9–_____ Письма высылать по адресу: 603950, ГСП-20, Н. Новгород, пр. Гагарина,... 412, ННГУ, мехмат, ЗМШ. Вместе ...

Ваш регистрационный номер 9–_____ (указывайте его в левом верхнем углу конверта).
Письма высылать по адресу: 603950, ГСП-20, Н. Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 6, комн.
412, ННГУ, мехмат, ЗМШ. Вместе с решенным заданием не забудьте выслать конверт с
заполненным на Ваше имя адресом. Сроки выполнения заданий: Сроки выполнения заданий:
Задание 1- январь; Задание 2 - февраль; Задание 3 – март; Задание 4 – апрель, Задание 5 - май
Телефоны для справок:465-66-92; 462-33-20 (с 1100 до 1500 ).
Задания и решения смотрите на сайте: http://www.itmm.unn.ru/postuplenie/podgotovka-k-egepo-matematike/ (Поступление/ Заочная школа по математике для 7-8-9 классов)
ЗАДАНИЯ ДЛЯ 9-го КЛАССА
(2015-2016 учебный год)
Задание 1
1) Найдите
12 5  29  12 5  29 .
2) Докажите неравенство
1
1
1
1

 ... 
 ,
п 1 п  2
2п  1 2
где n – натуральное число, отличное от 1.
3). Из пункта А в пункт В доставлен груз. От пункта А его везли в автофургоне, а потом
переложили на ожидавший грузовик, причём грузовик проехал до пункта В расстояние в три
раза меньшее, чем автофургон от пункта А до места перегрузки (время, потребовавшееся на
перегрузку, считается равным нулю). При этом для доставки груза из пункта А в пункт В
потребовалось время, равное времени проезда из пункта А в пункт В со скоростью 64 км/ч.
Если бы автофургон и грузовик выехали из пунктов А и В одновременно навстречу друг
другу, то они встретились бы через промежуток времени, необходимый для проезда из
пункта А в пункт В со скоростью 120 км/ч. С какой скоростью ехал грузовик, если известно,
что скорость автофургона не превосходит 75 км/ч?
4) Постройте график функции
x  3  x 1
y
.
x  3  x 1
5) В остроугольном треугольнике ABC из вершин A и C опущены высоты AP и CQ.
Известно, что площадь треугольника ABC равна 18, площадь треугольника BPQ равна 2, а
длина отрезка PQ равна 2 2 . Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника
ABC.
Задание 2
1) Дана совокупность m различных натуральных чисел, m>7. Наименьшее общее кратное
всех чисел равно 210. Для любых двух чисел наибольший общий делитель больше 1.
Произведение всех чисел делится на 1920 и не является квадратом никакого целого числа.
Найти эти числа.
2) Доказать, что при любом натуральном n имеет место неравенство
1
1
1
S n  2  3  ...  2  1 .
2
3
n
3) Найти решения системы
 x1  x2 x3 x4
x  x x x
 2
1 3 4

 x3  x1 x2 x4
 x4  x1 x2 x3
2
2
2
2
.
4) При каких значениях а корни многочлена
2 x 2  22a  1x  aa  1
удовлетворяют неравенствам x1  a  x2 ?
5) Доказать, что во всяком треугольнике ABC между его площадью S и радиусами вписанной
и описанной окружности существует соотношение S  2 r 3 R .
Задание 3
1) Доказать, что число вида
10
n


 10 n1  ...  10  1 10 n1  5  1
есть точный квадрат.
2) Число научно-технических книг в библиотеке равно 11/13 от числа художественных книг.
При переезде библиотеки в другой город книги погрузили в два вагона. В первый вагон
погрузили 1/15 часть научно-технических книг и 18/19 частей художественных книг. Во
второй вагон погрузили 1/19 часть художественных книг и 14/15 частей научно-технических
книг. Сколько книг каждого вида было в библиотеке, если в первом вагоне оказалось более
10000 книг, а во втором – менее 10000 книг?
3) Решите систему уравнений
 x 2  y 2  2 z 2  2a 2

2
 x  y  2 z  4a  1 .

z 2  xy  a 2

4) Найти все значения а, при каждом из которых любое число является решением хотя бы
одного из неравенств
x 2  5a 2  8a  23ax  2 ,
x 2  4a 2  a4 x  1 .
5) Доказать, что если стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию, то
отрезок прямой, соединяющий точку пересечения медиан с центром вписанной окружности,
параллелен средней стороне.
Задание 4
500
1) Доказать, что C1000
не делится на 7.
2) Двум токарям и ученику поручили выполнение срочной работы. Первый токарь может
один выполнить всю работу за время на 3 часа большее, чем время, за которое второй токарь
и ученик, работая одновременно, выполняют ту же работу. Второй токарь, работая один,
может выполнить всю работу за то же время, за которое её выполняют первый токарь и
ученик, работая одновременно. Время, затрачиваемое вторым токарем на самостоятельное
выполнение всей работы, на 8 часов меньше удвоенного времени, затрачиваемого первым
токарем на самостоятельное выполнение всей работы. За какое время будет выполнена вся
работа двумя токарями и учеником, работающим одновременно?
3) Решить систему
 x  x 2  y 2 x  x 2  y 2 17



4.
 x  x2  y2 x  x2  y2

2
 x  xy  x x  y   4  52
4) Найти все значения а, при каждом из которых существует хотя бы одно х,
удовлетворяющее условиям
 x 2  5a  2x  4a 2  2a  0
.

x2  a2  4

5) Окружность радиуса r катится изнутри по окружности радиуса 2r. Какие линии
описывают точки меньшей окружности?
Задание 5
1) В вещевой лотерее разыгрывается 8 предметов. Первый подошедший к урне вынимает из
неё 5 билетов. Какова вероятность того, что по крайней мере два билета выигрышные? Всего
в урне 50 билетов.
2) Пункты P, Q, R, S расположены так, что пункт R находится внутри треугольника PQS,
соединены прямолинейными дорогами PQ, QS, SP, PR и QR. Их длины соответственно 400,
600, 300, 80 и 400 км. Из одного из этих пунктов одновременно выехали три автомобиля,
едущие без остановок с постоянными скоростями. Маршруты всех автомобилей различны,
причём каждый из них состоит из трёх дорог и проходит через все пункты. Второй
автомобиль перед проездом третьей дороги своего маршрута встретился с третьим в одном
пункте, из которого они выехали по общей дороге. Первый и второй автомобили закончили
свои маршруты в одном пункте, причём первый закончил свой маршрут на час позже
автомобиля, закончившего маршрут раньше других. Найти скорости автомобилей, если
скорость второго на 10 км/ч больше скорости первого, а скорости всех автомобилей
заключены в интервале от 95 км/ч до 125 км/ч.
3) Решите систему уравнений
 x yz 9
 1 1 1
  1 .

 x y z
 xy  xz  yz  27
4) Определить, при каких а система уравнений
 х  у 2  6а  14
 2
2
 х  у  32  а 
имеет ровно два решения.
5) Три равные окружности пересекаются в одной точке. Построены три прямые, каждая из
которых проходит через вторую точку пересечения двух из окружностей и центр третьей.
Доказать, что эти прямые пересекаются в одной точке.