Document 5128405

Задача 1. Можно ли определить площадь треугольной пластины, если один
из её углов отрезан? Если отломан такой кусок, что захвачено более
половины одной из сторон?
Решение:
1) С  АС, АС1 
1
В
В1 

А
2)

С1

С
1
В1  АВ, АВ1 АВ
3
АВ1С1 ∾
S AB1C1 : S ABC
1
3) S ABC   S AB1C1
9
4) S AB1C1 найти можно.
АВС
АВ1 АС1 1


АВ
АС 3
А - общий
2
Следовательно,
1
АС
3
 AB   1 
1
    
 
9
 AB1   3 
2
II признак
подобия
треугольников
Задача 2. Разложить на множители: x 3 ( y  z ) 
y 3 ( z  x)  z 3 ( x  y )
Решение:
x 3 ( y  z )  y 3 ( z  x)  z 3 ( x  y ) 
 x 3 ( y  z )  y 3 ( z  x)  z 3 ( x  z )  z 3 ( z  y ) 
 ( y  z )( x 3  z 3 )  ( z  x)( y 3  z 3 ) 
 ( y  z )( x  z )( x 2  xz  z 2 )  ( z  x)( y  z )( y 2  yz  z 3 ) 
 ( y  z )( x  z )( x 2  xz  z 2  y 2  yz  z 2 ) 
 ( y  z )( x  z )( x 2  xz  y 2  yz ) 
 ( y  z )( x  z )( x  y )( x  y )  z ( x  y ) 
 ( y  z )( x  z )( x  y )( x  y  z ) .
Задача 3. Доказать, что
целое.
n5 n3 n
N
 
120 24 30
есть целое число, если n-
Решение:
5
3
n
n
n
N
 

120 24 30
n5  5n3  4n n(n 4  5n 2  4)


120
120
n(n 2  1)( n 2  4) n(n  1)( n  1)( n  2)( n  2)


120
120
(n  2)  (n  1)  n  (n  1)  (n  2)
N
120
n 4  5n 2  4  0
n2  t
t 2  5t  4  0
D  25  4 1  4  9
53
2
t1  4
t
t2  1
n 2  2
n 2  1
Задача 3. Доказать, что
n- целое.
n5 n3 n
N
 
120 24 30
есть целое число, если
Решение:
1)n  1  n  2  N  00 120 
2)n  3 M  (n  2)  (n  1)  n  (n  1)  (n  2) 
произведение пяти
последних
натуральных чисел
M 5 
M  2
M
 целое.
M 5  2  3  4  M 120  N 
M 3 
120
M  4
Задача №4. Если точку окружности соединить с вершинами вписанного в
окружность правильного треугольника, то сумма расстояний от этой точки до
двух вершин треугольника равна расстоянию до третьей вершины. Доказать.
М

В
Доказатель ство :
О
1)АМС : АС 2  МА 2  МС 2  2  МА  МС  cos 60
1
AC 2  MA 2  MC 2  2  MA  MC 
2
AC 2  MA 2  MC 2  MA  MC .
60
60
А
С
Дано :  (О; r )
АВС : А, В, С  
АВ  ВС  АС
М 
Доказать : АМ  ВМ  СМ
2)CMB : BC 2  MC 2  MB 2  2  MC  MB  cos 60
1
BC 2  MC 2  MB 2  2  MC  MB 
2
BC 2  MC 2  MB 2  MC  MB.
AC 2  MA 2  MC 2  MA  MC 
3) 2

2
2
BC  MC  MB  MC  MB 
AC 2  BC 2  MA 2  MC 2  MA  MC  MC 2  MB 2  MC  MB
0  MA 2  MB 2  ( MC  MB  MA  MC )
Задача №4. Если точку окружности соединить с вершинами вписанного в
окружность правильного треугольника, то сумма расстояний от этой точки до
двух вершин треугольника равна расстоянию до третьей вершины. Доказать.
0  MA 2  MB 2  MC ( MB  MA)
0  ( MA  MB )  ( MA  MB )  MC ( MA  MB )
( MA  MB )  ( MA  MB  MC )  0
MA  MB  0, MA  MB  MC  0
MA  MB  MC .
Задача 5. Какая дробь больше
37
67
или
Решение:
37 67  37 30 300



67
67
67 670
377 677  377 300
1


677
677
677
300 300
670 677 

670 677
300 670  300 370 37
1



670
670
670 67
300 677  300 377
1


677
677
677
377 37
 .
677 67
1
377
?
677
Задача 6.
I. Анализ
1
Пусть  АВС – искомый, тогда NP – средняя линия, NP = AC.
2
1
MP – средняя линия, MPII AB, MP=2 AB.
1
MN – средняя линия, MNII BC, MN= BC.
2
A

M

C
s1


P
N

B
s3
s2
Задача 6.
II. Построение
3)
Провести прямую s1 : M1  s1 , s1 II NP;
Провести прямую s2 : P  s2 , s2 II MN ;
Провести прямую s3 : N  s3 , s3 II MP;
4)
s1  s3  A, s1  s2  C , s2  s3  B;
1)
2)
5) ABC  искомый.
III. Доказательство
Следует из анализа и построения.
IV. Исследование
Задача всегда имеет решение и причём
единственное, если точки M,N,P не
лежат на одной прямой.
Задача 7. Разделить угол в 45° на 3 равные части, используя только циркуль и
линейку.
I. Анализ
Пусть АВС - искомый, тогда
D
F
H

B

1
G

E

A
30°

C

Задача 7. Разделить угол в 45° на 3 равные части, используя только циркуль и
линейку.
II. Построение
1) СAD  90 ;
2) делимСADна три
равные части:
EAD  GAH  HAF  30 ;
3) BAG  BAC  GAC 
 45  30  15 ;
III. Доказательство
Следует из анализа и построения.
IV. Исследование
Задача всегда имеет решение и
причём единственное.
4) GAK  BAG  15.
Задача 8. Решить уравнение
x4
x 1 5

 .
x 1
x4 6
Решение:
ОДЗ:
x  4
 x  1  0, x  1

 x  1  0, x  1
 x  4
Выполним замену:
y
x4
˃0;
x 1
x 1 1
 .
x4 y
1 5
y   / 6 y
y 6
6 y2  5y  6  0
D  b 2  4ac  (5) 2  4  6  (6) 
 25  144  169
5  13
y
12
18 3
y1 

12 2
8
y2    посторонний корень.
12
Задача 8. Решить уравнение
x4
x 1 5

 .
x 1
x4 6
Решение:
y
3
x4
, y ,
2
x 1
тогда
x4
3

x 1
2
x4
9

x 1
4
( x  4)  4  ( x  1)  9
4 x  16  9 x  9
4 x  9 x  16  9
 5 x  25 / : ( 5)
x  5.
Задача 9. Какая из степеней больше 100 20 или 985010 ?
Решение:

100  (100)
20

2 10
 10000

100
˃
9850
10000˃9850
2
и
985010
20
10
Задача 10. Можно ли пересечь куб плоскостью так, чтобы в сечении
получился равносторонний треугольник?
Решение:
D1
А1
C1
B1
С
D
А
В
ABC 
равносторонний, так как
A1 B 

A1C1   диагонали граней квадратов:
BC1  A1B1BA, BB1C1C и A1D1C1B1 ,
а они равны.