечетное число, не являющееся
квадратом никакого другого натурального числа.
2) Найти остаток от деления многочлена x  x 3  x 9  x 27  x 81  x 243 на x  1.
5x 2  x  4
3) Сократить дробь
.
x3 1
1
1
1
1
4) Доказать, что



.
aa  b a  c  bb  c b  a  cc  a c  b  abc
5) Высота и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, разделили его угол
на три равные части. Найти углы треугольника.
Задание 5
1) Найти все числа, при делении которых на 7 в частном получится то же число, что и в
остатке.
2) Первый цех ежемесячно производит y  10 x условных единиц продукции и
выполняет годовой план выпуска продукции. Второй цех первые три месяца года
проводил реконструкцию и после этого ежемесячно стал производить y  15 x
условных единиц продукции. Определить графически, выполнит ли второй цех годовой
план производства продукции. Какой цех произвел продукции больше за этот год?
4 x2  b
2x
2x


.
3) Решить уравнение
2bx  b  2 x  1 b  1 2 x  1
4) В двух кусках 24 м ситца. Сколько ситца в первом куске, если 15 % первого равны
75 % второго.
5) В треугольнике ABC внешние при вершине углы A и C равны. Найти длину
биссектрисы BD, если периметр треугольника ABC равен 36 дм, а периметр
треугольника ABD равен 24 дм.

